2022届高三数学一轮复习考点32:正弦定理余弦定理的应用(原卷版)
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1、考点 32 正弦定理、余弦定理的应用 【命题解读】【命题解读】 高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活,题型多变,往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理,以解答题的形式综合考查定理的综合应用,多与三角形周长、面积有关;有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查,试题难度控制在中等或以下,主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等 【基础知识回顾基础知识回顾】 1仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图) 2方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 (如图) 3方向角:相对于某
2、一正方向的水平角 (1)北偏东 ,即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向(如图) (2)北偏西 ,即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向 (3)南偏西等其他方向角类似 区分两种角 (1)方位角:从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角 (2)方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角 4坡角与坡度 (1)坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图,角 为坡角) (2)坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图,i 为坡度)坡度又称为坡比 1 为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩 A,B(如图),要测量 A,B 两点的距离,测量人员在岸边定出基线 BC,测得 BC50 m,
3、ABC105 ,BCA45 就可以计算出 A,B 两点的距离为_ A20 2 m B30 2 m C40 2 m D50 2 m 2 如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120 的扇形 AOB,C 是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 min,从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 min若此人步行的速度为每分钟 50 m,则该扇形的半径为_m A50 3 B50 5 C50 7 D50 11 3 如图,一艘船上午 9:30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30 处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午 10:00 到达
4、 B 处,此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75 处,且与它相距 8 2 n mile此船的航速是_n mile/h A16 B32 C64 D128 4 某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为 45距离为 10 海里的 C 处,并测得渔轮正沿方位角为 105 的方向,以 9 海里/小时的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以 21 海里/小时的速度前去营救,则舰艇靠近渔轮所需的时间为_小时 A12 B23 C34 D1 考向一 利用正弦、余弦定理解决距离及角度问题 例 1、 某市电力部门需要在 A, B 两地之间架设高压电线, 因地理条件限制,
5、不能直接测量 A, B 两地距离 现测量人员在相距 3 km 的 C, D 两地(假设 A, B, C, D 在同一平面上), 测得ACB75, BCD45,ADC30,ADB45(如图),假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因,实际所须电线长度大约应该是 A,B 距离的43倍,问施工单位至少应该准备多长的电线? 变式 1、如图,有一段河流,河的一侧是以 O 为圆心,半径为 10 3 m 的扇形区域 OCD,河的另一侧是一段笔直的河岸 l,岸边有一烟囱 AB(不计 B 离河岸的距离),且 OB 的连线恰好与河岸 l 垂直,设 OB 与圆弧的交点为 E经测量,扇形区域和河岸处于同一水平面,在点
6、 C,点 O 和点 E 处测得烟囱 AB 的仰角分别为45,30和 60 (1) 求烟囱 AB 的高度; (2) 如果要在 CE 间修一条直路,求 CE 的长 变式 2、在海岸 A 处,发现北偏东 45方向,距离 A 为( 31) nmile 的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西75的方向,距离 A 为 2 nmile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 nmile/h 的速度追截走私船此时,走私船正以 10 nmile/h 的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船? 变式 3、如图,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 1
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