高考数学一轮复习总教案:2.9函数模型及其应用
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1、2.9 函数模型及其应用函数模型及其应用 典例精析典例精析 题型一 运用指数模型求解 【例 1】按复利计算利率的一种储蓄,本金为 a 元,每期利率为 r,设本利和为 y,存期为 x,写出本利和 y 随期数 x 的变化函数式.如果存入本金 10 000 元,每期利率为 2.25%,计算 5 期的本息和是多少? 【解析】已知本金为 a 元, 1 期后的本利和为 y1aa ra(1r); 2 期后的本利和为 y2a(1r)a(1r)ra(1r)2; 3 期后的本利和为 y3a(1r)2a(1r)2r a(1r)3; x 期后的本利和为 ya(1r)x. 将 a10 000, r2.25%, x5 代
2、入上式得 y10 000(12.25%)511 176.8, 所以 5 期后的本利和是 11 176.8 元. 【点拨】在实际问题中,常遇到有关平均增长率的问题,如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p,则总产值 y 与时间 x 的关系为 yN(1p)x. 【变式训练 1】某工厂去年十二月的产值为 a,已知月平均增长率为 p,则今年十二月的月产值较去年同期增长的倍数是( ) A.(1p)121 B.(1p)12 C.(1p)11 D.12p 【解析】 今年十二月产值为 a(1p)12, 去年十二月产值为 a, 故比去年增长了(1p)121a,故选 A. 题型二 分段函数建模求解 【例 2】
3、在对口脱贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲经营状况良好的某种消费品专卖点以 5.8 万元的优惠价格转给尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型残病人企业乙,并约定从该经营利润中,首先保证企业乙的全体职工每月的最低生活费开支 3600 元后,逐步偿还转让费(不计息). 在甲提供资料中有:这种消费品的进价每件 14 元;该店月销售量 Q(百件)与销价 p(元)关系如图;每月需各种开支 2 000 元. (1)试问为使该店至少能维持职工生活,商品价格应控制在何种范围? (2)当商品价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大?并求最大余额; (3)企业乙只依靠该厂,最早可望几年后脱贫
4、? 【解析】设该店月利润额为 L,则由假设得 LQ(p14) 1003 6002 000, (1)当 14p20 时,由 L0 得 18p20, 当 20p26 时,由 L0 得 20p22, 故商店销售价应控制在 18p22 之内. (2)当 18p20 时,L 最大450元,此时,p19.5 元. 当 20p22 时,L 最大41623元,此时,p2013元. 故 p19.5 元时,月利润最大余额为 450 元. (3)设可在 n 年内脱贫,依题意得 12n 45050 00058 0000,解得 n20, 即最少可望在 20 年后脱贫. 【点拨】解答这类题关键是要仔细审题,理解题意,建立
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