2022届高三数学一轮复习考点22：利用导数研究函数的极值和最值（原卷版）

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1、考点 22 利用导数研究函数的极值和最值 【命题解读】【命题解读】 从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力 【基础知识回顾基础知识回顾】 1、函数的极值 (1)函数的极小值： 函数 yf(x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa

2、 附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点 xa附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点 a 叫做函数 yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数 yf(x)的极小值 (2)函数的极大值： 函数 yf(x)在点 xb 的函数值 f(b)比它在点 xb 附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点 xb附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点 b 叫做函数 yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数 yf(x)的极大值 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值 2、函数的最值 (1)在闭区间a，b上连续的函数 f(x)在a，b上必有最大值与最小值 (2)若函数 f(x)在

3、a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在a，b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值 3、常用结论 1若函数 f(x)的图象连续不断，则 f(x)在a，b上一定有最值 2若函数 f(x)在a，b上是单调函数，则 f(x)一定在区间端点处取得最值 3若函数 f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点 1、函数 f(x)x2ln x 的最小值为( ) A1ln 2 B1ln 2 C.1ln 22 D.1ln 22 2、函数 f (x)的定义域为 R，导函数 f(x)的图象如图所示，则函数 f (

4、x)( ) A无极大值点、有四个极小值点 B有三个极大值点、一个极小值点 C有两个极大值点、两个极小值点 D有四个极大值点、无极小值点 3、设函数 f (x)2xln x，则( ) Ax12为 f (x)的极大值点 Bx12为 f (x)的极小值点 Cx2 为 f (x)的极大值点 Dx2 为 f (x)的极小值点 4、已知 a 为函数 f (x)x312x 的极小值点，则 a 等于( ) A4 B2 C4 D2 5、函数 3230f xxa xa a的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是_ 考向一 利用导数研究函数的极值 例 1、已知函数 32331(R,0)f xaxxaaa ，求

5、函数 f x的极大值与极小值 变式 1、已知函数 f(x)1xlnx，求函数 f(x)的极值 方法总结：(1)求函数 f x极值的步骤： 确定函数的定义域； 求导数 fx； 解方程 0fx，求出函数定义域内的所有根； 列表检验在 0fx的根0 x左右两侧值的符号，如果左正右负，那么 f x在0 x处取极大值，如果左负右正，那么 f x在0 x处取极小值 (2)若函数 yf x在区间内有极值，那么 yf x在, a b内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值 考向二 利用导数研究函数的最值 例 2、 （2020 届山东省潍坊市高三上期中）已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2

6、）若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值 变式 1、已知aR，函数 ln1af xxx. 32112f xxxax2a yf x 0,0f 1f xx 在 f x32,2(1)当1a 时，求曲线 yf x在点 2,2f处的切线方程； (2)求 f x在区间0,e上的最小值 变式 2、已知函数 f(x)axln x，其中 a 为常数 (1)当 a1 时，求 f(x)的最大值； (2)若 f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求 a 的值 考向三 极值（最值）的综合性问题 例 3、已知函数 323 ( ,)f xaxbxx a bR在1x处取得极大值为 2. (1) 求函数 f x的解析式； (

7、2) 若对于区间2,2上任意两个自变量的值12,x x都有 12f xf xc，求实数c的最小值 变式 1、已知函数 f(x)ax2bxcex(a0)的导函数 f(x)的两个零点为3 和 0. (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)的极小值为e3，求 f(x)在区间5，)上的最大值 变式 2、 （2020 届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数（是自然对数的底数）. （）讨论极值点的个数； （）若是的一个极值点，且，证明：. 方法总结： 1. 当面对不等式恒成立(有解)问题时，往往是转化成函数利用导数求最值； 2. 当面对多次求导时，一定要清楚每次求导的目的是什么 1、（2017

8、年高考全国卷理数）若2x是函数21( )(1)exf xxax的极值点，则( )f x的极小值为 A1 B32e C35e D1 2、 【2019 年高考北京理数】设函数 eexxf xa（a 为常数）若 f（x）为奇函数，则 a=_；若 f（x）是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是_ 211 e22xf xxaxaxe f x002xx f x22ef01f x3、 【2018 年高考全国卷理数】已知函数 2sinsin2f xxx，则 f x的最小值是_ 4、 （2020 届山东实验中学高三上期中）已知函数且 a0） （1）求曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （2）若函数 f（x）的极小值为，试求 a 的值 5、（2020 全国理 21）已知函数 2exf xaxx （1）当1a 时，讨论 f x的单调性； （2）当0 x时， 3112f xx，求a的取值范围 6、（2020 全国文 21）已知函数 2ln1f xx （1）若 2f xxc，求c的取值范围； （2）设0a ，讨论函数 f xf ag xxa的单调性 22( )(24 )ln4 (f xaxxxaxx aR1a