2022届高三数学一轮复习考点22:利用导数研究函数的极值和最值(解析版)
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1、考点 22 利用导数研究函数的极值和最值 【命题解读】【命题解读】 从高考对导数的要求看,考查分三个层次,一是考查导数公式,求导法则与导数的几何意义;二是导数的简单应用,包括求函数的单调区间、极值、最值等;三是综合考查,如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题,同时在小题中也加以考查,难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合,设计综合题,考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力 【基础知识回顾基础知识回顾】 1、函数的极值 (1)函数的极小值: 函数 yf(x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa
2、 附近其他点的函数值都小,f(a)0;而且在点 xa附近的左侧 f(x)0,右侧 f(x)0,则点 a 叫做函数 yf(x)的极小值点,f(a)叫做函数 yf(x)的极小值 (2)函数的极大值: 函数 yf(x)在点 xb 的函数值 f(b)比它在点 xb 附近其他点的函数值都大,f(b)0;而且在点 xb附近的左侧 f(x)0,右侧 f(x)0,则点 b 叫做函数 yf(x)的极大值点,f(b)叫做函数 yf(x)的极大值 极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值 2、函数的最值 (1)在闭区间a,b上连续的函数 f(x)在a,b上必有最大值与最小值 (2)若函数 f(x)在
3、a,b上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数 f(x)在a,b上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值 3、常用结论 1若函数 f(x)的图象连续不断,则 f(x)在a,b上一定有最值 2若函数 f(x)在a,b上是单调函数,则 f(x)一定在区间端点处取得最值 3若函数 f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点 1、函数 f(x)x2ln x 的最小值为( ) A1ln 2 B1ln 2 C.1ln 22 D.1ln 22 【答案】C 【解析】 因为f(x)x2ln x(x0),所以f(x)2x1x,令
4、2x1x0 得x22,令f(x)0,则 x22;令f(x)0,则 0 x22.所以f(x)在0,22上单调递减,在22, 上单调递增,所以f(x)的极小值(也是最小值)为222ln221ln 22,故选 C. 2、函数 f (x)的定义域为 R,导函数 f(x)的图象如图所示,则函数 f (x)( ) A无极大值点、有四个极小值点 B有三个极大值点、一个极小值点 C有两个极大值点、两个极小值点 D有四个极大值点、无极小值点 【答案】C 【解析】 设 f(x)的图象与 x 轴的 4 个交点的横坐标从左至右依次为 x1,x2,x3,x4. 当 x0,f (x)为增函数,当 x1xx2时,f(x)0
5、. 当 x2 时,f(x)0,f (x)为增函数;当 0 x2 时,f(x)0,函数 f (x)单调递增,当 x(2,2)时,f(x)0,函数 f (x)单调递增,所以 a2. 5、函数 3230f xxa xa a的极大值是正数,极小值是负数,则a的取值范围是_ 【答案】 :(22,) 【解析】 :f(x)3x23a23(xa)(xa),由 f(x)0 得 x a, 当axa 时,f(x)a 或 x0,函数递增 f(a)a33a3a0 且 f(a)a33a3a22. a 的取值范围是(22,) 考向一 利用导数研究函数的极值 例 1、已知函数 32331(R,0)f xaxxaaa ,求函数
6、 f x的极大值与极小值 【解析】 :由题设知 a0,f(x)3ax26x3ax2xa. 令 f(x)0 得 x0 或2a. 当 a0 时,随着 x 的变化,f(x)与 f(x)的变化情况如下: x (,0) 0 (0,2a) 2a (2a,) f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 f(x)极大值f(0)13a,f(x)极小值2fa4a23a1. 当 a0,f(x)在区间(0,e上单调递增,此时函数 f(x)无最小值 若 0ae,当 x(0,a)时,f(x)0,函数f(x)在区间(a,e上单调递增, 所以当 xa 时,函数 f(x)取得最小值 ln a. 若 ae,则当 x(0,e时,f
7、(x)0,函数 f(x)在区间(0,e上单调递减, 所以当 xe 时,函数 f(x)取得最小值ae. 综上可知,当 a0 时,函数 f(x)在区间(0,e上无最小值; 当 0ae 时,函数 f(x)在区间(0,e上的最小值为 ln a; 当 ae 时,函数 f(x)在区间(0,e上的最小值为ae. 变式 2、已知函数 f(x)axln x,其中 a 为常数 (1)当 a1 时,求 f(x)的最大值; (2)若 f(x)在区间(0,e上的最大值为3,求 a 的值 【解析】 (1)易知 f(x)的定义域为(0,), 当 a1 时,f(x)xln x,f(x)11x1xx, 令 f(x)0,得 x1
8、. 当 0 x0;当 x1 时,f(x)0. f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,)上是减函数 f(x)maxf(1)1. 当 a1 时,函数 f(x)在(0,)上的最大值为1. (2)f(x)a1x,x(0,e,1x1e, . 若 a1e,则 f(x)0,从而 f(x)在(0,e上是增函数, f(x)maxf(e)ae10,不合题意 若 a0 得 a1x0,结合 x(0,e, 解得 0 x1a; 令 f(x)0 得 a1x0,结合 x(0,e,解得1axe. 从而 f(x)在0,1a上为增函数,在1a,e 上为减函数,f(x)maxf1a1ln1a. 令1ln1a3,得 ln1a2,即
9、ae2. e20)的导函数 f(x)的两个零点为3 和 0. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)的极小值为e3,求 f(x)在区间5,)上的最大值 解:(1)f(x)2axbexax2bxcexex2 ax22abxbcex. 令 g(x)ax2(2ab)xbc, 因为 ex0,所以 f(x)的零点就是 g(x)ax2(2ab)xbc 的零点,且 f(x)与 g(x)符号相同 又因为 a0,所以当3x0,即 f(x)0, 当 x0 时,g(x)0,即 f(x)5f(0), 所以函数 f(x)在区间5,)上的最大值是 5e5. 变式 2、 (2020 届山东省枣庄市高三上学期统考
10、)已知函数(是自然对数的底数). ()讨论极值点的个数; ()若是的一个极值点,且,证明:. 【答案】 ()见解析; ()见解析 【解析】 ()的定义域为, 若,则, 所以当时,;当时, 所以在上递减,在递增. 所以为唯一的极小值点,无极大值, 故此时有一个极值点. 211 e22xf xxaxaxe f x002xx f x22ef01f x f xR 2exfxxa0ae0 xa, 2x 0fx2,x 0fx f x, 2 2,2x f x f x若,令, 则, 当时, 则当时,;当时,; 当时,. 所以2,分别为的极大值点和极小值点, 故此时有 2 个极值点. 当时, 且不恒为 0, 此
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