2022届高三数学一轮复习考点22：圆锥曲线的综合应用（2）原卷版

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1、 考点考点 22 圆锥曲线的综合应用（圆锥曲线的综合应用（2） 【知识框图知识框图】 【自主热身，归纳总结自主热身，归纳总结】 1 1、(201(2019 9 宿迁期末）宿迁期末） 已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，右焦点与抛物线 y216x 的焦点重合，则双曲线 C 的顶点到渐近线的距离为_. 2 2、(201(2018 8 苏锡常镇调研（一） ）苏锡常镇调研（一） ）已知直线 l：xy20 与 x 轴交于点 A，点 P 在直线 l 上圆 C：(x2)2y22 上有且仅有一个点 B 满足 ABBP，则点 P 的横坐标的取值集合为_ 3、 在平面直角坐标系 xOy

2、 中，已知双曲线 C：x2y2b21 (b0) 的两条渐近线与圆 O：x2y22 的四个交点依次为 A，B，C，D.若矩形 ABCD 的面积为 b，则 b 的值为_ 4、在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线与圆 x2y26y50 没有交点，则双曲线离心率的取值范围是_ 【问题探究，变式训练问题探究，变式训练】 题型一题型一 圆锥曲线中的最值与范围关系圆锥曲线中的最值与范围关系 知识点拨：知识点拨：求解最值，可直接求导求解最值，可直接求导. . 但是解析几何中的最值，直接求导，暴力求解最值的较少，更多的是但是解析几何中的最值，直接求导，暴力求解最值的较少

3、，更多的是化简函数表达式， 根据结构采用基本不等式化简函数表达式， 根据结构采用基本不等式( (无法取等的时候就求导来解决无法取等的时候就求导来解决) )来求解最终的最值来求解最终的最值( (或者值域或者值域) )，必然要有定义域，所以寻找函数的定义域是非常重要的，而解析几何中直线和曲线联立必然要有定义域，所以寻找函数的定义域是非常重要的，而解析几何中直线和曲线联立( (曲直联立曲直联立) )以后的以后的关于关于 x(x(或者或者 y)y)的一元二次方程有解，判别式就是很重要的一个点，也就是定义域的一个重要来源，有些题的一元二次方程有解，判别式就是很重要的一个点，也就是定义域的一个重要来源，有

4、些题目甚至是唯一来源目甚至是唯一来源 例例 1 1、(201(2019 9 无锡期末）无锡期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，且过点3，12，点 P 在第四象限， A 为左顶点， B 为上顶点， PA 交 y 轴于点 C，PB 交 x 轴于点 D. (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2) 求 PCD 面积的最大值 【变式变式 1 1】(201(2019 9 宿迁期末）宿迁期末）如图所示，椭圆 M：x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，右准线方程为 x4，过点 P(0，4)作关于 y 轴对称的两条直线 l1，l2，且 l1与椭圆交

5、于不同两点 A，B，l2与椭圆交于不同两点 D，C. (1) 求椭圆 M 的方程； (2) 证明：直线 AC 与直线 BD 交于点 Q(0，1)； (3) 求线段 AC 长的取值范围 【变式变式 2 2】 (201(2019 9 南京、 盐城二模）南京、 盐城二模） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，且椭圆 C 短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于 2. (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 设经过点 P(2，0)的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，点 Q(m，0) 若对任意直线 l 总存在点 Q，使得 QAQB，求实数 m 的取值范

6、围； 设点 F 为椭圆 C 的左焦点，若点 Q 为FAB 的外心，求实数 m 的值 【变式变式 3 3】 (201(2018 8 苏州暑假测试）苏州暑假测试） 如图， 已知椭圆 O：x24y21 的右焦点为 F， 点 B， C 分别是椭圆 O 的上、下顶点，点 P 是直线 l：y2 上的一个动点(与 y 轴的交点除外)，直线 PC 交椭圆于另一个点 M. (1) 当直线 PM 经过椭圆的右焦点 F 时，求FBM 的面积； (2) 记直线 BM，BP 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2为定值； 求PBPM的取值范围 【变式变式 4 4】(2017(2017 镇江期末）镇江期末）已知椭圆 C

7、：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，且点 3，12在椭圆 C 上 (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2) 若直线 l 交椭圆 C 于 P，Q 两点，线段 PQ 的中点为 H，O 为坐标原点，且 OH1，求POQ 面积的最大值 思路分析 第 2 问，处理本题有两处需要思考一下：一是“线段PQ的中点为H”的刻画方式，另一个是POQ面积的表示形式由于OH1，所以直线PQ的斜率不能为 0，但斜率不存在情形符合题意，故直线PQ的方程可设为xmyn，中点H用中点公式刻画，此时POQ面积可用割补法表示，即SPOQSPODSQOD. 【变式变式 5 5】(2017(2017 苏北四市期末）苏北四市

8、期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，且右焦点 F 到左准线的距离为 6 2. (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2) 设 A 为椭圆 C 的左顶点，P 为椭圆 C 上位于 x 轴上方的点，直线 PA 交 y 轴于点 M，过点 F 作 MF的垂线，交 y 轴于点 N. 当直线 PA 的斜率为12时，求FMN 的外接圆的方程； 设直线 AN 交椭圆 C 于另一点 Q，求APQ 的面积的最大值 题型二题型二 向量与圆锥曲线的综合问题向量与圆锥曲线的综合问题 知识点拨：解析几何题的解题思路一般很容易觅得，实际操作时，往往不是因为难于实施

9、，就是因为实施知识点拨：解析几何题的解题思路一般很容易觅得，实际操作时，往往不是因为难于实施，就是因为实施起来运算繁琐而被卡住，最终放弃此解法，起来运算繁琐而被卡住，最终放弃此解法， 向量与圆锥曲线的综合问题方法的选择特别重要从思想方法向量与圆锥曲线的综合问题方法的选择特别重要从思想方法层面讲，解析几何主要有两种方法：一是设线法；二是设点法此题的两种解法分属于设点法和设线法一层面讲，解析几何主要有两种方法：一是设线法；二是设点法此题的两种解法分属于设点法和设线法一般地，设线法是比较顺应题意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在般地，设线法是比较顺应题意的一种解法，它

10、的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强，但运用得好，解题过程往往会显得很简捷解析几何大题肩负着对计算能力曲线上的条件，技巧性较强，但运用得好，解题过程往往会显得很简捷解析几何大题肩负着对计算能力考查的重任，所以必要的计算量是少不了的，不要一遇考查的重任，所以必要的计算量是少不了的，不要一遇到稍微有一点计算量的题目就想放弃，坚持到底才到稍微有一点计算量的题目就想放弃，坚持到底才是胜利是胜利 例例 2 2、(201(2019 9 扬州期末）扬州期末）在平面直角坐标系中，椭圆 M：x2a2y2b21(ab0)的离心率为12，左、右顶点分別为 A，B，线段 AB

11、的长为 4.P 在椭圆 M 上且位于第一象限，过点 A，B 分别作 l1PA，l2PB，直线 l1，l2交于点 C. (1) 若点 C 的横坐标为1，求点 P 的坐标； (2) 若直线 l1与椭圆 M 的另一交点为 Q，且ACAQ，求 的取值范围 【变式变式 1 1】(201(2019 9 常州期末）常州期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1：x2a2y2b21 的焦点在椭圆 C2：y2a2x2b21 上，其中 ab0，且点 P63，63是椭圆 C1，C2位于第一象限的交点 (1) 求椭圆 C1，C2的标准方程； (2) 过 y 轴上一点 Q 的直线 l 与椭圆 C2相切，与椭圆

12、C1交于点 A，B，已知QA35QB，求直线 l 的斜率 【变式变式 2 2】(201(2018 8 常州期末）常州期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，点A 是椭圆的左顶点，过原点的直线 MN 与椭圆交于 M，N 两点(M 在第三象限)，与椭圆的右准线交于点 P.已知 AMMN，且OAOM43b2. (1) 求椭圆 C 的离心率 e； (2) 若 SAMNSPOF103a，求椭圆 C 的标准方程 【变式变式 3 3】(201(2018 8 南京、盐城一模）南京、盐城一模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21

13、(ab0)的下顶点为 B，点 M，N 是椭圆上异于点 B 的动点，直线 BM，BN 分别与 x 轴交于点 P，Q，且点 Q 是线段 OP 的中点当点 N 运动到点3，32处时，点 Q 的坐标为2 33，0 . (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2) 设直线 MN 交 y 轴于点 D，当点 M，N 均在 y 轴右侧，且DN2NM时，求直线 BM 的方程 【变式变式 4】(2018 苏锡常镇调研（二） ）苏锡常镇调研（二） ）如图，椭圆22221(0)xyabab的离心率为22，焦点到相应准线的距离为 1，点A，B，C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线l交椭圆于点D，交x轴于点1(0)M x，直线AC与直线BD交于点22()N xy， （1）求椭圆的标准方程； （2）若2CMMDuuuu ruuu u r，求直线l的方程； （3）求证：12x x为定值