（新高考）2021届高三数学小题必练7：直线与圆（含答案解析）

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1、 1直线与方程 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式) 2斜截式与一次函数的关系 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 3圆与方程 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程 能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系 4能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；初步了解用代数方法处理几何问题的思想 5空间直角坐标系 了解空间直角

2、坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；会推导空间两点间的距离公式 1 【2020 全国卷理科】已知22:2220M xyxye，直线:220lxy，P为l上的动点， 过点P作Me的切线PA，PB，切点为A，B，当| |PMAB最小时，直线AB的方程为（ ） A210 xy B210 xy C210 xy D210 xy 2 【2020 全国 II 卷理科】若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230 xy的距离 为（ ） A55 B2 55 C3 55 D4 55 一、单选题 （新高考）小题必练（新高考）小题必练 7 7：直线与圆：直线与圆 1已知圆222:O xyr，点( , )

3、(0)P a b ab 是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为1l， 直线2l的方程为20axbyr，那么（ ） A12ll，且2l与圆O相离 B12ll，且2l与圆O相切 C12ll，且2l与圆O相交 D12ll，且2l与圆O相离 2已知圆22:()4(2)Cxaya与直线2 220 xy相切，则圆C与直线40 xy相交 所得弦长为（ ） A1 B2 C2 D2 2 3若直线:1(0)l ykxk与圆22:4230C xxyy相切，则直线l与圆22:(2)3Dxy的 位置关系是（ ） A相交 B相切 C相离 D不确定 4已知圆22:(1)(2)25Cxy，直线(21)1)70:(4m

4、xmyml，m为任意实数，则直线 与圆的位置关系是（ ） A相切 B相交 C相离 D与m的值有关 5动圆M与定圆22:40C xyx相外切，且与直线:2l x 相切，则动圆M的圆心( , )x y满足的方程 为（ ） A212120yx B212120yx C280yx D280yx 6 若直线2axby与圆221xy有两个不同的公共点， 那么点( , )b a与圆224xy的位置关系是 （ ） A点在圆外 B点在圆内 C点在圆上 D不能确定 7已知圆C与直线0 xy及40 xy都相切，圆心在直线0 xy上，则圆C的方程为（ ） A22(1)(1)2xy B22(1)(1)2xy C22(1)

5、(1)2xy D22(1)(1)2xy 8已知圆22:1C xy，直线4:0axyl若直线l上存在点M，以M为圆心且半径为1的圆与圆C有公共点，则a的取值范围（ ） A(, 33,) U B 3,3 C(,33,) U D3, 3 二、多选题 9已知圆方程为22(1)(1)4xy与直线20 xmym，下列选项正确的是（ ） A直线与圆必相交 B直线与圆不一定相交 C直线与圆相交且所截最短弦长为2 3 D直线与圆可以相切 10已知圆22111:0M xyD xE yF与圆22222:0N xyD xE yF的圆心不重合， 直线121212():(0DD xEElyFF下列说法正确的是（ ） A若

6、两圆相交，则l是两圆的公共弦所在直线 B直线l过线段MN的中点 C过直线l上一点P（在两圆外）作两圆的切线，切点分别为A，B，则|PAPB D直线l与直线MN相互垂直 11已知圆M与直线20 xy相切于点(0, 2)A，圆M被x轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的 是（ ） A圆M的圆心在定直线20 xy上 B圆M的面积的最大值为50 C圆M的半径的最小值为1 D满足条件的所有圆M的半径之积为10 12已知直线过点(2,4)A与圆224xy相切，则l的方程（ ） A2x B350 xy C34100 xy D2y 三、填空题 13圆2212:0Oxyx与圆222:40Oxyy的公共弦所在的直线

7、方程是 14若圆221:(1)(1)2Cxy和圆2C关于: l yxm对称，圆2C与223:(4)(6)8Cxy相切，则满足条件的直线l有_条 15圆上的点(2,1)关于直线0 xy的对称点仍在圆上，且圆与直线10 xy 相交所得的弦长为2，则圆的方程为 16已知直线:3l ykx与圆22:20C xyy无公共点，AB为圆C的直径，若在直线l上存在点P 使得1PA PBuu u r uuu r，则直线l的斜率k的取值范围是 1 【答案】D 【解析】解法一：P为l上的动点，设( , 22)P xx， 22:2220M xyxye，即22(1)(1)4xy， Me的圆心(1,1)M，半径为2， 2

8、22|(1)( 23)51010PMxxxx 依题意可知在PAMRt中，222|5106PAPMrxx， 221| |2 5106|2|51010PAAMxxABPMxx， 224 5106|51010 xxABxx， 2| | 4 5106PMABxx，当1x时，| |PMAB取得最小值 此时( 1,0)P 过P作Me的其中一条切线为1x， 设PA的方程为1x，则( 1,1)A ， 又12PMk，2ABk ， 直线AB的方程为12(1)yx ，化简得210 xy 解法二：22:(1)(1)4Mxye， 因为21| 2| 2| 2 |42PAMBPAMSPMABSPAAMPAPM， 所以| |

9、PMAB最小，即|PM最小，此时PM与直线l垂直， 11:22PMyx， 直线PM与直线l的交点( 1,0)P ， 过直线外一点P作Me的切线所得切点弦所在直线方程为210 xy ， 所以选 D 【点睛】考查直线和圆的位置关系、最值问题 答案答案与解析与解析 2 【答案】B 【解析】设圆心为( , )a a，则半径为a，圆过点(2,1)， 则222(2)(1)aaa，解得1a 或5a， 所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线的距离都是2 55d 【点睛】考查直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式 一、单选题 1【答案】A 【解析】点( , )P a b在圆O内部，22| |abr，

10、由题意知，当1lOP时，过点P的弦最短，此时11lOPakkb ， 而2l的斜率2lakb ，12ll， 又圆心(0,0)到直线2l的距离2222| | |rrdrrab，2l与圆O相离，故选 A 2【答案】D 【解析】圆心( ,0)C a到直线2 220 xy的距离为1|2 22|22ad， 解得2a 或24 2a ， 因为2a，所以2a ，所以圆22:(2)4Cxy， 圆心到直线40 xy的距离为2|24|22d， 所以圆C与直线40 xy相交所得弦长为22222 2lrd，故选D 3【答案】A 【解析】圆C的方程可化为22(2)(1)2xy，故圆心为( 2,1)C ，半径2Cr 由于直线

11、:10l kxy 和圆C相切，所以2| 21 1|21kk ， 结合0k ，解得1k ， 所以直线l的方程为10 xy ，即10 xy 圆D的圆心为(2,0)D，半径为3Dr ，D到直线l的距离为|20 1|2322， 所以直线l与圆D相交，故选A 4【答案】B 【解析】将直线l的方程整理为(4)(27)0 xymxy， 由40270 xyxy，得31xy，所以直线l过定点(3,1)， 因为22(3 1)(1 2)25，所以点(3,1)在圆内部，所以直线和圆恒有2个交点， 即直线和圆相交，故选B 5【答案】B 【解析】设M点坐标为( , )x y，( 2,0)C ，动圆的半径为r， 则根据两圆

12、相外切及直线与圆相切的性质可得2MCr，dr，|2MCd， 即22(2)(2)2xyx，化简得212120yx， 动圆圆心轨迹方程为212120yx，故选B 6【答案】A 【解析】因为直线2axby与圆221xy有两个公共点， 所以有22|2|1ab，即222ab， 因为点( , )b a与224xy的圆心的距离为22ab，圆224xy的半径为2， 所以点P在圆外，故选A 7【答案】B 【解析】圆心在0 xy上，圆心的纵橫坐标值相反，显然能排除C、D； 验证：A中圆心( 1,1)到两直线0 xy的距离是|2|22， 圆心( 1,1)到直线40 xy的距离是63 222，故A错误，故选B 8【答

13、案】C 【解析】直线l上存在点M，以M为圆心且半径为1的圆与圆C有公共点， 则| 2MC ，只需min|2MC， 即圆22:1C xy的圆心到直线4:0axyl的距离2d ， 2421da，23a ，3a 或3a ，故选 C 二、多选题 9【答案】AC 【解析】由题意，圆22(1)(1)4xy的圆心(1,1)C，半径2r ， 直线20 xmym变形得2(1)0 xm y，得直线过定点(2,1)A， 22|(2 1)(1 1)12CA ， 直线与圆必相交，故A对，B、D错； 由平面几何知识可知，当直线与过定点A和圆心的直线垂直时，弦长有最小值， 此时弦长为222|2 3rCA，故C对， 故选 A

14、C 10【答案】ACD 【解析】联立两圆方程得111222D xE yFD xE yF， 整理得121212()()0DD xEEyFF，为两圆的公共弦所在直线，故A正确； 设圆M的半径为1r，圆N的半径为2r，11(,)22DEM ，22(,)22DEN ， 线段MN的中点为1212(,)44DDEE， 则22221212121212121212()()()()4444DDEEDDEEDDEEFFFF ， 222222222111224444DEFDEFrr， 所以当两圆半径相等时成立，故B错误； 设00(),P x y，则12012012()()0DD xEEyFF， 由切线长定理得222

15、22211100101014|4DEFPAPMxyD xE yF， 22222222200202024|4DEFPBPNxyD xE yF， 所以22|0PAPB，即| |PAPB，故C正确； 因为11(,)22DEM ，22(,)22DEN ，所以直线MN的斜率21121EEkDD， 直线l的斜率为21221DDkEE，则1 21k k ，所以l直线MN相互垂直，故D正确， 故选ACD 11【答案】ABD 【解析】圆M与20 xy相切于(0, 2)A，AM与20 xy垂直， 直线AM斜率为1，则M在直线2yx，即20 xy上，A正确； 设( ,2)M a a，圆M半径22|(22)2 |rA

16、Maaa， 圆M被x轴截得的弦长为2222(2)2442raaa，解得5a或1a ， 当5a时，圆M面积最大，为250r ，B正确； 当1a 时，圆M半径最小，为2，C错误； 满足条件的所有半径之积为5 2210，D正确， 故选ABD 12【答案】AC 【解析】当斜率不存在时2x，dR成立； 当斜率存在时，设直线方程为4(2)yk x，即420kxyk， 圆心到直线的距离为2|42 |1kk， 因为直线与圆相切，所以2|42 |21kk，解得34k ， 所以直线方程为34100 xy， 综上：直线方程为34100 xy或2x，故选 AC 三、填空题 13【答案】20 xy 【解析】2220 x

17、yx，2240 xyy，2222(2 )(4 )0 xyxxyy，20 xy， 即所求直线方程为20 xy 14【答案】3 【解析】圆221:(1)(1)2Cxy，圆心为( 1,1)，半径2r ， 圆心关于: l yxm对称的点为(1,1)m m， 故圆222:(1)(1)2Cxmym， 圆2C与圆3C相切，则22( 3)(5)3 2mm 或22( 3)(5)2mm ， 解得42 2m 或42 2m 或4m， 故答案为3 15【答案】22(1)(1)5xy 【解析】设所求圆的圆心为( , )a b，半径为r， 点(2,1)A关于直线0 xy的对称点A仍在这个圆上， 圆心( , )a b在直线0

18、 xy上，0ab，且222(2)(1)abr； 又直线10 xy 截圆所得的弦长为2， 且圆心( , )a b到直线10 xy 的距离为22|1|1|21( 1)ababd ， 根据垂径定理得2222()2rd，即22|1|1()22abr， 由方程组成方程组，解得2115abr ， 所求圆的方程为22(1)(1)5xy 16【答案】(3, 1, 3)1U 【解析】直线:3l ykx与圆22:(1)1C xy无公共点， 2| 1 3|11dk ，即23k ，33k， 由1PA PBuu u r uuu r，可得2() ()1 1PCCAPCCBPC uuu ruu u ruuu ruuu ruuu r，即|2PC uuu r， 故在直线l上存在点P，使得1PA PBuu u r uuu r； 即在直线l上存在点P，使得|2PC uuu r 圆心C到直线的距离小于等于2，2| 1 3|21k ，即21k ， 综上：(3, 11, 3)k U，故答案为(3, 1, 3)1U