2022届高三数学一轮复习考点18:函数模型及其运用(原卷版)
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1、考点考点 18 18 函数模型及其运用函数模型及其运用 【命题解读】【命题解读】 函数模型做为考查内容之一,涉及到一些常见的函数如一元二次函数、指数函数、对数函数等,考查中常见小题的形式出现。 【基础知识回顾基础知识回顾】 1.指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质 yax (a1) ylogax (a1) yxn (n0) 在(0,) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化 而各有不同 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)axb
2、(a、b为常数,a0) 二次函数模型 f(x)ax2bxc(a,b,c为常数,a0) 与指数函数 相关的模型 f(x)baxc(a,b,c为常数,a0 且a1,b0) 与对数函数 相关的模型 f(x)blogaxc(a,b,c为常数,a0 且a1,b0) 与幂函数 相关的模型 f(x)axnb(a,b,n为常数,a0) 3. 3. 解函数应用题的步骤 第一步:阅读理解题意读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,在此基础上,分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题 第二步:引用数学符号,建立数学模型一般地,设自变量为 x,函数为 y,必要时引入其他相关辅助变量,
3、并用 x、y 和辅助变量表示各相关量,然后根据已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式,在此基础上将实际问题转化为一个函数问题,实现问题数学化,即所谓建立数学模型 第三步:利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答,求得结果 第四步:将所得结果再转译成具体问题的解答 1、 某纯净水制造厂在净化水的过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质 20%,要使水中杂质减少到原来的 5%以下,则至少需要过滤的次数为(C ) (参考数据 lg20.301 0,lg50.699) A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 2、 小孟进了一批水果,如果他以每千克 1.2
4、元的价格出售,那他就会赔 4 元,如果他以每千克 1.5 元的价格出售,一共可赚 8 元现在小孟想将这批水果尽快出手,以不赔不赚的价格卖出,那么每千克水果应定价为(B ) A. 1.1 元 B. 1.3 元 C. 1.5 元 D. 2.0 元 3、下表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据,它最可能的函数模型是( ) A一次函数模型 B幂函数模型 C指数函数模型 D对数函数模型 x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 4、某工厂 6 年来生产某种产品的情况是:前 3 年年产量的增长速度越来越快,后 3 年年产量保持不变,则该厂 6 年来这种产品的总产
5、量 C 与时间 t(年)的函数关系图象正确的是( ) A B C D 5、 在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长 x 为( )m A400 B12 C20 D30 6、一个容器装有细沙 a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min 后剩余的细沙量为 yaebt(cm3),经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子,则再经过( )min,容器中的沙子只有开始时的八分之一 A24 B12 C18 D16 考向一 二次函数模型 例 1、A,B 两城相距 100 km,在两城之间距 A 城 x(km)处建一核电站给 A,B 两城供电
6、,为保证城市安全,核电站距城市距离不得小于 10km 已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的 0 25 倍,若 A 城供电量为每月 20 亿度,B 城供电量为每月 10 亿度 (1)求 x 的取值范围; (2)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数; (3)核电站建在距 A 城多远,才能使供电总费用 y 最少? 变式 1、某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C(x)万元,当年产量不足 80 千件时,C(x)13x210 x(万元);当年产量不少于 80 千件时,C(x)51x10 000 x1 450(万元)通过市场分析,若每件
7、售价为 500 元时,该厂年内生产的商品能全部销售完 (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 方法总结:在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时,一定要注意自变量的取值范围,需根据函数图象的对称轴与函数定义域之间的位置关系讨论求解 考向二 指数函数、对数函数模型 例 2、诺贝尔奖发放方式为每年一发,把奖金总额平均分成 6 份,奖励给分别在 6 项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半,另一半利息作基金总额,以便保证奖金
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