2022届高三数学一轮复习考点23：导数的应用（原卷版）

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1、考点 23 导数的应用 【命题解读】【命题解读】 从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力 【基础知识回顾基础知识回顾】 1、逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证利用两个经典不等式解决问题，降低了思考问题

2、的难度，优化了推理和运算过程 (1)对数形式：x1ln x(x0)，当且仅当 x1 时，等号成立 (2)指数形式：exx1(xR R)，当且仅当 x0 时，等号成立进一步可得到一组不等式链：exx1x1ln x(x0，且 x1) 2、一般地，若 af(x)对 xD 恒成立，则只需 af(x)max；若 af(x)对 xD 恒成立，则只需 af(x0)成立， 则只需 af(x)min； 若存在 x0D， 使 af(x0)成立， 则只需 af(x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围 分类讨论法：常见有两种情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分

3、类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数 提示：求解参数范围时，一般会涉及分离参数法，理科试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常需要设出导函数的零点，难度较大 判断、证明或讨论函数零点个数的方法 利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间a，b上是连续不断的曲线， 且 f(a) f(b)0.直接法： 判断一个零点时， 若函数为单调函数， 则只需取值证明 f(a) f(b)0；分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在

4、每个单调区间内取值证明 f(a) f(b)1) ylogax(a1) yxn(n0) 在(0，)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随 x 的增大逐渐表现为与 y 轴平行 随 x 的增大逐渐表现为与 x 轴平行 随 n 值变化而各有不同 值的比较 存在一个 x0，当 xx0时，有 logaxxn1x 恒成立 B对x(0，)，不等式 ln(x1)x 恒成立 C对x(0，)，且 x1，不等式 ln xln xx1恒成立 3、已知(3),0,3( )31,(3,)xx xf xxx，若函数( )yf xm恰有 4 个不同的零点， 则实数m的取

5、值范围为 3、 将边长为 1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 S梯形的周长2梯形的面积，则 S 的最小值是_ 4、(2018 苏州期末）已知直线 ya 分别与直线 y2x2 和曲线 y2exx 相交于点 A，B，则线段 AB 长度的最小值为_ 考向一 利用都是证明不等式 例 1、已知函数 21ln2xf xx. (1)求函数 f x的单调递增区间； (2)证明：当1x 时， 1f xx. 变式 1、已知函数( )(1)lnf xxx， （1）当1x时，证明：( )22f xx； （2）已知0ba，证明：lnln2baabba 变式 2、(2019 苏州暑假

6、测试）已知函数 f(x)x1alnx(其中 a 为参数) (1) 求函数 f(x)的单调区间； (2) 若对任意 x(0，)都有 f(x)0 成立，求实数 a 的取值集合； (3) 证明：11nne11nn1(其中 nN*，e 为自然对数的底数) 方法总结： ：构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数， 利用函数单调性、 极值、 最值加以证明 常见的构造方法有： (1)直接构造法： 证明不等式 f(x)g(x)(f(x)g(x)转化为证明 f(x)g(x)0(f(x)g(x)0)，进而构造辅助函数 h(x)f(x)g(x)；(2)适当放缩构造法：

7、一是根据已知条件适当放缩， 二是利用常见的放缩结论， 如 ln xx1， exx1， ln xxex(x0)，xx1ln(x1)x(x1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数 f(x)和 g(x)，利用其最值求解 考向二 利用图象研究函数零点 例 2、若21( )1,12( )ln,1xxf xxxx，则函数1( )8yf x的零点个数为（ ） 。 A、

8、 1 B、 2 C、 3 D、 4 变式 1、已知函数二次函数( )f x的最小值为4，并且不等式( )0f x 的解集为 1,3， （1）求函数( )f x的解析式； （2）判断函数( )( )4lnf xg xxx的零点个数，并证明你的结论 变式 2、已知函数1( )lnf xaxx （1）求函数( )f x的单调区间； （2）若函数( )f x仅有 2 个零点，求实数a的取值范围 方法总结：利用图象研究函数零点个数时的注意点： 1、对于（选择题、填空题中的）零点个数问题，我们的处理思路是：将函数零点个数转化为图象交点个数。那么正确画出草图就是前提。画草图时，要注意（1）通常先要用导数研究

9、单调性、极值。 （2）渐近线（实际上是极限问题） ，有渐近线的常见函数例如：反比例函数、指数函数、对数函数等 2、对于（选择题、填空题中的）零点个数问题，我们的处理思路是：将函数零点个数转化为图象交点个数，那么研究哪两个函数呢？ （1）尽量转化为我们熟悉的基本函数（已经知道图象） （2）能分参的通过分参让其中的一个函数是常数函数 （3）不方便分参的,尽量将参数放在熟悉的基本函数上 考向三 利用导数研究恒成立问题 例 3、若对任意1,xe,都有2ln(2)axxax恒成立,求实数a的取值范围. 变式 1、(2018 无锡期末）已知函数 f(x)ex(3x2)，g(x)a(x2)，其中 a，xR.

10、 (1) 求过点(2，0)和函数 yf(x)图像相切的直线方程； (2) 若对任意 xR，有 f(x)g(x)恒成立，求 a 的取值范围； (3) 若存在唯一的整数 x0，使得 f(x0)g(x0)，求 a 的取值范围 变式 2、设函数 21ln(1)2af xaxxx a，若存在01x ，使得01af xa，求a的取值范围. 方法总结：分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路与关键 (1)分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路 用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数的正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究

11、变量表达式的最值就可以解决问题 (2)求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关” 考向四 运用导数解决实际问题 例 4、 (2019 南京、 盐城一模） 盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”，对环境进行了大力整治，目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了黄海国家森林公园，数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数 f(x)mlnxx600 xx21446(4x22， mR)， 其中 x 为每天的时刻， 若凌晨 6 点时， 测得空气质量指数为 29.6. (1) 求实数 m 的值； (2) 求近期每天时段空气

12、质量指数最高的时刻(参考数值：ln61.8) 变式 1、(12 分)如图所示，ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AEFBx cm. (1)若广告商要求包装盒侧面积 S(cm2)最大，试问 x 应取何值？ (2)若广告商要求包装盒容积 V(cm3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 变式 2、一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成如图，屋顶由四

13、坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形， 左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形 点F在平面ABCD和 BC 上的射影分别为 H， M.已知 HM5 m， BC10 m， 梯形 ABFE 的面积是FBC 面积的 2.2 倍 设FMH04. (1) 求屋顶面积 S 关于 的函数关系式； (2) 已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比， 比例系数为 k(k 为正的常数)， 下部主体造价与其高度成正比，比例系数为 16k.现欲造一栋上、下总高度为 6 m 的别墅，试问：当 为何值时，总造价最低？ ,) (1)先通过线面垂直得到 FHHM， 放在RtFHM 中， 求出 FM， 根据

14、三角形的面积公式求出FBC 的面积，根据已知条件就可以得到所求 S 关于的函数关系式 (2)先求出主体高度，进而建立出别墅总造价 y 关于的函数关系式，再通过导数法求函数的最小值 方法总结：构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，然后再根据函数模型的类型和特征，结合对函数的图像和性质的研究获得结果求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制 1、 （2020 届山东师范大学附中高三月考）已知在区间上有极值点，实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 2、 （2019 天津理 8） 已知aR， 设函数1,ln1,22)(

15、2xxaxxaaxxxf， 若关于x的不等式0)(xf在R上恒成立，则a的取值范围为 A0,1 B0,2 C0,e D1,e 3、（2014 辽宁）当 2,1x 时，不等式32430axxx恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A 5, 3 B9 6,8 C 6, 2 D 4, 3 4、 （2019 年高考浙江） 已知, a bR， 函数32,0( )11(1),032x xf xxaxax x 若函数( )yf xaxb恰有 3 个零点，则 Aa1，b0 Ba0 Ca1，b1，b0 5、（2019 年高考全国卷理数）已知函数( )sinln(1)f xxx，( )fx为( )f x的导数证明： （1）( )fx在区间( 1,)2存在唯一极大值点； （2）( )f x有且仅有 2 个零点 6、 （2020 全国理 21） 设 3,f xxbxc xR， 曲线 f x在点11,22f处的切线与y轴垂直 （1）求b； （2）若 f x有一个绝对值不大于1的零点，证明： f x的所有零点的绝对值都不大于1 21ln2f xxax0,20,2 2,00,2U0,4 4,00,4U