高考数学一轮复习总教案:2.10函数的综合应用
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1、2.10 函数的综合应用函数的综合应用 典例精析典例精析 题型一 抽象函数的计算或证明 【例 1】已知函数 f (x)对于任何实数 x,y 都有 f(xy)f(xy)2f(x)f(y),且 f(0)0. 求证: f(x)是偶函数. 【证明】因为对于任何实数 x、y 都有 f(xy)f(xy)2f(x)f(y), 令 xy0,则 f(0)f(0)2f(0)f(0),所以 2f(0)2f(0)f(0), 因为 f(0)0,所以 f(0)1, 令 x0,yx,则 f(0 x)f(0 x)2f(0)f(x), 所以 f(x)f(x)2f(x),所以 f(x)f(x), 故 f(x)是偶函数. 【点拨】
2、对于判断抽象函数的奇偶性问题常常采用“赋值法”探索求解途径;判断或证明抽象函数的奇偶性单调性时,既要扣紧函数奇偶性单调性的定义,又要灵活多变,以创造条件满足定义的要求. 【变式训练 1】已知函数 f(x)对任意的 x,y 有 f(xy)f(x)f(y),且 f(x)的定义域为 R,请判定 f(x)的奇偶性. 【解析】取 xy0,得 f(0)0. 取 yx,得 f(x)f(x),所以 f(x)为奇函数. 题型二 函数与导数的综合应用 【例 2】已知函数 f(x)x32x2ax1. (1)若函数 f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为 4,求实数 a 的值; (2)若函数 g(x)f(x)在区间
3、(1,1)上存在零点,求实数 a 的取值范围. 【解析】由题意得 g(x)f(x)3x24xa. (1)f(1)34a4,所以 a3. (2)方法一:当 g(1)a10,即 a1 时,g(x)f(x)的零点 x13(1,1); 当 g(1)7a0,即 a7时, f(x)的零点 x73(1,1),不合题意; 当 g(1)g(1)0 时,1a7; 当时,43a1.综上所述,a43,7). 方法二:g(x)f(x)在区间(1,1)上存在零点,等价于 3x24xa 在区间(1,1)上有解,也等价于直线 ya 与曲线 y3x24x,x(1,1)有公共点,作图可得 a43,7). 方法三:等价于当 x(1
4、,1)时,求值域:a3x24x3(x23)24343,7). 【变式训练 2】二次函数 yax2bxc(a0)的图象与坐标轴交于(1,0)和(0,1),且其顶点在第四象限,则 abc 的取值范围为 . 【解析】由已知 c1,abc0,所以 abc2a2. 又0a1,所以 abc(2,0). 题型三 化归求函数的最大值和最小值问题 【例 3】某个体经营者把开始 6 个月试销售 A、B 两种商品的逐月投资与所获得的纯利润列成下表: 投资 A 商品(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 0) 1(, 0) 1 (, 1321, 0)34
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