2022届高三数学一轮复习考点17:函数与方程(解析版)
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1、考点 17 函数与方程 【命题解读】【命题解读】 函数零点以及求参数范围等问题时高考重点考查的内容,不仅在大题中体现,同时在小题中也加以考查,难度控制在中等以上。 【基础知识回顾基础知识回顾】 1 1、函数的零点 (1)函数零点的定义:对于函数 yf(x),把使方程 f(x)0 的实数 x 称为函数 yf(x)的零点 (2)方程的根与函数零点的关系:函数 yf(x)的零点就是方程 f(x)0 的实数根,也就是函数 yf(x)的图像与 x 轴交点的横坐标所以函数 yf(x)有零点等价于函数 yf(x)的图像与 x 轴有交点,也等价于方程f(x)0 有实根 (3)零点存在性定理: 如果函数 yf(
2、x)在区间(a,b)上的图像是一条连续的曲线,且有 f(a)f(b)0,那么函数 yf(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c(a,b),使得 f(c)0,此时 c 就是方程 f(x)0 的根但反之,不成立 2 2、 二分法 对于在区间上连续不断且 f(a)f(b)0)的图像与零点的关系 0 0 0)的图像 交点 (x1,0),_(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 4、有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数,则 f(x)至多有一个零点 (2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 (3)连续不断的函数图象通过零点时,函数
3、值可能变号,也可能不变号 1、若函数 f(x)axb 有一个零点是 2,那么函数 g(x)bx2ax 的零点为( ) A. 0 或12 B. 0 C. 12 D. 0 或12 【答案】 A 【解析】 由已知得 b2a,所以 g(x)2ax2axa(2x2x)令 g(x)0,得 x10,x212 2、函数 f(x)2xx32 在区间(0,2)内的零点个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D.4 【答案】 A 【解析】 因为函数 y2x, yx3在 R 上均为增函数, 故函数 f(x)2xx32 在 R 上为增函数, 又 f(0)0,f(2)0,故函数 f(x)2xx32 在区间(0,2)内
4、只有一个零点 3、若函数 f(x)3ax12a 在区间(1,1)内存在一个零点,则 a 的取值范围是( ) A. 15, B. 1,15 C. (,1) D. (,1)15, 【答案】 D 【解析】 当 a0 时,f(x)1 与 x 轴无交点,不合题意,所以 a0; 函数 f(x)3ax12a 在区间(1,1)内是单调函数,所以 f(1) f(1)0,即(5a1)(a1)0,解得 a1 或 a15 4、函数 f(x)ln xx22x,x0,4x1,x0的零点个数是_ 【答案】 3 【解析】 当 x0 时,令 g(x)ln x,h(x)x22x 画出 g(x)与 h(x)的图象如图:故当 x0
5、时,f(x)有 2 个零点 当 x0 时,由 4x10,得 x14,综上函数 f(x)的零点个数为 3 5、 已知f(x)是定义在R上的奇函数, 当x0时, f(x)x23x 则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为_ 【答案】 2 7,1,3 【解析】 当 x0 时,f(x)x23x,令 g(x)x23xx30,得 x13,x21 当 x0,f(x)(x)23(x), f(x)x23x,f(x)x23x 令 g(x)x23xx30, 得 x32 7,x42 70(舍), 函数 g(x)f(x)x3 的零点的集合是2 7,1,3 7、(一题两空)已知函数 f(x)1x,x1,x3,x1,若 f
6、(x0)1,则 x0_;若关于 x 的方程 f(x)k 有两个不同零点,则实数 k 的取值范围是_ 【答案】1 (0,1) 【解析】解方程f(x0)1,得x1,1x01或x01,x301,解得x01.关于x的方程f(x)k有两个不同零点等价于yf(x)的图象与直线yk有两个不同交点,观察图象可知:当 0k1 时yf(x)的图象与直线yk有两个不同交点即k(0,1) 考向一 判断零点所在的区间 例 1、 (2019 山东师范大学附中高三月考)函数 312xfxx的零点所在区间为( ) A1,0 B10,2 C1,12 D1,2 【答案】C 【解析】 311( 1)( 1)( )302f ,301
7、(0)0( )102f , 13211112( )( )( )022282f,31111(1)1( )10222f , 321115(2)2( )80222f,由 1102ff. 故选:C 变式1、(1) 若abc, 则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间( ) A(a,b)和(b,c)内 B(,a)和(a,b)内 C(b,c)和(c,)内 D(,a)和(c,) (2)已知函数 f(x)lnx212x的零点为 x0,则 x0所在的区间是( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) (3)若 x0是方程12xx13的
8、解,则 x0属于区间( ) A.23,1 B.12,23 C.13,12 D.0,13 【答案】 (1) A(2)C. (3) C 【解析】 (1) abc,f(a)(ab)(ac)0, f(b)(bc)(ba)0,f(c)(ca)(cb)0, 由函数零点存在性定理可知,在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点,又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内,故选 A. (2)f(x)lnx212x在(0,)为增函数,又f(1)ln1112ln120, f(2)ln20120, x0(2,3) (3)令g(x)12x,f(x)x13,
9、则g(0)1f(0)0,g121212f121213,g131213f131313, 结合图象可得13x012. 方法总结:确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法: (1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数yf(x)在区间a,b上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)0.若有,则函数yf(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 2.函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,不满足条件时,一定要综合函数性质进行分析判断. 考向二 判断零点的个数 例 2、 (1)函数 f(x)1212xx的零点个数为(
10、 ) A. 1 B. 2 C. 3 D.4 (2)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x2)f(x),且当 x0,1时,f(x)x,则函数 yf(x)log3|x|的零点个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D.4 (3)(2015 江苏卷)已知函数 f(x)|ln x|,g(x)0,0 x1,|x24|2,x1,则方程|f(x)g(x)|1 实根的个数为_ 【解析】 (1) A 因为 yx12在 x0,)上单调递增,y12x在 xR 上单调递减,所以 f(x)x1212x在 x0,)上单调递增,又 f(0)10,f(1)120,所以 f(x)x1212x在定义域内有唯一零点 (
11、2) D 由题意知,f(x)是周期为 2 的偶函数 在同一坐标系内作出函数 yf(x)及 ylog3|x|的图象,如下: 观察图象可以发现它们有 4 个交点, 即函数 yf(x)log3|x|有 4 个零点 (3) 令 h(x)f(x)g(x),则 h(x) ln x,0 x1,x2ln x2,1x2,x2ln x6,x2,当 1x2 时,h(x)2x1x12x2x0,故当 1x2 时 h(x)单调递减,在同一坐标系中画出 y|h(x)|和 y1 的图象如图所示 由图象可知|f(x)g(x)|1 的实根个数为 4 变式 1、(2019 苏州三市、苏北四市二调)定义在 R R 上的奇函数f(x)
12、满足f(x4)f(x),且在区间2,4)上43 , 432 ,2)(xxxxxf则函数xxfylog5)(的零点的个数为 【答案】 : 5 【解析】 :因为 f(x4)f(x),可得 f(x)是周期为 4 的奇函数,先画出函数 f(x)在区间2,4)上的图像,根据奇函数和周期为 4,可以画出 f(x)在 R R 上的图像,由yf(x)log5| x|0,得f(x)log5| x|,分别画出yf(x)和ylog5|x|的图像,如下图,由f(5)f(1)1,而 log551,f(3)f(1)1,log5|3|1,可以得到两个图像有 5 个交点,所以零点的个数为5. 变式 2、 (1)(2019 十
13、堰调研)已知函数 f(x)ln(x1),x1,2x11,x1,则 f(x)的零点个数为( ) A0 B1 C2 D3 (2)(2020 惠州质检)函数 f(x)|x2|ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】 (1)C(2)C 【解析】 (1) 当x1 时,令f(x)ln(x1)0,得x2;当x1 时,令f(x)2x110,得x1.故选 C. (2) 由题意可知f(x)的定义域为(0, ), 在同一直角坐标系中画出函数y|x2|(x0),yln x(x0)的图象,如图所示.由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为 2. 方法总结:函数零点个数的判断方
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