2022届高三数学一轮复习考点08:函数的概念与运算(解析版)
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1、考点 08 函数的概念与运算 【命题解读】【命题解读】 通过函数概念和函数解析式的学习,从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并且用数学符号或者数学术语予以表征。学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系,能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质,能逐渐养成一般性思考问题的习惯,能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题,逐步养成学习者的数学抽象能力。 【基础知识回顾基础知识回顾】 1函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域: 在函数 yf(x),xA 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义
2、域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域 (2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系 (3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据 2函数的三种表示法 解析法 图象法 列表法 就是把变量 x,y 之间的关系用一个关系式 yf(x)来表示,通过关系式可以由 x 的值求出 y 的值. 就是把 x,y 之间的关系绘制成图象, 图象上每个点的坐标就是相应的变量 x,y 的值. 就是将变量 x,y 的取值列成表格, 由表格直接反映出两者的关系. 3分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有
3、着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数 1、下列各组函数中,表示同一函数的是( ) Af(x)eln x,g(x)x Bf(x)x24x2,g(x)x2 Cf(x)sin 2x2cos x,g(x)sin x Df(x)|x|,g(x) x2 【答案】D 【解析】A,B,C 的定义域不同,所以答案为 D. 2、 (江苏省南通市海安高级中学 2019-2020 学年高三 9 月月考)函数256yxx的定义域是_ 【答案】2,3 【解析】依题意2560 xx,即256320 xxxx,解得2,3x. 3、设函数 f(x)1x2 (x1),x2x2 (x1),则 f1f(2)的值为( ) A1
4、516 B2716 C89 D18 【答案】 A 【解析】当 x1 时,f(x)x2x2,则 f(2)22224,1f(2)14,当 x1 时,f(x)1x2, f1f(2)f1411161516 4、(2019 南京三模)若函数 f(x)2x, x0f(x2),x0,则 f(log23) 【答案】 34 【解析】因为 12log 32,所以 f(log23)f(log232)22log 3log 3 2223224. 5、已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x1)2f(x1)2x17,则 f(1)_ 【答案】9 【解析】 设 f(x)axb(a0),则 3f(x1)2f(x1)3ax3a
5、3b2ax2a2bax5ab,即ax5ab2x17 不论 x 为何值都成立 a2,517,ba,解得2,7,abf(x)2x7,从而得 f(1)9. 6、函数 yf(x)的图象如图所示,那么,f(x)的定义域是_;值域是_;其中只有唯一的 x 值与之对应的 y 值的范围是_ 【答案】3,02,3 1,5 1,2)(4,5 【解析】观察图像结合函数的概念。 考向一 函数的概念 例 1 (1)已知 A1,2,3,k,B4,7,a4,a23a,aN*,kN*,xA,yB,f:xy3x1 是从定义域 A 到值域 B 的一个函数,求 a,k 的值; (2)下列各选项给出的两个函数中,表示相同函数的有(
6、) A( )f xx与2( )g xx B( ) |1|f tt与( ) |1|g xx C( )f xx与2( )log 2xg x D21( )1xf xx与( )1g xx 【答案】BC 【解析】(1)(定义法)由对应法则 14,27,310,又 k3k1,故 a23a10(a410 舍去),解得 a2 或 a5(舍去),故 3k1a416,解得 k5.a2,k5.【分析】根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,即可判断是相同函数 (2)对于A,函数( )f xx与2( )|g xxx的解析式不同,表示相同函数; 对于B,函数( ) |1|f tt的定义域为R,( ) |1|g xx的
7、定义域为R,定义域相同,对应关系也相同,是相同函数; 对于C,函数( )f xx的定义域为R,2( )log 2g x xx的定义域为R,定义域相同,对应关系也相同,是相同函数; 对于D,函数21( )11xf xxx的定义域为(,1)( 1,),( )1g xx的定义域为R,定义域不同,不是相同函数 故选:BC 变式 1、下列各对函数中是同一函数的是( ) Af(x)2x1 与 g(x)2xx0 Bf(x) (2x1)2与 g(x)|2x1|; Cf(n)2n2(nZ)与 g(n)2n(nZ); Df(x)3x2 与 g(t)3t2. 【答案 BD 【解析】 函数 g(x)2xx02x1,函
8、数 g(x)的定义域为x|x0,两个函数的定义域不相同,不是同一函数;f(x) (2x1)2|2x1|与 g(x)|2x1|的定义域和对应关系相同,是同一函数;f(n)2n2(nZ)与 g(n)2n(nZ)的对应关系不相同,不是同一函数;f(x)3x2 与 g(t)3t2 的定义域和对应关系相同,是同一函数 变式2、 已知集合Px|0 x4, Qy|0y2, 下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是_ (填序号) f:xy12x;f:xy13x;f:xy23x;f:xy x. 【答案】 : 【解析】 :对于,因为当 x4 时,y23483Q,所以不是函数 变式 3、若一系列函数的解析:式相同,值
9、域相同但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数解析:式为 y2x21,值域为3,19的“孪生函数”共有_个 【答案】 : 9 【解析】 :若 y3,则由 2x213,得 x 1; 若 y19,则由 2x2119,得 x 3 所以函数 f(x)定义域可以是1, 3, 1,3, 1,3, 1, 3, 1,1,3, 1,1, 3, 3,1,3,3,1,3,1,3,1,3,共有 9 个孪生函数 方法总结:(1)定义是解题的重要依据,它有双重功能:一是判定;二是性质要判定一个对应是不是从定义域 A 到值域 B 的一个函数,就要看其是否满足函数的定义,反之亦然; (2)函数的值域可由定义域和对应
10、法则唯一确定,当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数,而定义域、值域和对应法则中有一个不同就不是同一函数 考向二 函数的解析式 例 3、(1)已知 f2x1 lg x,求 f(x)的解析式; (2)已知 f(x)是二次函数,且 f(0)0,f(x1)f(x)x1,求 f(x)的解析式; (3)已知函数 f(x)满足 f(x)2f(x)2x,求 f(x)的解析式 【解答】 (1)(换元法)令2x1t,得x2t1, 代入得f(t)lg2t1,又x0,所以t1, 故f(x)的解析式是f(x)lg2x1, x(1,) (2)(待定系数法)设f(x)ax2bxc(a0), 由f(0)0,知c0
11、,f(x)ax2bx, 又由f(x1)f(x)x1, 得a(x1)2b(x1)ax2bxx1, 即ax2(2ab)xabax2(b1)x1, 所以2abb1,ab1, 解得ab12. 所以f(x)12x212x,xR R. (3)(解方程组法)由f(x)2f(x)2x, 得f(x)2f(x)2x, 2, 得 3f(x)2x12x. 即f(x)2x12x3. 故f(x)的解析式是f(x)2x12x3,xR R. 变式 1、已知 f(x)是二次函数,且 f(0)0,f(x1)f(x)x1,求 f(x)的解析式 【答案】f(x)12x212x, 【解析】设 f(x)ax2bxc(a0), 由 f(0
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- 2022 届高三 数学 一轮 复习 考点 08 函数 概念 运算 解析
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