高考数学一轮复习总教案:6.3等比数列
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1、 6.3 等比数列等比数列 典例精析典例精析 题型一 等比数列的基本运算与判定 【例 1】数列an的前 n 项和记为 Sn,已知 a11,an1n2nSn(n1,2,3,).求证: (1)数列Snn是等比数列;(2)Sn14an. 【解析】(1)因为 an1Sn1Sn,an1n2nSn, 所以(n2)Snn(Sn1Sn). 整理得 nSn12(n1)Sn,所以Sn1n12Snn, 故Snn是以 2 为公比的等比数列. (2)由(1)知Sn1n14Sn1n14ann1(n2), 于是 Sn14(n1)Sn1n14an(n2). 又 a23S13,故 S2a1a24. 因此对于任意正整数 n1,都
2、有 Sn14an. 【点拨】运用等比数列的基本公式,将已知条件转化为关于等比数列的特征量 a1、q 的方程是求解等比数列问题的常用方法之一,同时应注意在使用等比数列前 n 项和公式时,应充分讨论公比 q 是否等于 1;应用定义判断数列是否是等比数列是最直接,最有依据的方法,也是通法, 若判断一个数列是等比数列可用an1anq(常数)恒成立, 也可用 a2 n1 an an2 恒成立,若判定一个数列不是等比数列则只需举出反例即可,也可以用反证法. 【变式训练 1】等比数列an中,a1317,q12.记 f(n)a1a2an,则当 f(n)最大时,n 的值为( ) A.7 B.8 C.9 D.10
3、 【解析】 an317 (12)n1, 易知 a931712561, a100,0a111.又 a1a2a90, 故 f(9)a1a2a9 的值最大,此时 n9.故选 C. 题型二 性质运用 【例 2】在等比数列an中,a1a633,a3a432,anan1(nN*). (1)求 an; (2)若 Tnlg a1lg a2lg an,求 Tn. 【解析】(1)由等比数列的性质可知 a1a6a3a432, 又 a1a633,a1a6,解得 a132,a61, 所以a6a1132,即 q5132,所以 q12, 所以 an32(12)n126n . (2)由等比数列的性质可知,lg an是等差数列
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