（新高考）2021届高三数学小题必练10：计数原理与概率（含答案解析）

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1、 1掌握古典概率的基本特征，解决简单的概率实际问题，借助古典概型初步认识有限样本空间、随机事件，以及随机事件的概率 2能够根据实际问题的需求，选择恰当的抽样方法获取样本数据，重点提升数据分析、数学建模、逻辑推理和数学运算素养 3了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义，利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 1 【2020 全国新高考卷】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A120种 B90种 C60

2、种 D30种 2 【2020 全国 II 卷理科】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05志愿者每人每天完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A10名 B18名 C24名 D32名 一、单选题 1某电视台一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（ ） A192种 B216种 C24

3、0种 D288种 2某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻那么不同的发言顺序的和数为（ ） A360 B520 C600 D720 3某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位， （新高考）小题必练（新高考）小题必练 1010：计数原理与概率：计数原理与概率 且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（ ） A120种 B156种 C188种 D240种 4若二项式7(2)axx的展开式中31x的系数是84，则实数a （ ） A2 B54 C1

4、D24 551()(2)axxxx展开式中，各项系数之和为3，则展开式中的常数项为（ ） A120 B80 C80 D120 6 “暑假”期间，三个家庭（每家均为一对夫妇和一个孩子）去“沈阳世博园”游玩，在某一景区前合影留念，要求前排站三个小孩，后排为三对夫妇，则每对夫妇均相邻，且小孩恰与自家父母排列的顺序一致的概率是（ ） A115 B190 C1180 D1360 7已知集合1,2,3,4,5,6A ，若从集合A中任取3个不同的数，则这三个数可以作为三角形三边长的概率为（ ） A310 B720 C12 D1320 8中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动

5、的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为（ ） A(32 2)2 B6 C(32 2)4 D8 二、多选题 9为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周则（ ） A某学生从中选3门，共有30种选法 B课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 C课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法 D课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排

6、法 10已知二项式*1(2) ()nxnxN的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，则下列说法正确的是（ ） A所有项的系数之和为1 B所有项的系数之和为1 C含3x的项的系数为240 D含3x的项的系数为240 11一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为80243；现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627则其中正确命题的序号是（ ） A B C D

7、12如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣分别为A、B、C、D、E箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是（ ） AAB所在线路畅通的概率为16 BABC所在线路畅通的概率为56 CDE所在线路畅通的概率为130 D当开关合上时，整个电路畅通的概率为2936 三、填空题 13 （北京市海淀区 2018 年高三一模）社区主任要为小红等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，小红必须与2位老人都相邻，且两位老人不排在两端，则不同的排法种数是_ （用数字作答） 14(广东省东莞市 2018 届高三上学期期末数学试卷)201520150120152 )(1()xaa xaxx

8、RL， 则32015122320152222aaaaL的值为_ 15 （山西省忻州一中、临汾一中 2020 届联考）M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过3R的概率是_ 16已知x，y满足约束条件6300 xxxyyk，且42zxy的最小值为6 （1）常数k _； （2） 向上述不等式组所表示的平面区域D内随机投石子， 则石子落在该区域内的最大圆内的概率为P _ 1 【答案】C 【解析】123653C C C60 【点睛】本题主要考查计数原理的相关知识，考查数学运算 2 【答案】B 【解析】由题意知超市第二天能完成1200份订单的配货， 如果没有志

9、愿者帮忙，则超市第二天共会积压超过500(1600 1200)900份订单的概率为0 05.， 因此要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95， 至少需要志愿者9001850（名） ，故选 B 【点睛】本题主要考查概率知识在生活中的应用，考查数学运算和数据分析 一、单选题 1 【答案】B 【解析】最前排甲，共有55A120种， 最前只排乙，最后不能排甲，有1444AA96种， 根据加法原理可得，共有12096216种，故选 B 2 【答案】C 答案答案与解析与解析 【解析】根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有134254CCC480种情况； 若甲乙两人都参加，有

10、224254CCA240种情况，其中甲乙相邻的有22322532CCAA120种情况， 则不同的发言顺序种数为480 240 120600种，故选 C 3 【答案】A 【解析】根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论： 甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则丁、丙相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况， 将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有33A6种安排方法， 则此时有4 2 648 种编排方法； 甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则丁、丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况， 将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有33A6安排方法， 则此时有3

11、 2 636 种编排方法； 甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则丁、丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况， 将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有33A6种安排方法， 则此时有3 2 636 种编排方法， 则符合题意要求的编排方法有363648120种，故选 A 4 【答案】C 【解析】二项式7(2)axx的展开式，即7(2 )axx的展开式中3x项的系数为84， 所以777 2177C (2 ) ( )C 2rrrrrrrraTxaxx ，令723r ，解得2r ， 代入得25272C84a，解得1a ，故选 C 5 【答案】D 【解析】51()(2)axxxx展开式中

12、，各项系数之和为3， 1x时，13a，2a， 55121()(2)()(2)axxxxxxxx， 展开式中x的一项为80 x，x的1此项为140 x， 展开式中的常数项为16040120，故选 D 6 【答案】B 【解析】前排站三个小孩，后排为三对夫妇的排列为3636A A种， 前排站三个小孩，后排为三对夫妇，则每对夫妇均相邻，且小孩恰与自家父母排列的顺序一致， 故有22232223A A A A48种， 故每对夫妇均相邻，且小孩恰与自家父母排列的顺序一致的概率36368A41A90P ，故选 B 7 【答案】B 【解析】不妨设取出的三个数为abc， ，且abc，若abc， ，能够成三角形，

13、则有以下几种情况； 当6c 时，( , )(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)a b ； 当5c 时，( , )(2,4),(3,4)a b ； 当4c 时，( , )(2,3)a b 一共有7组， 所求的概率为3677C20P 8 【答案】A 【解析】分析题意可知，阴影部分刚好可以拼凑成一个圆形， 设圆的半径为R，该正方形的边长为l，则对于正方形的对角线而言，可以分为三个部分，第一个部分为正方形的对角线上的顶点到圆心的距离，两圆的圆心距，对角线上顶点到圆心的距离， 故(222RRl），解得( 22)lR， 故概率222(32 2)2( 22)RPR，故选 A 二、多选题 9 【答案

14、】CD 【解析】6门中选3门共有36C20种，故 A 错误； 课程“射”“御”排在不相邻两周，共有4245A A480种排法，故 B 错误； 课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有3434A A144种排法，故 C 正确； 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有51145444AC C A504种排法，故 D 正确 10 【答案】AC 【解析】二项式*1(2) ()nxnxN展开式通项为：23211C(2 )()( 1) 2Cnrrn rrrn rrrnnTxxx ， 因为展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，所以12C :C2:5nn，解得6n ； 则该二项式为6

15、(2)1xx，令1x ，则所有项的系数之和为6(2 1)1，故 A 正确，B 错误； 则展开式的通项公式为12 3621( 1) 2CrrrrrnTx ， 令12332r，则2r =，因此含3x的项的系数为2426( 1) 2 C240，故 C 正确，D 错误 11 【答案】ABD 【解析】一袋中有大小相同的4个红球和2个白球， 从中任取3球，恰有一个白球的概率是214236C C3C5p ，故正确； 从中有放回的取球6次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为2163p ， 则恰好有两次白球的概率为24262180C ( ) ( )33243p ，故正确； 现从中不放回的取球2次， 每次任取1球

16、， 则在第一次取到红球后， 第二次再次取到红球的概率为11431145C C3C C5，故错误； 从中有放回的取球 3 次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为4263p ， 则至少有一次取到红球的概率为0331261 C ( )327p ，故正确 12 【答案】BD 【解析】 由题意知，A、B、C、D、E保险闸被切断的概率分别为1( )2P A ，1( )3P B ，1( )4P C ，1()5P D ，1( )6P E ， 所以A、B两个盒子畅通的概率为121233，因此 A 错误； D、E两个盒子并联后畅通的概率为1112911563030 ，因此 C 错误； A、B、C三个盘子混联后畅通

17、的概率为2115113466 ，B 正确； 根据上述分析可知，当开关合上时，电路畅通的概率为2952930636，D 正确 三、填空题 13 【答案】24 【解析】首先小红必须与2位老人都相邻有2种排法，将三人看成一个整体，从剩下的3名志愿者中选出两人排在两端有23A种，剩下的一名志愿者与小红等三人可乱排有22A种， 根据分步计数原理可得不同的排法种数22232 AA24种 14 【答案】1 【解析】由题意得2015C( 2)rrra ，取0 x ，代入二式项得01a ， 12332015122015201520152322014201520152015015CCC2222CCaaaa LL，

18、 0123201420152015201520152015201520152015CCCCC(1 1)CL， 320151223201512222aaaa L 15 【答案】13 【解析】根据题意可得，满足条件： “弦MN的长度超过”对应的弧，其构成的区域是圆的13， 故弦MN的长度超过3R的概率13P 16 【答案】 （1）0； （2）(32 2) 【解析】由42zxy的几何意义可知， 当42zxy经过60 xy与0 xyk的交点( 3,3)22kk 时，取得最小值6， 故4 ( 3)2 (3)622kk ，解得0k （2）由（1）可知，在直角坐标系内画出可行域如图，易求得(3, 3)A，(3,9)B，( 3,3)C 而ABC为等腰直角三角形，且斜边12AB ，其内切圆半径6( 21)r ， 所以平面区域D内圆的最大面积是36(32 2)， 又平面区域D的面积112 6362ABCS， 所以所求概率36(32 2)(32 2)36P