2022届高三数学一轮复习考点05:一元二次不等式(解析版)
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1、考点 05 一元二次不等式 【命题解读】【命题解读】 2021 年独立考查的内容将是不等式的性质或基本不等式的应用问题,不等式的解法将与集合、函数等其它知识点综合考查 .因此下面几点:1、掌握简单的含参一元二次不等式求解 2、理解与一元二次不等式相关的恒成立问题的求解 3、了解一元二次不等式在实际问题中的应用 【基础知识回顾基础知识回顾】 1、 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 b24ac 0 0 0 二次函数 yax2bxc(a0)的图象 一元二次方程 ax2bxc0 (a0)的根 有两相异实数根 x1,x2(x1x
2、2) 有两相等实数根 x1x2b2a 没有实数根 一元二次不等式 ax2bxc0 (a0)的解集 x|xx1或 xx2 x| xb2a R 一元二次不等式 ax2bxc0 (a0)的解集 x|x1xx2 2、由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法 (1).一元二次不等式 ax2bxc0 对任意实数 x 恒成立 a0, b24ac0. (2)一元二次不等式 ax2bxc0 对任意实数 x 恒成立 a0, b24ac0. 3、 简单分式不等式 (1)fxgx0 fxgx0,gx0. (2)fxgx0f(x)g(x)0 1、 (2020 北京市海淀区期末)不等式 x22x3
3、0 的解集为( ) Ax|x1 Bx|x3 Cx|1x3 Dx|3x1 【答案】D 【解析】 由 x22x30 得(x3)(x1)0,解得3x0 的解集是(1,),则关于 x 的不等式(axb)(x2)0 的解集是(1,), a0,且ba1, 4、“不等式 x2xm0 在 R 上恒成立”的充要条件是( ) Am14 Bm14 Cm1 【答案】 :A 【解析】不等式 x2xm0 在 R 上恒成立, (1)24m14, 又m14,14m14”是“不等式 x2xm0 在 R 上恒成立”的充要条件故选 A. 5、下列四个解不等式,正确的有( ) A不等式 2x2x10 的解集是x|x2 或 x1 B不
4、等式6x2x20 的解集是x x23或x12 C若不等式 ax28ax210 的解集是x|7x1,那么 a 的值是 3 D关于 x 的不等式 x2px20 得(2x1)(x1)0, 解得 x1 或 x1或x0;(2) -12+10 【答案】 (1)(-12,1(2)(-12,1. 【解析】(1)因为 824(1)(3)520, 所以方程x28x30 有两个不相等的实根 x14 13,x24 13. 又二次函数 yx28x3 的图象开口向下, 所以原不等式的解集为x|4 13x 0,或-10,2 + 1 0. 解得-12x1,解得x, 所以原不等式的解集为(-12,1. 方法二:不等式-12+1
5、0(-1)(2 + 1) 0,2 + 1 0, 所以由二次不等式知-12 1, 12,所以-12x1. 所以原不等式的解集为(-12,1. 变式 1、解下列不等式:(1)3x22x80; (2)0 x2x24. 【解析】 (1)原不等式可化为 3x22x80, 即(3x4)(x2)0,解得2x43, 所以原不等式的解集为x 2x43. (2)原不等式等价于 x2x20,x2x24 x2x20,x2x60 x2x10,x3x20 x2或x1,2x3. 借助于数轴,如图所示, 原不等式的解集为x|2x1或2x3 . 变式 2、 (1)解不等式2311xx (2)已知函数222 ,0( )2 ,0
6、xx xf xxx x则不等式( )3f x 的解集为_ 【答案】1 12xx 2 1x x 【解析】 :1不等式化为2311xx,化为201xx, 12x,解集为12xx 2由题意知22002323xxxxxx或解得:x1故原不等式的解集为1x x 变式 3、 若关于x的不等式axb的解集为1(, )5, 则关于 x 的不等式2405axbxa的解集为_ 【答案】4( 1, )5 【解析】 : 由已知axb的解集为1(, )5, 可知0a , 且, 将不等式2405axbxa两边同除以a,得2405bxxa,即214055xx,解得415x ,故不等式2405axbxa的解集为4( 1, )
7、5 方法总结: 解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. (2)计算对应方程的判别式,根据判别式判断方程有没有实根(无实根时,不等式解集为 R 或).求出对应的一元二次方程的根. (3)利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集 考向二 含参不等式的讨论 例 1、(1)解关于实数x的不等式: 2(1)0 xaxa (2)解关于实数x的不等式:210 xax 【解析】 (1)由2(1)0 xaxa得()(1)0 xa x, 12,1xa x, 当1a 时,2(1)0 xaxa的解集为1xxa, 当1a 时,2(1)0 xaxa的解集为, 当1a 时,
8、2(1)0 xaxa的解集为1x ax (2)对方程210 xax ,当240a 即22a 时 不等式的解集为 当240a 即2a 或2a 时 210 xax 的根为221244,22aaaaxx 不等式的解集为224422aaaaxx 变式 1、求不等式 12x2axa2(aR)的解集 【解析】原不等式可化为 12x2axa20, 即(4xa)(3xa)0,令(4xa)(3xa)0, 解得 x1a4,x2a3. 当 a0 时,不等式的解集为,a4a3, ; 当 a0 时,不等式的解集为(,0)(0,); 当 a0 时,不等式的解集为,a3a4, . 变式 2、解关于 x 的不等式 ax222
9、xax(aR)。 【解析】原不等式可化为 ax2(a2)x20. 当 a0 时,原不等式化为 x10,解得 x1. 当 a0 时,原不等式化为x2a(x1)0, 解得 x2a或 x1. 当 a0 时,原不等式化为x2a(x1)0. 当2a1,即 a2 时,解得1x2a; 当2a1,即 a2 时,解得 x1 满足题意; 当2a1,即2a0 时,解得2ax1. 综上所述,当 a0 时,不等式的解集为x|x1; 当 a0 时,不等式的解集为x|x2a或x1 ; 当2a0 时,不等式的解集为x2ax1 ; 当 a2 时,不等式的解集为1; 当 a2 时,不等式的解集为x|1x2a. 方法总结:含有参数
10、的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论. (1)若二次项系数为常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论; (2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是否是二次不等式,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式; 考向三 恒成立问题 例 3、设函数2( )1f xmxmx (1)若对于一切实数x,( )0f x 恒成立,求实数m的取值范围; (2)若对于1,3x,( )5f xm 恒成立,求实数m的取值范围 【解析】 :(1)要使210mxmx 恒成立, 若0m ,显然10 ; 若
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