高考数学一轮复习总教案:3.3导数的应用二
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1、3.33.3 导数的应用导数的应用( (二二) ) 典例精析典例精析 题型一 利用导数证明不等式 【例 1】已知函数 f(x)12x2ln x. (1)求函数 f(x)在区间1,e上的值域; (2)求证:x1 时,f(x)23x3. 【解析】(1)由已知 f(x)x1x, 当 x1,e时,f(x)0,因此 f(x)在 1,e上为增函数. 故 f(x)maxf(e)e221,f(x)minf(1)12, 因而 f(x)在区间1,e上的值域为12,e221. (2)证明:令 F(x)f(x)23x323x312x2ln x,则 F(x)x1x2x2(1x)(1x2x2)x, 因为 x1,所以 F(
2、x)0, 故 F(x)在(1,)上为减函数. 又 F(1)160, 故 x1 时,F(x)0 恒成立, 即 f(x)23x3. 【点拨】有关“超越性不等式”的证明,构造函数,应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明方法. 【变式训练 1】已知对任意实数 x,有 f(x)f(x),g(x)g(x),且 x0 时,f(x)0,g(x)0,则 x0 时( ) A.f(x)0,g(x)0 B.f(x)0,g(x)0 C.f(x)0,g(x)0 D.f(x)0,g(x)0 【解析】选 B. 题型二 优化问题 【例 2】 (2012 湖南模拟)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两个桥墩相距 m 米,余下
3、工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为 256 万元;距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 x)x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素.记余下工程的费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 【解析】(1)设需新建 n 个桥墩,则(n1)xm, 即 nmx1. 所以 yf(x)256n(n1)(2 x)x 256(mx1)mx(2 x)x 256mxm x2m256. (2)由(1)知 f(x)256mx212mxm2x2(x 512). 令 f(x
4、)0,得 x 512.所以 x64. 当 0 x64 时,f(x)0,f(x)在区间(0,64)内为减函数;当 64x640 时,f(x)0,f(x)在区间(64,640)内为增函数. 所以 f(x)在 x64 处取得最小值. 此时 nmx16406419. 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小. 【变式训练 2】(2013 上海质检)如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作 4 个全等的矩形骨架,总计耗用 9.6 米铁丝,骨架把圆柱底面 8 等份,再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面212323和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径 r 取何值时, S 取得最大值?并求出该最大值(结果精
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