2022届高三数学一轮复习考点21:利用导数研究函数的单调性(解析版)
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1、考点21 利用导数研究函数的单调性【命题解读】从高考对导数的要求看,考查分三个层次,一是考查导数公式,求导法则与导数的几何意义;二是导数的简单应用,包括求函数的单调区间、极值、最值等;三是综合考查,如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题,同时在小题中也加以考查,难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合,设计综合题,考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力【基础知识回顾】 1. 利用导数研究函数的单调性在某个区间(a,b)内,如果f(x)0且在(a,b)的任意子区间上不恒为0,那么函数yf(x)在这个区间
2、内单调递增;如果f(x)0且在(a,b)的任意子区间上不恒为0,那么函数yf(x)在这个区间内单调递减2. 判定函数单调性的一般步骤(1)确定函数yf(x)的定义域;(2)求导数f(x);(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)>0或f(x)<0;(4)根据(3)的结果确定函数的单调区间3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围(1)函数yf(x)在区间(a,b)上单调递增,可转化为f(x)0在(a,b)上恒成立,且在(a,b)的任意子区间上不恒为_0;也可转化为(a,b)增区间函数yf(x)在区间(a,b)上单调递减,可转化为f(x)0在(a,b)上恒成立,且在(a,b)的
3、任意子区间上不恒为_0;也可转化为(a,b)减区间(2)函数yf(x)的增区间是(a,b),可转化为(a,b)增区间,也可转化为f(x)0的解集是(a,b);函数yf(x)的减区间是(a,b),可转化为(a,b)减区间,也可转化为a,b是f(x)0的两根.1、若函数yf(x)的图像如下图所示,则函数yf(x)的图像有可能是( )第1题图A BC D【答案】A.【解析】由f(x) 的图像可知:在(,0) ,f(x)单调递减,当x(,0)时,f(x)<0;在(0,),f(x)单调递增,当x(0,)时,f(x)>0;故选A.2、函数f(x)2lnxx的单调递增区间是( )A. B. C.
4、 D. 【答案】D【解析】函数f(x)2lnxx的定义域为,且f(x)1,解不等式f(x)>0,即x22x3<0,由于x>0,解得0<x<1.因此,函数yf(x)的单调递增区间为.故选D.3、函数f(x)ax3bx2cxd的图像如图,则函数yax2bx的单调递增区间是( )第3题图A. (,2B. C. D. 【答案】D【解析】由题图可知d0. 不妨取a1,f(x)x3bx2cx,f(x)3x22bxc. 由图可知f(2)0,f(3)0,124bc0,276bc0,b,c18. yx2x6,y2x. 当x时,y0,yx2x6的单调递增区间为,). 故选D. 4、函
5、数f (x)ln xax(a>0)的单调递增区间为()A. B.C. D(,a)【答案】A【解析】由f(x)a>0,x>0,得0<x<.f (x)的单调递增区间为.5、函数f(x)x36x2的单调递减区间为_【答案】(0,4)【解析】:f(x)3x212x3x(x4),由f(x)<0,得0<x<4,函数f(x)的单调递减区间为(0,4)6、已知函数f (x)kx33(k1)x2k21(k>0),若f (x)的单调递减区间是(0,4),则实数k的值为_;【答案【解析】(1)f(x)3kx26(k1)x,由题意知f(4)0,解得k.7、(多填题
6、)已知函数f(x)x3mx2nx2的图象过点(1,6),函数g(x)f(x)6x的图象关于y轴对称.则m_,f(x)的单调递减区间为_.【答案】3(0,2)【解析】由f(x)的图象过点(1,6),得mn3,又g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn为偶函数,2m60,即m3,代入式,得n0.所以f(x)3x26x3x(x2).令f(x)<0,得0<x<2,则单调递减区间为(0,2).考向一求函数的单调区间求下列函数的单调区间:(1)f(x)x3x22x3;(2)g(x)x22lnx.【解析】(1)f(x)3x2x2(3x2)(x1),定义域为R,当f(x)>0时,x(1
7、,);当f(x)0时,x.函数的单调增区间为和(1,),单调减区间为.(2)g(x)2x,定义域为(0,),令g(x)0,解得:x1或x1(舍去),列表:x(0,1)1(1,)g(x)0g(x)减极小值增函数的单调增区间是(1,),单调减区间是(0,1)变式1、(1)函数f(x)x315x233x6的单调减区间为_ _(2) 函数f(x)1xsinx在(0,2)上的单调情况是_ _(3)已知a<0,函数f(x)x3ax2a2x2的单调递减区间是_ 【解析】(1)由f(x)x315x233x6得f(x)3x230x33,令f(x)<0,即3(x11)(x1)0,解得1<x<
8、;11,函数f(x)的单调减区间为(1,11)(2)f(x)1cosx>0在(0,2)上恒成立,f(x)单调递增(3)f(x)3x22axa2(3xa)(xa),令f(x)<0,得<x<a,减区间为.变式2、已知函数f(x)ln x,其中aR,且曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间【解析】:(1)对f(x)求导得f(x),由f(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于直线yx,知f(1)a2,解得a.(2)由(1)知f(x)ln x(x>0),则f(x),令f(x)0,解得x1或x5,因为x1不在f(x
9、)的定义域(0,)内,所以舍去当x(0,5)时,f(x)<0,故f(x)在(0,5)内单调递减;当x(5,)时,f(x)>0,故f(x)在(5,)内单调递增故f(x)的单调递减区间是(0,5),单调递增区间是(5,).变式3、已知函数f(x)(k为常数),曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行.(1)求实数k的值;(2)求函数f(x)的单调区间.【解析】(1)f(x)(x>0).又由题意知f(1)0,所以k1.(2)由(1)知,f(x)(x>0).设h(x)ln x1(x>0),则h(x)<0,所以h(x)在(0,)上单调递减.由h(1)0知,当
10、0<x<1时,h(x)>0,所以f(x)>0;当x>1时,h(x)<0,所以f(x)<0.综上f(x)的单调增区间是(0,1),减区间为(1,).方法总结:1. 利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导函数f(x);(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)<0;(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间2. 利用导数求函数单调性,在对函数求导以后要对导函数进行整理并因式分解,方便后面求根和判断导函数的符号考向二 给定区间求参数的范围例2、设函数,曲线在点处的切线方程为.(1)
11、求的值;(2)若,求函数的单调区间;(3)设函数,且在区间内存在单调递减区间,求实数的取值范围【解析】:(1)f(x)x2axb,由题意得即(2)由(1)得,f(x)x2axx(xa)(a>0),当x(,0)时,f(x)>0;当x(0,a)时,f(x)<0;当x(a,)时,f(x)>0.所以函数f(x)的单调递增区间为(,0),(a,),单调递减区间为(0,a)(3)g(x)x2ax2,依题意,存在x(2,1),使不等式g(x)x2ax2<0成立,即x(2,1)时,a<(x)max2,当且仅当x即x时等号成立所以满足要求的a的取值范围是(,2)变式1、(20
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