（新高考）2021届高三数学小题必练17：新定义类创新题（含答案解析）

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1、 高考数学试题坚持以能力为立意，全面考查学生的数学知识、方法和数学思想以“新定义”为背景的创新试题，通过在试题中给出新的定义，考查学生的现场学习能力(即自学能力)、阅读理解能力、探究与猜想等创新能力，并考查类比迁移、数形结合和归纳转化等数学思想方法 1【2020全国卷】0 1周期序列在通信技术中有着重要应用， 若序列21naaaLL满足0,1(1,2,)iaiL，且存在正整数m，使得(1,2,)i miaa iL成立，则称其为0 1周期序列，并称满足(1,2,)i miaa iL的最小正整数m为这个序列的周期，对于周期为m的0 1序列21naaaLL，111( )(1,2,ni kiC ka

2、akmL 1)m是描述其性质的重要指标， 下列周期为5的0 1序列中， 满足1( )(1,2,3,4)5C kk的序列是 （ ） A11010L B11011L C10001L D11001L 2【2020山东卷】信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量X所有可能的取值为1,2,nL， 且()01,2, )iP XipinL，11niip，定义X的信息熵21()logniiiH Xpp ，（ ） A若1n ，则()0H X B若2n，则()H X随着iP的增大而增大 C若1(1,2, )ipinnL，则()H X随着n的增大而增大 D若2nm，随机变量Y所有可能的取值为1,2,mL，且21(

3、)(1,2,)jmjP Yjppjm L， 则()( )H XH Y （新高考）小题必练（新高考）小题必练 1 17 7：新定义类创新题：新定义类创新题 一、单选题 1设向量11( ,)a ba，22(,)a bb，定义一种运算“”向量11222 11 2( ,)(,)(,)a ba ba b abab，已知1(2, )2m，(,0)3n，点( , )P x y在sinyx的图象上运动，点Q在 ( )yf x的图象上运动且满足OQOPuuu ruuu rmn（其中O为坐标原点），则 ( )yf x的最小值为（ ） A1 B2 C2 D12 2数列na满足：对任意的*nN且3n，总存在*, i

4、jN，使得(,)nijaaa ij in jn，则称 数列na是“T数列”，现有以下四个数列：2 n；2n；3 n；115()2n，其中是“T数列”的有（ ） A0个 B1个 C2个 D3个 二、多选题 3在R上定义运算：abadbccd，若不等式1113xaax对任意实数x恒成立，则下列实数a的 描述中正确的有（ ） Aa有最大值112 Ba有最大值2112 Ca有最小值2112 Da有最小值112 4 能够把椭圆22:148xyC的周长和面积同时分为相等的两部分的函数( )f x称为椭圆C的 “亲和函数” ，下列函数是椭圆C的“亲和函数”的是（ ） A32( )f xxx B5( )ln5

5、xf xx C( )sinf xx D( )xxf xee 三、填空题 5定义运算,a ababb ab，则关于正实数x的不等式44()5(2 )xxx的解集为 6设全集1,2,3,4,65,U ，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：2,4表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000（1）若2,3,6M ，则UM表示6位字符串为_ （2）若31,A，集合ABU表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数为_个 7丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式

6、方面留下了很多宝贵的成果，设函数( )f x在( , )a b上的导函数为( )fx，( )fx在( , )a b的导函数为( )fx，若在( , )a b上( ) 0fx恒成立， 则称函数( )f x在( , )a b上为 “凸函数” ， 已知4323( )432xtf xxx在(1,4)上为“凸函数”，则实数t的取值范围是 8如果定义在R上的函数( )f x满足：对于任意12xx，都有11221221( )()()( )x f xx f xx f xx f x， 则称( )f x为“H函数”给出下列函数：31yxx ；32(sincos )yxxx；1xye； ln|,0( )0,0 xx

7、f xx，其中“H函数”的个数是 1【答案】C 【解析】由i miaa知，序列ia的周期为m，由已知，5m，511( ),1,2,3,45ii kiC ka ak， 对于选项A， 511223443556111111(1)()(1 0000)55555iiiCa aa aa aa aa aa a， 52132435457161112(2)()(0 10 10)5555iiiCa aa aa aa aa aa a ，不满足； 对于选项B， 51122344551361113(1)(1 00 1 1)555)5=iiiCa aa aa aa aa aa a ，不满足； 对于选项D， 5112233

8、4455611112(1)()(1 000 1)5555iiiCa aa aa aa aa aa a，不满足， 故选C 答案答案与解析与解析 【点睛】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，根据定义将各选项一一代入，然后分别判断即可 2【答案】AC 【解析】对于A选项，若1n ，则1i ，11p ，所以2()(1 log 1)0H X ， 所以A选项正确； 对于B选项，若2n，则211,2,1ipp ，所以121121()log(1) log (1)H Xpppp ， 当114p 时，221133()(loglog)4444H X ； 当134p 时，223311()(loglog)4444

9、H X ， 两者相等，所以B选项错误； 对于C选项，若1(1,2, )ipinnL，则222111()(log)loglogH Xnnnnn ， 则()H X随着n的增大而增大，所以C选项正确； 对于D选项，若2nm，随机变量Y的所有可能的取值为1,2,mL，且21()jmjP Yjpp (1,2,)jmL， 2222111()loglogmmiiiiiiH Xpppp 222212221221211111loglogloglogmmmmppppppppL， 122221212122211111( )() log() log() logmmmmmmmmH YppppppppppppL22221

10、222122211112221111loglogloglogmmmmmmppppppppppppL， 由于0(1,2,2 )ipimL，所以2111iimippp ，所以222111loglogiimippp ， 所以222111loglogiiiimippppp ，所以()( )H XH Y，所以D选项错误， 故选AC 【点睛】 本题主要考查新定义 “信息熵” 的理解和应用， 需要结合对数运算、 对数函数及不等式性质进行求解 一、单选题 1【答案】B 【解析】由题意知，点P的坐标为( ,sin )xx， 则11(,2sin )(,0)(,2sin )2323OQOPxxxxuuu ruuu

11、rmn， 又因为点Q在 ( )yf x的图象上运动，所以点Q的坐标满足 ( )yf x的解析式， 即12()2sin( )2sin()2323fxxf xx，所以函数 ( )yf x的最小值为2， 故应选B 2【答案】C 【解析】令2nan，则11(3)nnaaan，所以数列2 n是“T数列”； 令2nan，则11a ，24a ，39a ，所以312aaa，所以数列2n不是“T数列”； 令3nna ，则13a ，2 9a ，327a ，所以312aaa，所以数列3 n不是“T数列”； 令115()2nna，则12312151515()()()(3)222nnnnnnaaan， 所以数列115(

12、)2n是“T数列”， 综上，“T数列”的个数为2 二、多选题 3【答案】BC 【解析】原不等式等价于(1)(3)(1)1x xaa，即21(1)(3)xxaa 对任意实数x恒成立， 又221551()244xxx ，25234aa，解得21111222a 4【答案】BC 【解析】椭圆的中心为原点，选项BC中函数是奇函数且图像关于原点对称，过原点，故是亲和函数； 选项 A 非奇非偶函数，选项 D 为偶函数，故不是亲和函数 三、填空题 5【答案】(1,) 【解析】,a ababb ab，44xx，444()xxxx， 同理可得55,025(2 )52 ,2xxxx， 不等式44()5(2 )xxx

13、的解集为(1,) 6【答案】100110，4 【解析】M表示的6位字符串是011001，则UM表示的6位字符串为100110； 若31, A，集合ABU表示的字符串为101001， 集合B可能是6，1,6，3,6，1,3,6，故满足条件的集合B有4个 7【答案】51,)8 【解析】32( )3fxxtxx，2( )323fxxtx， 函数4323( )432xtf xxx在(1,4)上是“凸函数”，在( , )a b上，( )0fx恒成立， 23230 xtx，即31()2txx， 令31( )()2g xxx，显然( )g x在(1,4)上单调递增， 51( )(4)8g xg，518t ，

14、 故答案为51,)8 8【答案】 【解析】对于任意给定的不等实数1x，2x，不等式11221221( )()()( )x f xx f xx f xx f x恒成立， 不等式等价为1212() ( )()0 xxf xf x恒成立， 即函数( )f x是定义在R上的不减函数 （即无递减区间） 函数31yxx ，则221yx ，在22,22函数为减函数，不满足条件； 32(sincos )yxxx， 32cos2sin32(sincos )32 2sin0()4yxxxxx ，函数单调递增，满足条件； 1xye是定义在R上的增函数，满足条件； ln|,0( )0,0 xxf xx，1x时，函数单调递增，当1x时，函数单调递减，不满足条件， 故答案为