(新高考)2021届高三大题优练10:导数之隐零点问题(教师版)
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1、 例 1已知函数 21xf xex (1)若函数 f xF xx,讨论 F x在0,的单调性; (2)若 23522f xkxx kZ,对任意xR恒成立,求整数k的最大值 【答案】 (1) F x在区间0,1上单调递减,在区间1,上单调递增; (2)1 【解析】 (1)因为 211xxexFxx, 令 1xg xex ,则 100 xg xex 所以函数 g x在0,单调递增,从而 00g xg,所以10 xex 由 0Fx,得1x ;由 0Fx,得01x, 所以 F x在区间0,1上单调递减,在区间1,上单调递增 (2)因为 23522f xkxx kZ,对任意xR恒成立, 所以2min15
2、122xkexx 令 215122xh xexx,则 52xh xex,所以 h x在 R R 上单调递增, 又 3002h , 3102he, 所以存在唯一的00,1x ,使得00h x, 又1202he, 由(1)知当0 x时,1xex,所以343737104444he , 所以存在唯一的01 3,2 4x,使得00h x,即0052xex 优优 选选 例例 题题 导数之隐零点问题 大题优练大题优练 1010 当01,2xx时, 0h x,所以 h x单调递减; 当03,4xx时, 0h x,所以 h x单调递增, 所以 0222000000min151731737122222224xh
3、xh xexxxxx , 01 3,2 4xQ, min271,328h x , 又kZ,所以k的最大值为1 1已知函数( )ln()f xxax aR (1)讨论函数( )f x的单调性; (2)证明:不等式2( )xeaxf x恒成立 【答案】 (1)答案见解析; (2)证明见解析 【解析】 (1)11( )(0)axfxaxxx, 当0a时,( )0fx,所以( )f x在(0,)上单调递增; 当0a 时,令( )0fx,得到1xa, 所以当10,xa时,( )0fx,( )f x单调递增; 当1,xa,( )0fx,( )f x单调递减, 综上所述,当0a时,( )f x在(0,)上单
4、调递增; 当0a 时,( )f x在10,a上单调递增,在1,a上单调递减 (2)设函数2( )lnxxex,则21( )xxex, 模 拟模 拟 优 练优 练 可知( ) x在(0,)上单调递增 又由(1)0,(2)0,知( ) x在(0,)上有唯一实数根0 x,且012x, 则020010 xxex,即0201xex 当00,xx时,( )0 x,( )x单调递减; 当0 xx时,( )0 x,( )x单调递增, 所以0200( )lnxxxex,结合0201xex,知002lnxx , 所以22000000001211( )20 xxxxxxxxx, 则2( )ln0 xxex,即不等式
5、2( )xeaxf x恒成立 2已知函数 1xf xxe (1)求( )f x的最值; (2)若( )lnxf xexxa对(0,)x恒成立,求a的取值范围 【答案】 (1)最小值为1,无最大值; (2),1 【解析】 (1)( )xfxxe, 令( )0fx,得0 x;令( )0fx,得0 x, 所以( )f x在,0上单调递减,在0,上单调递增, 所以( )f x的最小值为(0)1f ,无最大值 (2)由题知,lnxaxexx在(0,)上恒成立, 令( )lnxg xxexx,则1( )(1)xg xxex, 因为0 x,所以10 x 设1( )xh xex,易知( )h x在(0,)上单
6、调递增 因为1202he,(1)10he , 所以存在1,12t,使得( )0h t ,即1tet 当,()0 xt时,( )0g x,( )g x在(0, ) t上单调递减; 当( ,)xt时,( )0g x,( )g x在( ,)t 上单调递增, 所以min( )( )ln11tg xg ttetttt ,从而1a , 故a的取值范围为,1 3已知函数 2ln2f xaxx, 4xg xaxex (1)求函数 f x的极值; (2)当0a 时,证明: 2 ln12 lnln2g xxxa 【答案】 (1)答案见解析; (2)证明见解析 【解析】 (1) 2ln2f xaxx,0 x , 2
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