（新高考）2021届高三大题优练9：圆锥曲线探索性问题（教师版）

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1、 例 1已知椭圆222210:xyababC的左焦点为F，点61,2M在椭圆C上，且椭圆C上存在点N与点F关于直线yx对称 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线l与椭圆C只有一个公共点，点A，B是x轴上关于原点对称的两点，且点A，B在直线l上的射影分别为P，Q，判断是否存在点A，B，使得APBQ为定值，若存在，求出A，B的坐标及该定值；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）22142xy； （2） ，存在点2,0A，2,0B 或2,0A ，2,0B，使得APBQ为定值，该定值为 2 【解析】 （1）因为点61,2M在椭圆C上，所以221123ab 由题意知,0Fc， 因为点N与点F关于直线

2、yx对称，所以点N的坐标为0,Nc， 代入椭圆C的方程，得221cb，即2221abb，所以222ab， 与221123ab联立并求解，得24a ，22b ， 所以椭圆C的标准方程为22142xy （2）存在点A，B，使得APBQ为定值 当直线l的斜率存在时，设其方程为ykxm， 将ykxm代入22142xy，得222124240kxkmxm， 则22244 1 2240kmkm，得2242mk 优优 选选 例例 题题 圆锥曲线探索性问题 大题优练大题优练 9 9 设,00A tt ，则,0Bt ，点,0A t到直线l的距离21tkmAPk， 点,0Bt 到直线l的距离21tkmBQk， 所以

3、22222224211tkmt kAPBQkk， 当242t，即2t 时，2AP BQ，为定值， 所以存在点2,0A，2,0B 或2,0A ，2,0B，使得2AP BQ； 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为2x， 2,0A，2,0B 或2,0A ，2,0B均满足2AP BQ 综上，存在点2,0A，2,0B 或2,0A ，2,0B， 使得APBQ为定值，该定值为 2 例 2已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab实轴端点分别为1(,0)Aa，2( ,0)A a，右焦点为F，离心率为2，过1A点且斜率 1 的直线l与双曲线C交于另一点B，已知1ABF的面积为92 （1）求双曲线的方程；

4、（2）若过F的直线与双曲线C交于M，N两点，试探究直线1AM与直线2A N的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由 【答案】 （1）2213yx ； （2）存在，12x 【解析】 （1）设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的焦距为2c， 因为离心率为 2，所以2ca，3ba， 联立222213yxaxyaa，得2220 xaxa， 所以点B的坐标为(2 ,3 )aa， 因为(2 ,0)Fa，所以1ABF的面积为193322aa，所以21a ， 双曲线的方程为2213yx （2）设11,M x y，22,N x y，直线MN的方程为2xmy， 直线1AM的

5、方程为11(1)1yyxx，直线2A N的方程为22(1)1yyxx， 联立1122(1)1(1)1yyxxyyxx，所以点Q的横坐标为122112122112Qx yx yyyxx yx yyy， 联立22213xmyyx，得22311290mymy， 1221231myym ，122931y ym， 所以1221121221121221121221122222Qmyymyyyyx yx yyyxx yx yyymyymyyyy 222222122121222229126232231313131121232433131mmmyyymy yyymmmmmyyyyymm， 直线1AM与直线2A

6、N的交点Q在直线12x 上 1椭圆2222:10 xyEabab的焦点到直线30 xy的距离为105，离心率为2 55抛物线2:20G ypx p的焦点与椭圆E的焦点重合，斜率为k的直线l过G的焦点与E交于,A B，与G交于,C D （1）求椭圆E及抛物线G的方程； （2）是否存在常数，使得15ABCD为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 模 拟模 拟 优 练优 练 【答案】 （1）椭圆22:15xEy，抛物线2:8G yx； （2）存在，165 【解析】 （1）设椭圆焦点,0c， 由题意得2210513cd ，解得2c ，即椭圆焦点为2,0， 所以抛物线G的焦点为2,0，所以22p

7、，解得4p ， 所以抛物线G的方程为28yx， 又椭圆E得离心率为2 55，所以22 55a，得5a 又222541bac，得1b 所以椭圆E的方程为2215xy （2）由题意得，直线l不与x轴平行， 设直线l的方程为2xmy，并设11,A x y，22,B x y，33,C x y，44,D xy， 联立2xmy与2215xy，消去x，整理得225410mymy ， 222(4 )4(5)( 1)20200mmm，12245myym ，12215y ym， 所以2212121222 51()45myyyyy ym， 所以221222 5115mABmyym， 联立2xmy与28yx，消去x，

8、整理得28160ymy， 22( 8 )4 ( 16)64640mm ，348yym， 所以234344881CDxxm yym， 得22222555 420515510181401mmABCDmmm， 当20 54，即165 时，15ABCD为常数510 故存在165 ，使15ABCD为常数 2已知抛物线2:20C ypx p的焦点为F，过点2,0A的直线l交C于M，N两点，当MN与x轴垂直时，MNF的周长为9 （1）求C的方程： （2）在x轴上是否存在点P，使得OPMOPN恒成立(O为坐标原点)？若存在求出坐标，若不存在说明理由 【答案】 （1）22yx； （2）存在，P点坐标为2,0 【

9、解析】 （1）当MN与x轴垂直时，| |22pMFNF，| 4MNp， 从而有449pp，解得1p ， 所以C的方程为22yx （2）设0,0P x，11,M x y，22,N x y， 由题可知直线l斜率不为零，设:2l xmy， 代入抛物线方程22yx消去x，得2240ymy， 从而122yym，124y y ， 由OPMOPN，可得0MPNPkk， 而121020MPNPyykkxxxx12102022yymyxmyx1201210202222my yxyymyxmyx， 将代入，从而得0102042022mmxmyxmyx恒成立，所以02x ， 因此存在点P满足题意，P点坐标为2,0

10、3已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，且过点(2,1)A （1）求C的方程； （2）点M，N在C上，且AMAN，ADMN，D为垂足，问是否存在定点Q，使得DQ为定值， 若存在，求出Q点；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）22182xy； （2）存在，答案见解析 【解析】 （1）由题意可得2222232411caababc，解得28a ，22b ， 故椭圆方程为22182xy （2）设点11,M x y，22,N xy， 若直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为ykxm， 代入椭圆方程，消去y并整理得222148480kxkmxm， 可得122814kmxxk ，2122

11、481 4mx xk， 因为AMAN，所以0AM AN uuuu r uuu r，即 121222110 xxyy， 根据11ykxm，22ykxm， 代入整理可得 221 21212140 x xkmkxxkm， 所以22222488121401 41 4mkmkkmkmkk， 整理化简得653 210kmkm， 因为2,1A不在直线MN上，所以210km ， 故6530km ，所以365km ， 于是MN的方程为3663555ykxmkxk xk ， 所以直线过定点63,55P； 当直线MN的斜率不存在时，可得11,N xy， 由0AM AN uuuu r uuu r，得 111122110 xxyy， 得1221210 xy ，结合2211182xy，可得211516120 xx， 解得165x 或22x ，当22x 时与点A的横坐标重合舍去， 此时直线MN过点63,55P 令Q为AP的中点，即8 1,5 5Q， 若D与P不重合，则由题设知AP是ADPRt的斜边， 故2211632 52122555DQAP； 若D与P重合，则12DQAP， 故存在点8 1,5 5Q，使得DQ为定值