(新高考)2021届高三大题优练8:圆锥曲线定值定点问题(教师版)
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1、 例 1 设椭圆2222:1(0)xyCabab,O为原点, 点(4,0)A是x轴上一定点, 已知椭圆的长轴长等于|OA,离心率为32 (1)求椭圆的方程; (2)直线: l ykxt与椭圆C交于两个不同点M,N,已知M关于y轴的对称点为M,N关于原点O的对称点为N,若点,A M N三点共线,求证:直线l经过定点 【答案】 (1)2214xy; (2)证明见解析 【解析】 (1)由题意得2a,3c ,所以2221bac, 所以椭圆C的方程为2214xy (2)证明:设11,M x y,22,N xy,则11,Mx y ,22,Nxy , 直线:MNykxt,与椭圆方程联立2214ykxtxy,
2、 得222148440kxktxt, 则122814ktxxk ,2122441 4tx xk,114AMykx,224ANykx 因为点,A M N三点共线,所以AMANkk,即121244yyxx, 所以12211212124404444yxyxyyxxxx, 即 1221440kxtxkxtx, 整理得1 2122(4 )80kx xtkxxt 优优 选选 例例 题题 圆锥曲线定值定点问题 大题优练大题优练 8 8 由122814ktxxk ,2122441 4tx xk,代入 22244824801 41 4tktktktkk,整理得tk, 所以直线l的方程为1ykxkk x,即直线l
3、恒过定点( 1,0) 例 2已知12,F F分别是椭圆2222:10 xyCabab的左右焦点,A为椭圆的上顶点,12AFF是面积为4的直角三角形 (1)求椭圆C的方程; (2)设圆228:3O xy上任意一点P处的切线l交椭圆C于点,M N,问:PM PNuuuu r uuu r是否为定值? 若是,求出此定值;若不是,说明理由 【答案】 (1)22184xy; (2)是定值,定值为83 【解析】 (1)由12AFF为直角三角形,故bc, 又1 21242AF FSc b,可得4bc ,解得2bc, 所以28a , 所以椭圆C的方程为22184xy (2)当切线l的斜率不存在时,其方程为2 6
4、3x , 将2 63x 代入22184xy,得2 63y , 不妨设2 62 6,33M,2 6 2 6,33N, 又2 6,03P,所以83PM PN uuuu r uuu r; 同理当2 63x 时,也有83PM PN uuuu r uuu r 当切线l的斜率存在时,设方程为ykxm,11,M x y,22,N x y, 因为l与圆22:184xyO相切,所以22 631mk,即22388mk, 将ykxm代入22184xy,得222214280kxkmxm, 所以122421kmxxk,21222821mx xk, 又 2PM PNPOOMPOONPOOP ONOP OMON OMuuu
5、u r uuu ruuu ruuuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu r uuuu ruuu r uuuu r, 2222POPOPOON OMON OMPOuuu ruuu ruuu ruuu r uuuu ruuu r uuuu ruuu r, 又1 2121 212OM ONx xy yx xkxmkxmuuuu r uuu r 22222221212221 28412121kmk mkx xkm xxmmkk 22238821mkk, 将22388mk代入上式,得0OM ONuuuu r uuu r, 综上,83PM PN uuuu r uuu r 1 已
6、知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、 右焦点分别为12FF、, 点(0 ,2)M是椭圆的一个顶点,12FMF是等腰直角三角形 (1)求椭圆C的方程; (2)过点M分别作直线MA、MB交椭圆于AB、两点,设两直线MA、MB的斜率分别为12kk、, 且128kk,探究:直线AB是否过定点,并说明理由 【答案】 (1)22184xy; (2)直线AB过定点1, 22,理由见解析 【解析】 (1)由点(0,2)M是椭圆的一个顶点,可知2b, 又12FMF是等腰直角三角形,可得2ab,即2 2a , 所以28a ,24b , 所以椭圆的标准方程为22184xy (2)若直线AB的斜率存在,设AB
7、方程为ykxm,依题意2m , 联立22184ykxmxy,得222(1 2)4280kxkmxm , 由已知0,设11( ,)A x y,22(,)B xy, 由韦达定理得122412kmxxk,2122281 2mx xk, 128kkQ,12221211212222yykxmkkkxmxxxx 12212121142(2)()2(2)2(2)828xxkmkmkmkmxxx xm, 42kmkm ,整理得122mk, 故直线AB方程为122ykxk,即122yk x, 模 拟模 拟 优 练优 练 所以直线AB过定点1, 22; 若直线AB的斜率不存在,设AB方程为0 xx,设00(,)A
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