（新高考）2021届高三数学小题必练3：不等式（含答案解析）

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1、 1学会解不等式 2掌握不等式基本性质 3学会利用基本不等式求最值问题 1【2020 浙江高考真题】已知a，bR且0ab，对于任意0 x均有( )2)0 xa xb xab， 则（ ） A0a B0a C0b D0b 2【2019 天津高考真题（理）】设0 x，0y ，25xy，则(1)(21)xyxy的最小值为_ 一、单选题 1有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同已知三个房间的粉刷面积（单位：2m）分别为x，y，z，且xyz，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m）分别为a，b，c，且abc在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ） Aaxby

2、cz Bazbycx Caybzcx Daybxcz 2已知10ab，且111bMab，111aNab，则M、N的大小关系是（ ） AMN BMN CMN= D不能确定 3设1a ，1b，()1abab，则下列结论正确的是（ ） ab有最小值2( 21)；ab有最大值2( 21)； ab有最大值32 2；ab有最小值32 2 A B C D （新高考）小题必练（新高考）小题必练 3 3：不等式：不等式 4已知 x表示不超过x的最大整数，称为高斯取整函数，例如3.43， 4.25 ，方程220 xx的解集为A，集合22 |650Bxxaxa，且AB RU，则实数a的取值范围是（ ） A10a 或

3、322a B10a 或322a C10a 或322a D10a 或322a 5已知ABC的面积为m，内切圆半径也为m，若ABC的三边长分别为a，b，c，则42ababc的最小值为（ ） A2 B3 C4 D22 2 6已知a，b，cR，0a b c ，0abc，111Tabc，则（ ） A0T B0T C0T D0T 7设231Mxx，21Nxx，则（ ） AMN BMN CMN= DM与N的大小关系与x有关 8某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为213002yxx8

4、0000，为使每吨的平均处理成本最低，该厂每月处理量应为（ ） A300吨 B400吨 C500吨 D600吨 二、多选题 9已知1xy，0y ，0 x，则121xxy的值可能是（ ） A12 B14 C34 D54 10若ab，cd，则下列不等关系中不一定成立的是（ ） Aa bcd Bacbd Cacb c Dacad 11若1ab，0c ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A11ab B11baab Cln()0ba Dccabba 12下列选项正确的有（ ） A若0 x，则11xx有最小值1 B若xR，则221xx 有最大值1 C若xy，则323222xxyyx y D若0 xy，则1

5、1xy 三、填空题 13已知22451( ,)x yyx yR，则22xy的最小值是_ 14设0 x，0y ，24xy，则(1)(21)xyxy的最小值为_ 15已知0a，0b，4ab ，则ab的最大值是_，14ab的最小值是_ 16已知aR，函数4( )f xxaax （1）当0a 时，函数( )f x的最小值为_； （2）若( )f x在区间1,4上的最大值是5，则实数a的取值范围为_ 1【答案】C 【解析】对a分0a与0a两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案 因为0ab，所以0a且0b， 设( )()()(2)f xxaxb xab，则( )f x的零点为1xa，2xb，32

6、xab 当0a时，则23xx，1 0 x，要使( )0f x ，必有2aba，且0b， 即ba，且0b，所以0b； 当0a时，则23xx，10 x ，要使( )0f x ，必有0b， 综上一定有0b，故选 C 【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题 2【答案】4 3 【解析】把分子展开化为26xy ，再利用基本不等式求最值 答案答案与解析与解析 (1)(21)221xyxyxyxyxy， 0 x，0y ，25xy，0 xy ，2 2 3264 3xyxyxyxy， 当且仅当3xy ，即3x ，1y 时成立， 故所求的最小值为4 3 【点睛】使用基

7、本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立 一、单选题 1【答案】B 【解析】由xyz，abc， 所以()()()()()0axbyczazbycxa xzc zxxz ac， 故axbyczazbycx； 同理，()()()()()0aybzcxaybxczb zxc xzxz cb， 故aybzcxaybxcz 因为()()()()()0azbycxaybzcxa zyb yzab zy， 故azbycxaybzcx， 故最低费用为azbycx，故选 B 2【答案】A 【解析】利用作差法可得出M、N的大小关系 已知10ab，且111bMab，111aNab，则01ab， 所以，11)111

8、11(1)(1)(1)(1)(11(1)(1)1baabababababMNabab2(1)0(1)(1)abab， 因此，MN，故选 A 3【答案】B 【解析】利用基本不等式判断即可 由1a ，1b，()1abab，则21()()()2abababab， 即2()4()40abab，解得2( 21)ab或2(12)ab（舍去）， 当且仅当ab时取等号，即正确； 又1()2abababab，即2()210abab ， 解得3 2 2ab 或3 2 2ab （舍去）， 当且仅当ab时取等号，即正确， 故选 B 4【答案】C 【解析】根据题意可得2 |021Axxx，求出集合A，再讨论a的取值范围

9、，求出集合B， 由集合的运算结果即可求解 由题意可得21 |021 |12Axxxxx或102x， 22 |6502)(3)0|(Bxxaxaxxaxa， 当0a时，|0BxxR，满足AB RU； 当0a时， |(2)(3|)30aBxxaxax x或2ax ， 若AB RU，则122a ，解得1a ； 当0a时， |(2)(3)|20aBxxaxax x或3ax ， 若AB RU，则13212aa，解得322a， 综上所述，实数a的取值范围是10a 或322a，故选 C 5【答案】C 【解析】利用等面积法可得2a b c ，式子化为222cababc，利用基本不等式即可求解 因为ABC的面积

10、为m，内切圆半径也为m， 所以1()2abcmm，所以2a b c ， 所以4222422222cababababcabcabcc， 当且仅当2abc，即23c 时，等号成立， 所以42ababc的最小值为4，故选 C 6【答案】B 【解析】由已知可分析出a，b，c符号，再用基本不等式，然后放缩可得T的符号 因为0a b c ，0abc，所以a，b，c中两负一正， 不妨设0a，0b，0c ，()()2cabab ，214abc， 114130abcTabcabcccc ，故选 B 7【答案】A 【解析】作差MN，然后配方可得结论 22221331 (1)2222()022MNxxxxxxx ，

11、MN，故选 A 8【答案】B 【解析】由题意，得到每吨的平均处理成本为800003002yxsxx， 再结合基本不等式求解，即可得到答案 由题意，月处理成本（元）与月处理量（吨）的函数关系为21300800002yxx， 所以平均处理成本为21300800008000023002xxyxsxxx，其中300600 x， 又由80000800003002300400 30010022xxxx， 当且仅当800002xx时，即400 x时，每吨的平均处理成本最低 故选 B 二、多选题 9【答案】CD 【解析】由1xy，0y ，0 x，得10yx ，则1x且0 x 当01x时，112212242xx

12、xxxxyxxxx 12125+2=4424424xxxxxxxx， 当且仅当2=42xxxx，即23x 时取等号； 当0 x时，112212242xxxxxxyxxxx 12123+2=4424424xxxxxxxx 当且仅当2=42xxxx，即2x时取等号， 综上，13214xxy，故选 CD 10【答案】AD 【解析】当3a =，2b=，4c =，1d =时，a bcd ，故 A 错误； ab，cd，由不等式的性质可知a cb d+ +，a cb c- -，故 B、C 正确； cd，若0a ，则acad；若0a，则acad，故 D 错误， 故选 AD 11【答案】BD 【解析】对选项 A

13、，11baabab， 因为1ab，所以0ab，0ba，即0baab，所以11ab，故 A 错误； 对选项 B，11111abababbaababab， 因为1ab，所以0ab ，1ab ，即10ababab， 所以11baab，故 B 正确； 对选项 C，因为0ba，所以ln()ba的范围为R，故 C 错误； 对选项 D，因为1ab，所以0ab，0ba， 因为220ababbaab，所以abba， 又因为0c ，所以cyx在0,为增函数，所以ccabba，故 D 正确， 故选 BD 12【答案】BCD 【解析】对于 A，11112 1111xxxx ， 因为0 x，故1 1x ，故等号不能成立

14、，故 A 错误； 对于 B，当0 x时，2201xx；当0 x时，222211112xxxxxx， 当且仅当1x 时等号成立，故221xx 的最大值为1，故 B 正确； 对于 C，32322222xxyyx yxyxyxy， 因为xy，故0 xy， 而2222324yxyxyxy， 因为xy，故x，y不同时为零，故223024yxy，故220 xyxy， 所以3232220 xxyyx y，即323222xxyyx y，故 C 正确； 对于 D，11yxxyxy，因为0 xy，故0yx，0 xy ，即110 xy， 所以11xy， 故选 BCD 三、填空题 13【答案】45 【解析】根据题设条

15、件可得42215yxy，可得4222222114+555yyxyyyy， 利用基本不等式即可求解 22451x yy，0y 且42215yxy， 422222222114144+2555555yyyxyyyyy， 当且仅当221455yy，即2310 x ，212y 时取等号， 22xy的最小值为45，故答案为45 14【答案】92 【解析】把分子展开化为(1)(21)2212552xyxyxyxyxyxyxyxy， 再利用基本不等式求最值 由24xy，得242 2xyxy，得2xy ， (1)(21)221255592222xyxyxyxyxyxyxyxy， 等号当且仅当2xy，即2x，1y

16、 时成立， 故所求的最小值为92 15【答案】4，94 【解析】由42abab，可得2ab ，即4ab， 当且仅当2ab时，等号成立， 所以ab的最大值是4 由4ab ，可得114ab， 所以11 1144414952414444baababababbaab， 当且仅当4baab，即4383ab时等号成立 14ab的最小值是94， 故答案为4；94 16【答案】4，9,2 【解析】（1）解：当0a 时， 4fxxx 当0 x时， 4424f xxxxx， 当且仅当4xx，即2x时等号成立，即 min4f x； 当0 x时，0 x ， 4424f xxxxx ， 当且仅当4xx ，即2x时等号成立，即 min4f x， 综上所述，函数( )f x的最小值为4 （2）解：当1,4x时，4424xxxx，当且仅当4xx，即2x时等号成立， 当1x 时，45xx；当4x时，45xx，所以44,5xx 当5a时， 44224fxaxaaxaxx，所以245a，即92a (舍)； 当4a时， 45f xxx成立； 当45a时， maxmax 4, 5f xaaaa， 则4545aaaaaa或4555aaaaaa，解得92a 或92a ， 综上所述，9,2a ， 故答案为4，9,2