2022届高三数学一轮复习考点14:指数函数(解析版)
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1、考点 14 指数函数 【命题解读】【命题解读】 在高考中指数函数部分往往与其他知识点交汇考查,也常与函数的图像结合考查。重点考查与此有关的性质。 【基础知识回顾基础知识回顾】 指数函数及其性质 (1)概念:函数 yax(a0 且 a1)叫做指数函数,其中指数 x 是变量,函数的定义域是 R,a 是底数 (2)指数函数的图象与性质 a1 0a1 图象 定义域 (1)R 值域 (2)(0,) 性质 (3)过定点(0,1),即 x0 时,y1 (4)当 x0 时,y1; 当 x0 时,0y1 (5)当 x0 时,y1;当 x0 时,0y1 (6)在(,)上是增函数 (7)在(,)上是减函数 常用结论
2、 1指数函数图象的画法 画指数函数 yax(a0,且 a1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),1,1a. 2.指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)yax,(2)ybx,(3)ycx,(4)ydx的图象,底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系为 cd1ab0.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数 yax(a0,a1)的图象越高,底数越大 3指数函数 yax(a0,a1)的图象和性质跟 a 的取值有关,要特别注意应分 a1 与 0a1 来研究 1、 设 a0.60.6,b0.61.5,c1.50.6,则 a,b,c 的大小关系是( ) Aabc Ba
3、cb Cbac Dbca 【答案】C 【解析】因为函数 y0.6x在 R 上单调递减,所以 b0.61.5a0.60.61.又 c1.50.61,所以 bac. 2、函数f(x)axb的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( ) A.a1,b1,b0 C.0a0 D.0a1,b0 【答案】D 【解析】由f(x)axb的图象可以观察出,函数f(x)axb在定义域上单调递减,所以 0a1. 函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的,所以b0. 3、若函数 y(a21)x是 R 上的减函数,则实数 a 的取值范围是( ) A. 1a 2 B. 2a1 C. 1a
4、2,或 2a1 D. 22a1,或 1a 2 【答案】C 【解析】 由y(a21)x在(,)上为减函数,得 0a211,1a22,即 1a 2或 2a1.数a的取值范围是 1a 2或 2a0,且 a1,函数 ya2x2ax1 在1,1上的最大值是 14,则实数 a 的值为_ 【答案】 (1) (,1 (2)(1,) f(4)f(1)(3)13或 3 【解析】 (1)设ux22x1,y12a在 R R 上为减函数,函数f(x)22112xx的减区间即为函数ux22x1 的增区间又ux22x1 的增区间为(,1,f(x)的减区间为(,1 (2)因为|x1|0,函数f(x)a|x1|(a0,且a1)
5、的值域为1,),所以a1.由于函数f(x)a|x1|在(1,)上是增函数,且它的图象关于直线x1 对称,则函数f(x)在(,1)上是减函数,故f(1)f(3),f(4)f(1) (3)令 tax(a0,且 a1), 则原函数化为 yf(t)(t1)22(t0) 当 0a1 时,x1,1,tax1a,a , 此时 f(t)在1a,a 上是增函数所以 f(t)maxf(a)(a1)2214,解得 a3 或 a5(舍去)综上得a13或 3. 变式 2、 (江苏省南通市通州区 2019-2020 学年高三第一次调研抽测】不等式23122xx 的解集为_. 【答案】(1,2) 【解析】由题23122xx
6、 则2311222xx ,故23112xxx 故填(1,2) 变式 3、设函数 f(x)12x7,x0,x,x0,若 f(a)1,则实数 a 的取值范围是 ; 【答案】(3,1) 【解析】当 a0 时,不等式 f(a)1 可化为12a71,即12a8,即12a3. 又 a0,3a0.当 a0 时,不等式 f(a)1 可化为 a1.0a1, 综上,a 的取值范围为(3,1) 变式 4、(2020包头模拟)已知实数 a1,函数 f(x)4x,x0,2ax,x0,若 f(1a)f(a1),则 a 的值为_. 【答案】12. 【解析】(1)当 a1 时,代入不成立.故 a 的值为12. 方法总结: 指
7、数函数的性质有着广泛的应用,常见的有:比较大小,解不等式,求函数的单调区间和值域、最值等等 (1)比较两个幂值的大小问题是常见问题,解决这类问题首先要分清底数是否相同;若底数相同,则可利用函数的单调性解决;若底数不同,则要利用中间变量进行比较 (2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性问题,常常需要借助换元等手段将其化归于指数函数来解,体现化归与转化思想的运用 (3)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时须分底数 0a1 两种情形进行分类讨论,防止错解 考向二 指数函数的图像与性质 例 2、如图,过原点 O 的直线与函
8、数 y2x的图像交于 A,B 两点,过点 B 作 y 轴的垂线交函数 y4x的图像于点 C,若 AC 平行于 y 轴,则点 A 的坐标是_ 【答案】(1,2) 【解析】设 C(a,4a),则 A(a,2a),B(2a,4a)又 O,A,B 三点共线,所以2aa4a2a,故 4a2 2a,所以 2a0(舍去)或 2a2,即 a1,所以点 A 的坐标是(1,2) 变式 1、 (2020 届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟)已知过点O的直线与函数3xy 的图象交于A、B两点,点A在线段OB上,过A作y轴的平行线交函数9xy 的图象于C点,当BCx轴,点A的横坐标是 【答案】3log 2 【解析
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