2022届高三数学一轮复习考点11:函数的奇偶性与周期性(原卷版)
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1、考点 11 函数的奇偶性与周期性 【命题解读】【命题解读】 关于函数性质的考查:以考查能力为主,往往以常见函数(二次函数、指数函数、对数函数)为基本考察对象,以绝对值或分段函数的呈现方式,与不等式相结合,考查函数的基本性质,如奇偶性、单调性与最值、函数与方程(零点) 、不等式的解法等,考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查; 【基础知识回顾基础知识回顾】 1 1、 奇、偶函数的定义 对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 f(x)f(x)(或 f(x)f(x)0),则称 f(x)为奇函数;对于函数 f(x)的定义
2、域内的任意一个 x,都有 f(x)f(x)(或 f(x)f(x)0),则称 f(x)为偶函数 2 2、 奇、偶函数的性质 (1)具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称) (2)奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 y 轴对称 (3)若奇函数的定义域包含 0,则 f(0)_0_ (4)若函数 f(x)是偶函数,则有 f(|x|)f(x) (5)奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反 3 3、 周期性 (1)周期函数 对于函数 yf(x), 如果存在一个非零常数 T, 使得当 x 取定义域内的任何值时,
3、都有 f(xT)f(x),那么就称函数 yf(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期 (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期 4、函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x0 处有定义, 则一定有f(0)0; 如果函数f(x)是偶函数, 那么f(x)f(|x|) (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 5、函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量x: (1)若f(xa)f(x),则T2a(a0) (2)若f(xa)1f(x),则T2a(a0
4、) (3)若f(xa)1f(x),则T2a(a0) 6、函数图象的对称性 (1)若函数yf(xa)是偶函数,即f(ax)f(ax),则函数yf(x)的图象关于直线xa对称 (2)若对于 R R 上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax),则yf(x)的图象关于直线xa对称 (3)若函数yf(xb)是奇函数, 即f(xb)f(xb)0, 则函数yf(x)关于点(b, 0)中心对称 1、下列函数为奇函数的是 Ayx Bsinyx Ccosyx Dxxyee 2、若函数)(12()(axxxxf为奇函数,则a= (A)21 (B)32 (C)43 (D)1 3、设)(xf是定义在R上的
5、奇函数,当0 x时,2( )2f xxx, 则(1)f= A3 B1 C1 D3 4、设函数( )f x,( )g x的定义域都为 R,且( )f x是奇函数,( )g x是偶函数,则下列结论正确的是 A( )f x( )g x是偶函数 B( )f x|( )g x|是奇函数 C|( )f x|( )g x是奇函数 D|( )f x( )g x|是奇函数 5、(2019 福建莆田一中模拟)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x2)f(x),且在0,1上是减函数,则有( ) Af32f14f14 Bf14f14f32 Cf32f14f14 Df14f320,x2x,x0,x22x1,x0;
6、 变式 2、判断下列函数的奇偶性: (1)f(x) 1x2x21; (2)f(x)(x1) 1x1x; (3)f(x)4x2x2. 方法总结: 1. 1. 判断函数的奇偶性, 首先看函数的定义域是否关于原点对称 若函数定义域关于原点不对称,则此函数一定是非奇非偶函数;若定义域关于原点对称,再化简解析式,根据 f(x)与 f(x)的关系结合定义作出判断 2. 2. 在函数的定义域关于原点对称的条件下,要说明一个函数是奇(偶)函数,必须证明 f(x)f(x)(f(x)f(x)对定义域中的任意 x 都成立;而要说明一个函数是非奇非偶函数,则只须举出一个反例就可以了 3. 3. 分段函数指在定义域的不
7、同子集有不同对应关系的函数,分段函数奇偶性的判断,要分别从 x0 或 x0 来寻找等式 f(x)f(x)或 f(x)f(x)成立,只有当对称的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具有确定的奇偶性 考向二 函数的周期性及应用 例 2、 (2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考)已知定义在R上的函数满足(3)(3)fxfx ,且( )f x图像关于1x 对称,当(1,2x时,2( )log (21)f xx,则8252f_. 变式 1、 已知函数 f (x) 满足 f (0) 2, 且对任意 xR 都满足 f (x+3) f (x) , 则 f (2019) 的值为 ( ) A2019 B2
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