高考数学一轮复习总教案:9.2双曲线
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1、9.2 双曲线双曲线 典例精析典例精析 题型一 双曲线的定义与标准方程 【例 1】已知动圆 E 与圆 A:(x4)2y22 外切,与圆 B:(x4)2y22 内切,求动圆圆心 E 的轨迹方程. 【解析】设动圆 E 的半径为 r,则由已知|AE|r 2,|BE|r 2, 所以|AE|BE|2 2,又 A(4,0),B(4,0),所以|AB|8,2 2|AB|. 根据双曲线定义知,点 E 的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线的右支. 因为 a 2,c4,所以 b2c2a214, 故点 E 的轨迹方程是x22y2141(x 2). 【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出 E 点满足的几何条
2、件,结合双曲线定义求解,要特别注意轨迹是否为双曲线的两支. 【变式训练 1】P 为双曲线x29y2161 的右支上一点,M,N 分别是圆(x5)2y24 和 (x5)2y21 上的点,则|PM|PN|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】选 D. 题型二 双曲线几何性质的运用 【例 2】双曲线 C:x2a2y2b21(a0,b0)的右顶点为 A,x 轴上有一点 Q(2a,0),若 C 上存在一点 P,使0,求此双曲线离心率的取值范围. 【解析】设 P(x,y),则由0,得 APPQ,则 P 在以 AQ 为直径的圆上, 即 (x3a2)2y2(a2)2, PQAPPQAP又
3、P 在双曲线上,得x2a2y2b21, 由消去 y,得(a2b2)x23a3x2a4a2b20, 即(a2b2)x(2a3ab2)(xa)0, 当 xa 时,P 与 A 重合,不符合题意,舍去; 当 x2a3ab2a2b2时,满足题意的点 P 存在,需 x2a3ab2a2b2a, 化简得 a22b2,即 3a22c2,ca62, 所以离心率的取值范围是(1,62). 【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式,是求离心率的取值范围的常用方法. 【变式训练 2】设离心率为 e 的双曲线 C:x2a2y2b21(a0,b0)的右焦点为 F,直线 l 过焦点 F,且斜率为 k,则直线
4、 l 与双曲线 C的左、右两支都相交的充要条件是( ) A.k2e21 B.k2e21 C.e2k21 D.e2k21 【解析】由双曲线的图象和渐近线的几何意义,可知直线的斜率 k 只需满足bakba,即 k2b2a2c2a2a2e21,故选 C. 题型三 有关双曲线的综合问题 【例 3】(2013 广东模拟)已知双曲线x22y21 的左、右顶点分别为 A1、A2,点 P(x1,y1),Q(x1,y1)是双曲线上不同的两个动点. (1)求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程; (2)若过点 H(0,h)(h1)的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点,且 l1l2,求
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