2022届高三数学一轮复习考点05：一元二次不等式（原卷版）

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1、考点 05 一元二次不等式 【命题解读】【命题解读】 2021 年独立考查的内容将是不等式的性质或基本不等式的应用问题，不等式的解法将与集合、函数等其它知识点综合考查 .因此下面几点：1、掌握简单的含参一元二次不等式求解 2、理解与一元二次不等式相关的恒成立问题的求解 3、了解一元二次不等式在实际问题中的应用 【基础知识回顾基础知识回顾】 1、 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 b24ac 0 0 0 二次函数 yax2bxc(a0)的图象 一元二次方程 ax2bxc0 (a0)的根 有两相异实数根 x1，x2(x1x

2、2) 有两相等实数根 x1x2b2a 没有实数根 一元二次不等式 ax2bxc0 (a0)的解集 x|xx1或 xx2 x| xb2a R 一元二次不等式 ax2bxc0 (a0)的解集 x|x1xx2 2、由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法 （1）.一元二次不等式 ax2bxc0 对任意实数 x 恒成立 a0， b24ac0. （2）一元二次不等式 ax2bxc0 对任意实数 x 恒成立 a0， b24ac0. 3、 简单分式不等式 (1)fxgx0 fxgx0，gx0. (2)fxgx0f(x)g(x)0 1、 (2020 北京市海淀区期末)不等式 x22x3

3、0 的解集为( ) Ax|x1 Bx|x3 Cx|1x3 Dx|3x0 的解集是(1，)，则关于 x 的不等式(axb)(x2)0 在 R 上恒成立”的充要条件是( ) Am14 Bm14 Cm1 5、下列四个解不等式，正确的有( ) A不等式 2x2x10 的解集是x|x2 或 x1 B不等式6x2x20 的解集是x x23或x12 C若不等式 ax28ax210 的解集是x|7x1，那么 a 的值是 3 D关于 x 的不等式 x2px20；(2) -12+10 变式 1、解下列不等式：(1)3x22x80； (2)0 x2x24. 变式 2、 （1）解不等式2311xx （2）已知函数22

4、2 ,0( )2 ,0 xx xf xxx x则不等式( )3f x 的解集为_ 变式 3、 若关于x的不等式axb的解集为1(, )5， 则关于 x 的不等式2405axbxa的解集为_ 方法总结： 解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. (2)计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为 R 或).求出对应的一元二次方程的根. (3)利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集 考向二 含参不等式的讨论 例 1、(1)解关于实数x的不等式： 2(1)0 xaxa (2)解关于实数x的不等式：210 xax 变式 1

5、、求不等式 12x2axa2(aR)的解集 变式 2、解关于 x 的不等式 ax222xax(aR)。 方法总结：含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论. (1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论； (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是否是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； 考向三 恒成立问题 例 3、设函数2( )1f xmxmx (1)若对于一切实数x，( )0f x 恒成立，求实数m的取值范围； (2)若对于1,3x

6、，( )5f xm 恒成立，求实数m的取值范围 变式 1、若不等式(a2)x22(a2)x40 在集合 A 中恒成立，即集合 A 是不等式 f(x)0 的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围) (4)转化为函数值域问题， 即已知函数 f(x)的值域为m， n， 则 f(x)a 恒成立f(x)mina， 即 ma； f(x)a恒成立f(x)maxa，即 na. 考向四 一元二次不等式的应用 例 4、某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，总成本为( )G x (万元)， 其中固定成本为 2 万元， 并且每生产 1 百台的生

7、产成本为 1 万元(总成本固定成本生产成本)；销售收入R （x） (万元)满足：20.44.20.8,05,( )10.2,5xxxR xx假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律求下列问题 (1) 要使工厂有赢利，产量x应控制在什么范围内？ (2) 工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？ 变式、某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆本年度为适应市场需求， 计划提高产品质量， 适度增加投入成本 若每辆车投入成本增加的比例为(01)xx，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润(出厂价投入成本) 年销

8、售量 (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 方法总结解不等式应用题的要注意： (1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系 (2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型 1、 （2018 年高考全国 I 卷理数）已知集合220Ax xx，则AR A12xx B12xx C|1|2x xx xU D|1|2x xx xU 2、 （2013 重庆）关于的不等式（）的解集为， 且，则 3、 （2014 江苏）已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 4、 （2012 江西）不等式2902xx的解集是_ 5、已知不等式 ax2bx10 的解集是12，13，则不等式 x2bxa0 的解集为_ 6、解关于 x 的不等式2(1)1 0()axaxaR 7、 （1）若210(0)1m xmmx对一切4x 恒成立，则实数m的取值范围是 （2）设2( )1f xmxmx，求使( )0f x ，且1m 恒成立的x的取值范围 x22280 xaxa0a12( ,)x x2115xxa, 1)(2mxxxf 1,mmx0)(xfm