（新高考）2021届高三大题优练2：数列（教师版）

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1、 例 1已知数列 na的前n项和为nS，14nnSa，*nN，且14a （1）证明：12nnaa是等比数列，并求 na的通项公式； （2）在1nnnbaa；2lognnabn；21nnnnabaa，这三个条件中任选一个补充在下面横线上， 并加以解答 已知数列 nb满足_，求 nb的前n项和nT 注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分 【答案】 （1）证明见解析，(1) 2nnan； （2）答案见解析 【解析】 （1）当2n时，因为14nnSa，所以14nnSa， 两式相减得1144nnnaaa，所以11222nnnnaaaa 当1n 时，因为14nnSa，所以214Sa， 又14a

2、 ，故212a ，于是2124aa， 所以12nnaa是以 4 为首项，2 为公比的等比数列 所以1122nnnaa，两边除以12n，得11122nnnnaa 又122a，所以2nna是以 2 为首项，1 为公差的等差数列， 所以12nnan，即(1) 2nnan （2）若选：1nnnbaa，即1(2) 2(1) 2(3) 2nnnnbnnn， 因为123425 262(3)2nnTn L， 所以23412425 262(3)2nnTn L 两式相减得12314 2222(3) 2nnnTnL 优优 选选 例例 题题 数列 大题优练大题优练 2 2 1114218(3) 2(2) 242 1n

3、nnnn ， 所以1(2)24nnTn 若选：2lognnabn，即22211loglog 2lognnnnbnnn， 所以222231logloglog(12)12nnTnnLL 2231(1)log122nn nnL 2(1)log (1)2n nn 若选：21nnnnaba a，即11144114nnnnnnnaabaaaa， 所以1223111111111114444nnnnTaaaaaaaaL 11111414(2)2(2)2nnnn 例 2已知数列 na是各项均为正数的等比数列，且11a ，32232aa数列 nb满足1 12 2123n nnnaba ba bba （1）求数列

4、na， nb的通项公式； （2）若数列111nnnnb b的前n项和为nS，求证：13nS 【答案】 （1）12nna-=，21nbn； （2）证明见解析 【解析】 （1）设数列 na的公比为0q q ， 由32232aa，得211232a qa q， 又11a ，得22320qq，解的2q =或12q （舍去） ， 11111 22nnnnaa q 又1 12 2123n nnnaba ba bba， 1 11223abba，即11243bb，得11b 当2n时，1 12 211123nnnnaba babba， 得1122n nnnnna bbaba， 1222nnnbbb，即12nnbb

5、， 数列 nb是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， 故1 2121nbnn （2）由（1） ，记111nnnnncb b，则112121nnncnn， 由41121 212121nnnnn， 可知1111141111121214212142121nnnnnncnnnnnn 当n为奇数时，1111111111114335572121421nSnnn1111433； 当n为偶数时，111111111111143355721214214nSnnn， 综上所述，13nS 例 3 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 已知n个圆1C、2C、L、nC与x轴和直线:31l yx均相切，且任意相邻两圆外切，

6、其中圆222:iiiiCxaybr*21(1, 18,nin iaaa NL0,0)iibr （1）求数列 na的通项公式； （2）记n个圆的面积之和为S，求证：2438S 【答案】 （1）3*113nnanN； （2）证明见解析 【解析】 （1）直线l的倾斜角为60，则直线12C C的倾斜角为30，且直线12C C过点1,0， ,iiiC a bQ在直线313yx上，313iiab，如下图所示： 设圆iC、1iC分别切x轴于点P、Q，过点1iC作1iiC MPC，垂足为点M， 则130iiCC M，其中iN，1iiiMCbb，11iiiiCCbb， 111sin2iiiiiMCCCMCC，

7、可得111111311322222323iiiiiiiiiiiiaabbaaaabbaa， 132iiaa，则1131iiaa ， 1na为等比数列且首项为119a ，公比为13， 1111199133nnnnaa （2）2222221212nnSrrrbbbLL 22212181 192431243111 113389819nnnaaaL 1已知等差数列 na的公差为d，前n项和为nS，且4228SS （1）求公差d的值； （2）若11a ，nT是数列11nna a的前n项和，求使不等式511nT 成立的n的最小值 【答案】 （1）2d ； （2）5 【解析】 （1）由4228SS，即114

8、62(2)8adad， 化简得48d ，解得2d （2）由11a =，2d =，得21nan， 所以111111()(21)(21)2 2121nna annnn， 所以12231111111111(1)233521211(1)221121nnnTa aa aa annnnnLL， 由511nT ，解得5n， 所以n的最小值为 5 2已知数列 na的前n项和2nSnn （1）求数列 na的通项公式； （2）若数列 nb满足33loglognnanb，求数列 nb的前n项和 【答案】 （1）22nan； （2）181964nnnT 【解析】 （1）2nSnnQ， 当1n 时，2111S ，即10

9、a ， 当2n时，211)1(nSnn， 21211nnSSnnnn，222nnna， 验证知，当1n 时，也成立 综上，22nan （2）据（1）求解知，22nan 模 拟模 拟 优 练优 练 又33loglognnanb，3322loglognnnb ，19nnbn， 数列 nb的前n项和01211 92 93 99nnTn L， 12391 92 93 99nnTn L， -，得012191 91 91 91 99nnnnTTn L， 11 9891 9nnnTn ，181964nnnT 3已知数列 na的前n项和为nS，若2nSnkn (*kN)，且nS的最大值为 25 （1）求k的值

10、及通项公式na； （2）求数列112nan的前n项和nT 【答案】 （1）10k ，211nan (*nN)； （2）43499 3nnnT 【解析】 （1）由题可得2224nkkSn ，*k Z， 所以当k为偶数时，2max2254nkkSS，解得10k ； 当k为奇数时，21max21254nkkSS，此时k无整数解， 综上可得：10k ，210nSnn 1n 时，119aS 当2n时，221101101211nnnnnnnnaSS ， 当1n 时也成立 综上可得：211nan ， 所以10k ，211nan (*nN) （2）112224nannnnn，1212444nnnT 23111

11、2144444nnnnnT 两式相减得21311144444nnnnT， 111113114414433 4414nnnnnnnT， 则14199 43 4nnnnT，则43499 3nnnT 4已知数列 na是递增的等比数列，前 3 项和为 13，且13a ，23a，35a 成等差数列 （1）求数列 na的通项公式； （2）数列 nb的首项11b ，其前n项和为nS，且 ，若数列 nc满足nnnca b， nc的前n项和为nT，求nT的最小值 在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题 34nnSb；122nnbbn；152nnbbn 【答案】 （1）13nna； （2

12、）答案见解析 【解析】 （1）设数列 na的公比为q， 则由前 3 项和为 13，且13a ，23a，35a 成等差数列， 得12321313635aaaaaa ，所以132103aaa， 所以3310qq，即231030qq ，解得13q 或3q ， 又因为 na是递增的等比数列，所以1q ，所以3q ，所以11a ， 所以13nna （2）选择 因为34nnSb，所以11342nnSbn， 两式相减得11()(3)0nnnnSSbb，即1402nnbbn， 所以1421nnbnb， 所以数列 nb是以11b 为首项，14为公比的等比数列， 故 114nnb， 因此 134nnnnca b，

13、 因为0nc 恒成立，即10c ，20c ，30c ， 所以11min1nTTc 选择 由122nnbbn知 nb是以11b 为首项，2 为公差的等差数列， 所以(1 212)1nbnn， 所以121) 3(nnnnca bn， 因为1()21 30nncn，即10c ，20c ，30c ， 所以11min1nTTc 选择 由152nnbbn知 nb是以11b 为首项，15为公比的等比数列， 所以115nnb ， 所以11113355nnnnn nca b ，所以31553138515nnnT ， 当n为奇数时，由于305n，故58nT ； 当n为偶数时，由于305n，故58nT ， 由531

14、85nnT 在n为偶数时单调递增， 所以当2n时，min51628255nT， 综上所述：nT的最小值为25 5已知递增的等比数列 na满足：23a ，313S （1）求 na的前n项和nS； （2）设3111 lognnbna，求数列 nb的前n项和nT 【答案】 （1）312nnS； （2）1nnTn 【解析】 （1）由题可知23313aS，1213113a qaqq， 由递增的等比数列 113naaq或1913aq（舍） ， 所以113112nnnaqSq （2）由（1）知13nna，所以3111111 log11nnbnan nnn， 所以数列 nb的前n项和123nnTbbbbL11

15、1111111122334111nnnnn L， 数列 nb的前n项和1nnTn 6已知数列na为各项非零的等差数列，其前n项和为nS，满足221nnSa （1）求数列na的通项公式； （2）记1( 1)nnnnnba a，求数列 nb的前n项和nT 【答案】 （1）21nan； （2）,421,42nnnnTnnn为偶数为奇数 【解析】 （1）212121(21)()(21)2nnnnnaaSana， 0na Q，21nan （2）1111( 1)( 1)()( 1)(21)(21)4 2121nnnnnnnnba annnn， 当n为偶数时， 11111111111141335572121

16、412142nnTnnnn L； 当n为奇数时， 111111111111141335572121412142nnTnnnn L， 所以,421,42nnnnTnnn为偶数为奇数 7已知 na为等差数列，数列 nb的前n和为nS，1122ab，2810aa，_ 在112nnSb， 2nanb这两个条件中任选其中一个， 补充在上面的横线上， 并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) （1）求数列 na和 nb的通项公式； （2）求数列nnab的前n项和nT 【答案】条件选择见解析； （1）nan，2nnb ； （2）212222nnnnT 【解析】选解： （1）设等差数

17、列 na的公差为d， 122a Q，2810aa，12810ad，11a，1d ， 1 (1) 1nann ， 由112nnSb，得21nnSb， 当2n时，112121nnnnnbSSbb， 即12nnbb，所以 nb是一个以 2 为首项，2 为公比的等比数列， 12 22nnnb （2）由（1）知2nnnabn， 1212222nnTnL， 12(1 2)222nnTnLL， 212 1 2(1)2221 222nnnnnnnT 选解： （1）设等差数列 na的公差为d， 122a Q，2810aa，12810ad，11a，1d ， 1 (1) 1nann 2nanbQ，11a ，12b

18、， 令1n ，得112ab，即22，1， 22nannb （2）解法同选的第（2）问解法相同 8已知正项等比数列 na，满足241a a ，5a是112a与35a的等差中项 （1）求数列 na的通项公式； （2）设444121nnnnnabnaa ，求数列 nb的前n项和nS 【答案】 （1）32nna； （2）1111,221211,21221nnnnnkSnnk 【解析】 （1）设等比数列 na的公比为q， 因为5a是112a与35a的等差中项， 所以421112125a qaa q，解得24q 或232q （舍去） ， 因为数列 na为正项数列，所以0q ，所以2q =， 因为241a a ，所以231a ， 又因为0na ，所以31a ， 所以3332nnnaa q （2）由（1）得32nna，所以142nna， 因为444121nnnnnabnaa ， 所以111112211111212122212121nnnnnnnnnnnnbnnn ， 所以1111111111234513377152121nnnnSn LL， 当n为偶数时，111212nnnS ，*nN； 当n为奇数时，111111111111212212221nnnnnnnS ，*nN， 所以1111,221211,21221nnnnnkSnnk