（新高考）2021届高三数学小题必练13：导数及其应用（含答案解析）

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1、（新高考）小题必练13：导数及其应用1根据导数几何意义求解函数切线问题2根据导数正负求解函数单调性3利用函数极值点求函数最值4通过导数求出单调性和极值，分析函数图象讨论求解恒成立问题1【2020全国卷文】曲线的一条切线的斜率为，则该切线的方程为 2【2020全国卷文】设函数，若，则_一、单选题1若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）ABCD2函数在区间上的最大值是（ ）ABCD3已知函数，则其单调增区间是（ ）ABCD4函数是上的单调函数，则的范围是（ ）ABCD5已知函数，若直线过点，且与曲线相切，则直线的斜率为（ ）ABCD6已知函数的图像与x轴切于点，则的极值为（ ）A极大值

2、为，极小值为0B极大值为0，极小值为C极小值为，极大值为0D极小值为0，极大值为7已知偶函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）ABCD8已知函数，若恰有个零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD二、多选题9关于函数，下列说法正确的是（ ）A是的极大值点B函数有且只有个零点C存在正整数，使得恒成立D对任意两个正实数，且，若，则10设函数，若方程有六个不等的实数根，则实数a可取的值可能是（ ）ABC1D211对于函数，下列说法正确的是（ ）A在处取得极大值B有两个不同的零点CD若在上恒成立，则12已知函数，则下列说法正确的是（ ）A当时，在单调递增B当时，在处的切线为

3、轴C当时，在存在唯一极小值点，且D对任意，在一定存在零点三、填空题13已知三个函数，若，都有成立，求实数b的取值范围_14已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是_15已知函数恰有3个不同的零点，则的取值范围是_16已知在内有且仅有一个零点，则_，当时，函数的值域是，则_答案与解析1【答案】【解析】由题意可得，设切点为，则，得，切点坐标为，切线方程为，即【点睛】设出切点，根据导数几何意义求出切点坐标，由点斜式求出切线方程2【答案】【解析】，解得【点睛】求出，根据，求出一、单选题1【答案】B【解析】显然，不是函数的零点，令，得，构造函数，则，令，得到；令，得到且，即函数在上单调递减，在上单调递减，

4、在上单调递增，所以函数有极小值，画出函数的图象，如图所示，由图像可知，当时，直线与的图象不可能有两个交点；当，只需，的图象与直线即有两个不同的交点，即函数恰有两个不同的零点，的取值范围为，故选B2【答案】C【解析】对于函数，当时，；当时，所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减所以，故选C3【答案】A【解析】由，函数定义域为，求导，令，得或（舍去），所以单调增区间是，故选A4【答案】D【解析】函数是上的单调函数，即或(舍)在上恒成立，解得，故选D5【答案】B【解析】设切点坐标为，直线的斜率为，所以，直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程得，解得，因此，直线的斜率为，故选B6【答案】A【解析

5、】由题意，函数，则，因为函数的图像与轴切于点，则，且，联立方程组，解得，即，则，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以函数的极大值为，极小值为，故选A7【答案】D【解析】试题分析：令，因，故由题设可得，即函数在上单调递增且是偶函数又因，故，即，所以，故应选D8【答案】D【解析】由恰有个零点，即方程恰有个实数根即函数的图像与的图像有三个交点，如图与函数的图像恒有一个交点，即函数与有两个交点设与函数相切于点，由，所以，得，所以切点为，此时，切线方程为，将向下平移可得与恒有两个交点，所以，故选D二、多选题9【答案】BD【解析】对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数，时，函

6、数单调递减；时，函数单调递增，是的极小值点，故A错误；对于B选项，函数在上单调递减，又，函数有且只有1个零点，故B正确；对于C选项，若，可得，令，则，令，则，在上，函数单调递增；上，函数单调递减，在上函数单调递减，函数无最小值，不存在正实数，使得成立，故C错误；对于D选项，由，可知，要证，即证，且，由函数在是单调递增函数，所以有，由于，所以，即证明，令，则，所以在是单调递减函数，所以，即成立，故成立，所以D正确，综上，故正确的是BD，故选BD10【答案】BC【解析】当时，则，由，得，即，此时为减函数；由，得，即，此时为增函数，即当时，取得极小值，作出的图象如图：由图象可知当时，有三个不同的x与

7、对应，设，方程有六个不等的实数根，所以在内有两个不等的实根，设，即，则实数a可取的值可能是，1，故选BC11【答案】ACD【解析】由题意，函数，可得，令，即，解得，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，所以当时，函数取得极大值，极大值为，所以A正确；由当时，因为在上单调递增，所以函数在上只有一个零点，当时，可得，所以函数在上没有零点，综上可得函数在只有一个零点，所以B不正确；由函数在上单调递减，可得，由于，则，因为，所以，即，所以，所以C正确；由在上恒成立，即在上恒成立，设，则，令，即，解得，所以当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，所以

8、，所以D正确，故选ACD12【答案】AC【解析】对于A，当时，因为时，即，所以在上单调递增，故A正确；对于B，当时，则，即切点为，切线斜率为，故切线方程为，故B错误；对于C，当时，当时，则恒成立，即在上单调递增，又，因为，所以，所以存在唯一，使得成立，所以在上单调递减，在上单调递增，即在存在唯一极小值点，由，可得，因为，所以，则，故C正确；对于选项D，令，得，则，令，得，则，令，得，则，此时函数单调递减，令，得，则，此时函数单调递增，所以时，取得极小值，极小值为，在的极小值中，最小，当时，单调递减，所以函数的最小值为，当时，即时，函数与无交点，即在不存在零点，故D错误，故选AC三、填空题13【

9、答案】【解析】由题知，在上单调递增；在上单调递减，易知在区间上的最大值为，都有成立，即在上的最大值大于等于在上的最大值，即，即，解得，故答案为14【答案】【解析】当时，显然恒成立，此时；当时，等价于；当，等价于构造函数，求导得，当时，此时函数单调递减，且，只需，即可满足恒成立；当时，此时函数单调递减；当时，函数单调递增，所以在上的最小值为，只需，即可满足恒成立综上，实数需满足，即，故答案为15【答案】【解析】，由，得或，此时函数单调递增，由，得，此时函数单调递减，即当时，函数取得极大值，即当时，函数取得极小值，若函数恰有3个不同的零点，则且，则，则，即的取值范围是，故答案为16【答案】，【解析】，令，可得，在内有且仅有一个零点，则必有，且极小，则，此时在，又，故的值域是，即，所以