2022届高三数学一轮复习考点26：同角三角函数的基本关系及诱导公式（解析版）

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1、考点 26 同角三角函数的基本关系及诱导公式 【命题解读】【命题解读】 理解正弦、余弦、正切的诱导公式2k(kZ)，2能运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明 【基础知识回顾基础知识回顾】 1同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2cos21； (2)商数关系：tan sin cos . 平方关系对任意角都成立，而商数关系中 k2(kZ Z) 2诱导公式 一 二 三 四 五 六 2k (kZ Z) 2 2 sin sin sin sin_ cos_ cos_ cos cos cos cos_ sin_ sin_ tan

2、tan tan tan_ 3. 诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，转化的一般步骤如下： 即：去负脱周化锐的过程上述过程体现了转化与化归的思想方法 4、三角形中的三角函数关系式 sin(AB)sin(C)sinC； cos(AB)cos(C)cosC； tan(AB)tan(C)tanC； sinA2B2 sin2C2 cosC2； cosA2B2cos2C2sinC2. 1、是第三象限角，且3sin-2，则tan（ ） A- 3 B3 C3-3 D33 【答案】B 【解析】因为是第三象限角，且3sin-2， 所以1cos2 ，所以sintan3cos，故选 B。 2、已知s

3、in22sin3cos5，则tan（ ） A6 B6 C23 D23 【答案】B 【解析】化简sinsin22sin3cos2sin3cos235tantan 所以t6an，故选 B。 3、sin 600 tan 240 的值为（ ） A.3 32 B. 32 C. 32 D. 3 32 【答案】 ：C 【解析】 ：sin 600 tan 240 sin(720 120 )tan(180 60 )sin 120 tan 60 32 332 4、已知 sin31213，则 cos6 等于( ) A.513 B.1213 C513 D1213 【答案】 ：B 【解析】 ：因为 sin31213，所

4、以 cos6 sin26sin31213. 5、化简：tan()cos(2)sin32cos()sin()的值为（ ） A.2 B. 1 C. 1 D. 2 【答案】 ：B 【解析】 ：原式tan cos (cos )cos() sin()tan cos cos cos sin sin cos cos sin 1 6、 sin 43 cos 56 tan43的值为（ ） A.3 34 B. 34 C. 34 D. 3 34 【答案】 ： A 【解析】 ：原式sin3 cos6 tan3sin 3cos 6tan 3 3232 ( 3)3 34. 考向一 三角函数的诱导公式 例 1、已知 是第三

5、象限角，且 f()sin() cos(2) tan()tan() sin() (1)若 cos3215，求 f()的值； (2)若 1 860 ，求 f()的值 【解析】 ：f()sin cos tan(tan) sincos (1) cos32sin15， sin15 是第三象限的角， cos11522 65 f()cos256 (2) f()cos(1860)cos(60)12 变式 1、角的终边在直线2yx上，则sincossincos（ ） A13 B1 C3 D1 【答案】C 【解析】因为角的终边在直线2yx上，tan2， 则sincossinsincossincoscsosinco

6、stan13sincostan1，故选 C。 变式 2、 已知 sin(3)13，则cos()coscos（）1 cos()2sin32cos()sin32_ _ 【答案】18 【解析】 sin(3)sin13，sin13， 原式coscos()cos1 cos()2sin32 cos()cos11cos coscos2cos11cos11cos21cos22sin2213218. 变式 3、已知 f()2sin（）cos（）cos（）1sin2cos32 sin22(sin 0 且 12sin 0)，则 f236_. 【答案】 3 【解析】f()（2sin ）（cos ）cos 1sin2s

7、in cos2 2sin cos cos 2sin2sin cos （12sin ）sin （12sin ）1tan ， f2361tan2361tan461tan 6 3. 方法总结：1、熟知将角合理转化的流程 也就是： “负化正，大化小，化到锐角就好了 ” 2明确三角函数式化简的原则和方向 (1)切化弦，统一名 (2)用诱导公式，统一角 (3)用因式分解将式子变形，化为最简 考向二 同角函数关系式的运用 例 2 (1)若 是三角形的内角，且 tan13，则 sincos的值为_ _ (2)已知 sincos18，且5432，则 cossin的值为_ _ 【答案】 （1）105.（2）32.

8、 【解析】 (1)由 tan13，得 sin13cos，将其代入 sin2cos21，得109cos21，cos2910，易知 cos0，cos3 1010，sin1010，故 sincos105. (2)5432，cos0，sin0 且 cossin，cossin0.又(cossin)212sincos121834，cossin32. 变式 1、若 3sincos0，则1cos22sincos _ 【答案】103. 【解析】 (1)3sincos0cos0tan13，1cos22sincoscos2sin2cos22sincos1tan212tan1132123103. 变式 2、(1)若

9、tan()12，则sin21cos2sin2( ) A.12 B.2 C.12 D.2 (2)已知 tan 2，则 sin2sin cos 2cos2 等于( ) A.43 B.54 C.34 D.45 【答案】 (1)D (2)D 【解析】(1)tan()tan()tan 12， sin21cos2sin22sin2cos2cos2sin22tan211tan22122111222. （2）sin2sin cos 2cos2sin2sin cos 2cos2sin2cos2tan2tan 2tan21， 又 tan 2，故原式4224145. 方法总结：本题考查同角三角函数的关系式利用 si

10、n2cos21 可以实现角 的正弦、余弦的互化，利用sincostan可以实现角 的弦切互化，如果没有给出角的范围，则要分类讨论应用公式时注意方程思想的应用：对于 sincos，sincos，sincos这三个式子，利用(sincos)21 2sincos，可以知一求二所求式是关于 sin，cos的齐次式时，分子分母同除以 cos，可化成 tan的函数式求值本题考查运算求解能力，考查函数与方程思想 考向三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用 例3、已知cos(75+)=13，且是第三象限角，求cos(15-)+sin(-15)的值 【解析】：因为cos(15-)=cos90-(75+)=s

11、in(75+)， 由于是第三象限角，所以sin(75+)0， 所以sin(75+)=22 21cos (75)3 因为sin(-15)=sin-90+(75+)=-sin90- (75+)= -cos(75+)=-， 所以 cos(15-)+sin(-15)= 12 23 变式1、已知sin(3)=2cos3()2，3cos()=2cos(+)，0，0，求，的值 【解析】：由已知等式可得sin =2sin ， 3cos =2cos 两式平方相加，得sin2+3cos2=2sin2+2cos2=2，即sin2+3(1-sin2)=2，则sin = 又因为0，所以sin =，=或 当=时，由可得s

12、in =，cos =， 又0，所以=; 132222434412326当=时，由可得sin =，cos =-， 又0，所以=56 故46或3456 方法总结：1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形. 2.注意角的范围对三角函数值符号的影响. 1、 （2016 新课标卷 3，理 5）若 ，则 (A) (B) (C) 1 (D) 【答案】A 【解析】由，得或，所以 ，故选 A 2、 （2016 全国课标卷 3，文 6）若 ，则（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 3、(2012 江西)若，则 tan2=（ ） A B C

13、D 3412323tan42cos2sin26425482516253tan434sin,cos5534sin,cos55 2161264cos2sin24252525 tan13cos245151545sincos1sincos234344343【答案】B 【解析】分子分母同除cos得：sincostan11,sincostan12tan3， 22tan3tan21tan4 4、在ABC 中，若 sin(2A) 2sin(B)， 3cosA 2cos(B)，求ABC 的三个内角 【解析】 由已知得sinA 2sinB，3cosA 2cosB， 22得 2cos2A1，即 cosA22. (1

14、)当 cosA22时，cosB32， 又 A、B 是三角形的内角，A4，B6， C(AB)712. (2)当 cosA22时，cosB32. 又 A、B 是三角形的内角， A34，B56，不合题意 综上知，A4，B6，C712. 5、已知关于 x 的方程 2x2( 31)xm0 的两根分别是 sin和 cos，(0，2)，求： (1)sin2sincoscos1tan的值； (2)m 的值； (3)方程的两根及此时的值 【解析】 (1)原式sin2sincoscos1sincos sin2sincoscos2cossinsin2cos2sincossincos. 由条件知 sincos312，故sin2sincoscos1tan312. (2)由已知，得 sincos312，sincosm2， 又 12sincos(sincos)2，可得 m32. (3)由sincos312，sincos34，得sin32，cos12 或sin12，cos32.又 (0，2)，故3或 6.