（新高考）2021届高考二轮精品专题六：三角函数与解三角形（教师版）

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1、专题 6××三角函数与解三角形命题趋势1高考对三角函数的考查主要在于三角函数的定义、图象和性质、三角恒等变换，主要考查三角函数图象的变换、三角函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值），三角恒等变换通常还与解三角交汇命题2解三角形的考查主要在具体面积、角的大小、面积与周长的最值或范围的考查，本部分要求对三角恒等变换公式熟悉考点清单一、三角函数1公式（1）扇形的弧长和面积公式如果半径为r的圆的圆心角所对的弧的长为l，那么角的弧度数的绝对值是相关公式：l=r （2）诱导公式：正弦余弦正切+k2sincostan+-sin-costan-sincos-tan-sin-co

2、s-tancos-sincossin-cossin-cos-sin（3）同角三角函数关系式：sin2+cos2=1，（4）两角和与差的三角函数：sin(+)=sincos+cossinsin(-)=sincos-cossincos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsin（5）二倍角公式：（6）降幂公式：，2三角函数性质性质y=sinx，xRy=cosx，xR奇偶性奇函数偶函数单调性在区间上是增函数，在区间上是减函数在区间-+2k，2k(kZ)上是增函数，在区间2k，+2k(kZ)上是减函数最值在时，ymax；在时，ymin在x=2k(kZ)时，ymax；在x=

3、2k+(kZ)时，ymin对称中心(k，0)(kZ)对称轴x=k(kZ)正切函数的性质图象特点定义域为图象与直线没有交点值域为R图象向上、向下无限延伸最小正周期为在区间上图象完全一样在内是增函数图象在内是上升的对称中心为图象关于点成中心对称3函数y=Asin(x+)的图象及变换（1）对函数y=sin(x+)的图象的影响（2）(>0)对y=sin(x+)的图象的影响（3）A(A>0)对y=Asin(x+)的图象的影响4函数y=Asin(x+)的性质（1）函数y=Asin(x+)(A>0，>0)中参数的物理意义（2）函数y=Asin(x+)(A>0，>0)的有关

4、性质二、解三角形1正余弦定理定理正弦定理余弦定理内容(为外接圆半径)；变形形式，；，；2利用正弦、余弦定理解三角形（1）已知两角一边，用正弦定理，只有一解（2）已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况在中，已知，和角时，解得情况如下：为锐角为钝角或直角直角图形关系式解的个数一解两解一解一解上表中为锐角时，无解为钝角或直角时，均无解（3）已知三边，用余弦定理，有解时，只有一解（4）已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解3三角形中常用的面积公式（1）(表示边上的高）；（2）；（3）（为三角形的内切圆半径）4解三角形应用题的一般步骤 精题集训（70分钟）经典训练题一、选择题1在平面直

5、角坐标系xOy中，为第四象限角，角的终边与单位圆O交于点Px0，y0，若，则x0=（ ）ABCD【答案】C【解析】，又，所以，所以，故选C【点评】本题容易忽视的范围，而导致出错2已知 tan 2-4tan+1=0，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由 tan 2-4tan+1=0，可得，所以，即，即，故选C【点评】本题考查同角三角函数的关系、降幂公式、二倍角公式，解答本题的关键是由条件有，从而可得，由可解，属于中档题3已知函数fx=2sinx+，的部分图象如图所示，fx的图象过，两点，将fx的图象向左平移个单位得到gx的图象，则函数gx在上的最小值为（ ）A-2B2C-3D-1【答案】A【解析

6、】由图象知，T=2，则，fx=2sinx+，将点的坐标代入得，即，又，则，将fx的图象向左平移个单位得到函数，gx在上的最小值为，故选A【点评】本题主要考了三角函数图象，以及三角函数的性质和三角函数图象的变换，属于中档题4已知a、b、c分别是ABC的内角A、B、C的对边，若，则ABC的形状为（ ）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形【答案】A【解析】因为在三角形中，变形为sinC<sinBcosA，由内角和定理可得sin(A+B)<cosAsinB，化简可得：sinAcosB<0，cosB<0，所以，所以三角形为钝角三角形，故选A【点评】本题考查了解三角形，

7、主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题5（多选）已知函数f(x)=3sinx+sin3x，则（ ）Af(x)是奇函数Bf(x)是周期函数且最小正周期为2Cf(x)的值域是-4，4D当x(0，)时，f(x)>0【答案】ABD【解析】Af(-x)=3sin(-x)+sin(-3x)=-3sinx-sin3x=-f(x)，故f(x)是奇函数，故A正确；B因为y=sinx的最小正周期是2，y=sin3x的最小正周期为，二者的“最小公倍数”是2，故2是f(x)的最小正周期，故B正确；C分析f(x)的最大值，因为3sinx3，sin3x1，所以f(x)4，等号成立的条件是sinx=1和sin3

8、x=1同时成立，而当sinx=1，即时，sin3x=-1，故C错误；D展开整理可得，易知当x(0，)时，f(x)>0，故D正确，故选ABD【点评】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：（1）定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要非充分条件；（2）或是定义域上的恒等式奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性二、解答题6已知m=(2sinx，sinx-cosx)，n=(3cosx，sinx+cosx)，函数f(x)=mn求函数f(x)的最大值以及取最大值时x的取值集合【答案】f(x)

9、的最大值为2，【解析】，所以函数f(x)的最大值为2，当，即取得，即集合为【点评】本题与向量的坐标运算结合，考查三角函数的最值，属于基础题7已知函数（1）求函数f(x)在区间0，上的值域；（2）若方程f(x)=3(>0)在区间0，上至少有两个不同的解，求的取值范围【答案】（1）-2，2；（2）【解析】（1），令，x0，由y=sinU的图象知，即，所以函数f(x)的值域为-2，2（2），f(x)=3，即，x0，且或，由于方程f(x)=3(>0)在区间0，上至少有两个不同的解，所以，解得，所以的取值范围为【点评】考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为f(x)=Asin

10、x+，再利用三角函数性质求值域；（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值8已知函数f(x)=3sinxcosx+cos 2x+1（1）求f(x)的最小正周期和值域；（2）若对任意xR，的恒成立，求实数k的取值范围【答案】（1）最小正周期，值域为；（2）【解析】（1）f(x)=3sinxcosx+cos 2x+1，f(x)的为最小正周期，值域为（2）记f(x)=t，则，由f2(x)-kf(x)-20恒成立，知t2-kt-20恒成立，即ktt2-2恒成立，t>0，在时单调递增，k的取值范围是【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，正弦函数的性质，考查了函数思想，属于中

11、档题9ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且3(sinB+sinC)2-3sin 2(B+C)=8sinBsinC（1）求cosA的值；（2）若ABC的面积为，求a+b+c的最小值【答案】（1）；（2）【解析】（1）由3(sinB+sinC)2-3sin 2(B+C)=8sinBsinC，A+B+C=，所以，由正弦定理可得，则，由余弦定理可得（2）由，得，bc=12，由，得，a4，当且仅当b=c=23时，等号成立又b+c2bc=43，当且仅当b=c=23时，等号成立a+b+c4+43，当且仅当b=c=23时，等号成立即a+b+c的最小值为【点评】求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围

12、）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a+b，ab，a2+b2之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解10设函数f(x)=12cos 2x-43sinxcosx-5（1）求f(x)的最小正周期和值域；（2）在锐角ABC中，角ABC的对边长分别为abc若f(A)=-5，a=3，求ABC周长的取值范围【答案】（1），-43+1，43+1（2）(3+3，33【解析】（1）fx=12cos 2x-43sinxcosx-5=12cos 2x-23sin2x-5，值域为-43+1，43+1（2）由f(A)=-5，可得，因为三角形为锐角ABC，所以，即，由正弦定理，得，所以，

13、因为ABC为锐角三角形，所以，即，解得，所以，即，所以周长的取值范围为区间(3+3，33【点评】在解三角形的周长范围时，将a+b+c转化为含一个角的三角函数问题，利用三角函数的值域，求周长的取值范围，是常用解法11在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a+bsinA-sinB=b+csinC（1）求角A的大小；（2）若点D是BC的中点，且AD=2，求ABC的面积的最大值【答案】（1）；（2）23【解析】（1）由题意得(a+b)(a-b)=(b+c)c，b2+c2-a2=-bc，（2），当且仅当AB=AC时，等号成立，ABAC8，故ABC的面积的最大值是23【点评】用三角形中线向量进

14、行转化是解题关键12如图，在ABC中，AB=2AC，BAC的角平分线交BC于点D（1）求的值；（2）若AC=1，BD=2，求AD的长【答案】（1）2；（2）1【解析】（1）AD为BAC的角平分线，BAD=CAD，即sinBAD=sinCAD，又AB=2AC，（2）由（1）知，而，且AC=1，BD=2，BAD=CAD，cosBAD=cosCAD，在ABD中，在ACD中，AD=1【点评】本题考查三角形面积公式和余弦定理的应用，解题的关键在于对角平分线的性质的理解和运用，考查解题和运用能力13在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且(a+b+c)(a+b-c)=3ab（1）求角C的值；（2

15、）若c=2，且ABC为锐角三角形，求a+b的取值范围【答案】（1）；（2）(23，4【解析】（1）由题意知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，由余弦定理可知，又C(0，)，（2）由正弦定理可知，即，又ABC为锐角三角形，则，所以，综上a+b的取值范围为(23，4【点评】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题

16、高频易错题一、选择题1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“bcosA-c<0”，是“ABC为锐角三角形”的（ ）条件A充分必要B充分不必要C必要不充分D既不充分也不必要【答案】C【解析】ABC中，c>bcosA，sinC>sinBcosA，即sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA>sinBcosA，sinAcosB>0，因为sinA>0，cosB>0，所以B为锐角当B为锐角时，ABC不一定为锐角三角形；当ABC为锐角三角形时，B一定为锐角，所以“bcosA-c<0”是“ABC为锐角三角形”的必要非充分条件，故选C【

17、点评】判断充分必要条件，一般有三种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法我们要根据实际情况灵活选择方法，本题选择的是定义法判断充分必要条件二、填空题2设锐角三角形ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，B=2A，则b的取值范围为_【答案】(22，23)【解析】由，得，由，故，所以，所以b=4cosA22，23【点评】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，以及锐角三角形的条件，属于简单题目三、解答题3已知a>0，函数，当时，-5fx1（1）求常数a，b的值；（2）设且lggx>0，求gx的单调区间【答案】（1），；（2）递增区间为；递

18、减区间为【解析】（1）由，所以，则，所以，所以fxb，3a+b，又因为-5fx1，可得，解得，（2）由（1）得，则，又由lggx>0，可得gx>1，所以，即，所以，当时，解得，此时函数gx单调递增，即gx的递增区间为；当时，解得，此时函数gx单调递减，即gx的递减区间为【点评】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中根据三角函数的性质，求得函数的解析式，熟练应用三角函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力精准预测题一、选择题1如图所示，扇形的半径为2，圆心角为，C是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形的内接矩形，则SABCD的最大值是（ ）ABCD【答案】A【

19、解析】如图，记COP=，在RtOPC中，在RtOAD中，所以，设矩形ABCD的面积为S，由，所以当，即时，S取最大值，为，故选A【点评】本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行求解2已知函数，现将的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=gx的图象，则gx的解析式为（ ）ABCD【答案】C【解析】将的图象向左平移个单位得，再所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到，故选C【点评】在三角函数平移变换中，y=sinx向左平移个单位得到的函数解析式为y=sinx+=s

20、inx+，而不是y=sinx+，考查运算求解能力，是基础题3（多选）如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是（ ）A=2B是函数，fx的一个对称中心CD函数fx在区间上是减函数【答案】ACD【解析】由题知，A=2，函数fx的最小正周期，所以，故A正确；因为，所以，解得，又|<，所以，故C正确；函数，因为，所以不是函数fx的一个对称中心，故B错误；令，得，当m=-1时，因为，所以函数fx在区间上是减函数，故D正确，故选ACD【点评】已知的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：（1）由，即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的

21、“零点”横坐标，则令(或)，即可求出（2）代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对A，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求二、解答题4已知函数f(x)=cos(x)(>0)的最小正周期为（1）求的值及函数的值域；（2）在ABC中，内角A，B，C所对应的边长分别为a，b，c，若，ABC的面积为33，b-c=2，求a的值【答案】（1）=2，值域为-1，2；（2）4【解析】（1）因为函数f(x)=cos(x)的最小正周期为，由，又因为>0，所以=2此时f(x)=cos2x，则得，即g(x)=3sin2x-cos2x，

22、即，当时，所以所求函数的值域为-1，2（2）由题意得，因为，则得2A(0，)，所以，解得，因为ABC的面积为33，则得，即，即bc=12又因为b-c=2，由余弦定理，得a=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=(b-c)2+bc=22+12=4，所以a=4【点评】本题考查求三角函数的值域，考查余弦定理解三角形，以及三角形面积公式三角函数问题中，首先需利用诱导公式、二倍角公式、两角和与差的正弦（余弦）公式化函数为一个角的一个三角函数形式（主要是f(x)=Asin(x+)+k形式），然后利用正弦函数性质确定求解5已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA+B-C=csi

23、nB+C（1）求角C的大小；（2）若2a+b=8，且ABC的面积为23，求ABC的周长【答案】（1）；（2）6+23【解析】（1）asin(A+B-C)=csin(B+C)，sinAsin(-2C)=sinCsinA，2sinAsinCcosC=sinCsinA，sinAsinC0，（2）由题意可得，ab=8，2a+b=8联立可得，a=2，b=4，由余弦定理可得，c2=12，c=23，此时周长为6+23【点评】本题主要考查了三角形的内角和诱导公式在三角化简中的应用，还考查了三角形的面积公式及余弦定理，属于基础题6如图，矩形ABCD是某个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形DEBC区域内

24、部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在ADE区域内参观在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，MPN为监控角，其中M、N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方经测量得知：AD=6米，AE=6米，AP=2米，记EPM=（弧度），监控摄像头的可视区域PMN的面积为S平方米（1）分别求线段PM、PN关于的函数关系式，并写出的取值范围；（2）求S的最小值【答案】（1），；（2）8(2-1)平方米【解析】（1）在PME中，EPM=，米，由正弦定理得，所以；同理在中，由正弦定理得，所以，当M与E重合时，=0；当N与D重合时，tanAPD=3，即APD=arctan3，所以（2）PMN的面积，因为，所

25、以当，即时，S取得最小值为，所以可视区域PMN面积的最小值为8(2-1)平方米【点评】本题考查解三角形的应用掌握三角函数的性质是解题关键解题方法是利用正弦定理或余弦定理求出三角形的边长，面积，利用三角函数的恒等变换化函数为基本三角函数形式，然后由正弦函数性质求最值7在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若23cos 2A+cos2A=0，且ABC为锐角三角形，a=7，c=6，求b的值；（2）若a=3，求b+c的取值范围【答案】（1）；（2）b+c(3，23【解析】（1），又A为锐角，而a2=b2+c2-2bccosA，即，解得b=5或（舍去），b=5（2）由正弦定理可得，b+c(3，23【点评】本题考查三角函数的恒等变换，三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题