2022年高考数学一轮《第八章 解析几何》单元复习试卷(含答案解析)
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1、第八章 解析几何2022年高考一轮数学单元复习(新高考专用)第I卷(选择题)一、单选题1以下五个关于圆锥曲线的命题中:平面内到定点(1,0)和定直线:的距离之比为的点的轨迹方程是;点是抛物线上的动点,点在轴上的射影是,点的坐标是,则的最小值是6;平面内到两定点距离之比等于常数()的点的轨迹是圆;若动点满足,则动点的轨迹是双曲线;若过点的直线交椭圆于不同的两点,且是的中点,则直线的方程是其中真命题个数为( )A1B2C3D4【答案】B【分析】对于:设动点,直接求出P的轨迹方程即可验证;对于:利用几何法求出的最小值即可验证;对于:当时,平面内到两定点距离之比等于常数1的点的轨迹是直线,即可验证;对
2、于:利用双曲线的定义,进行判断;对于:用“点差法”求出直线方程进行验证即可.【详解】对于:设动点,由题意可得:,即,整理化简得:,即求出的轨迹方程为:.故错误;对于:设到抛物线的准线的距离为d,则,由抛物线的定义得,,所以,所以,如图示,当P运动到Q点时,P、A、F三点共线,最小,此时,故正确;对于:当时,平面内到两定点距离之比等于常数1的点的轨迹是直线,故错误;对于:“若动点满足,则动点的轨迹是双曲线”显然不正确,因为不满足双曲线的定义,故不正确;对于:当直线的斜率不存在时,直线l:x=1,的中点为(1,0),不符合题意;设直线的斜率为k,设,则.因为在椭圆上,所以,两式相减得:,所以因为是
3、的中点,所以,所以,所以直线的方程是.故正确.故选:B2已知双曲线,方向向量为的直线与交于两点,若线段的中点为,则双曲线的渐近线方程是( )ABCD【答案】B【分析】根据题意写出直线的方程,然后结合点差法求出,进而可以求出双曲线的渐近线方程.【详解】由题意知直线的方程为,即,设,则,作差得,即,又因为,则,即,即,且,消去,得,则,当时,所以直线与双曲线有两个交点,符合题意,所以双曲线的渐近线方程是,即,故选:B.3若抛物线上的一点到其焦点的距离为1,则点的纵坐标是( )A1BCD【答案】D【分析】由题意可知:焦点坐标为,准线方程为:,由抛物线的定义可知:,即,解得:,即可求得的纵坐标【详解】
4、解:抛物线焦点在轴上,焦点坐标为,准线方程为:,设,由抛物线的定义可知:,解得:,故选:D4已知抛物线的焦点为F,点在抛物线上,以M为圆心,为半径的圆交y轴于G,H两点,则的长为( )ABC1D【答案】D【分析】先求出圆心坐标和半径,再利用勾股定理求解即可【详解】易知抛物线的焦点为,由点在抛物线上,可知,以M为圆心,为半径的圆交y轴于G,H两点,则故选:D5若是圆所在平面内的一定点,是圆上的一动点,线段的垂直平分线与直线相交于点,则点的轨迹不可能是( )A圆B椭圆C双曲线D抛物线【答案】D【分析】由题意可得,点可能在圆的外部,可能在圆的内部(但不和点重合)、可能和点重合、也可能在圆上,在这四种
5、情况下,分别结合椭圆的定义、双曲线的定义、圆的定义求出点的轨迹方程,即可得到答案【详解】设圆的半径为,(1)若点A在圆内不同于点处,如图(1)所示,则有,故点的轨迹是以A为焦点的椭圆,所以B正确;(2)若点A与重合,则有,故点的轨迹是以为圆心,为半径的圆,所以A正确;(3)若点A在圆上,如图(3)所示,则由垂径定理,线段的垂直平分线必过点,故与重合,故点的轨迹是一个点;(4)若点A在圆外,如图(4)所示,则,所以,故点的轨迹是以A为焦点的双曲线右支,当的垂直平分线交的延长线于点时,的轨迹是以A为焦点的双曲线左支,所以C正确;故选:D.6已知为坐标原点,双曲线:(,)的左焦点为,右顶点为,过点向
6、双曲线的一条渐近线作垂线,垂足为,且,直线与双曲线的左支交于点,则的大小为( )ABCD【答案】B【分析】根据垂直渐近线且,可得,从而不妨设,可得及,这样就可得轴,从而可得求解.【详解】易知,于是,故离心率,不妨设,则,不难求得,于是轴,所以故选:B7已知A,B,C是双曲线上的三个点,经过原点O,经过右焦点F,若且,则该双曲线的离心率是( )ABCD【答案】C【分析】根据题意,连接,构造矩形,根据双曲线定义表示出各个边长,由直角三角形勾股定理求得 的关系,进而求出离心率【详解】设左焦点为,连接,则,因为,且经过原点,所以四边形 为矩形,在Rt中, ,代入,化简得,所以在Rt中,代入,化简得,即
7、,故选:C.8点,为椭圆:的两个焦点,点为椭圆内部的动点,则周长的取值范围为( )ABCD【答案】C【分析】根据椭圆的定义及简单性质,转化求解即可得出答案【详解】解:由椭圆:,得:,当点在椭圆上时,周长最大,为,当点在轴上时,去最小值,为,又因点为椭圆内部的动点,所以周长的取值范围为.故选:C.9已知点分别为双曲线的左右焦点,过的直线与双曲线右支交于点,过作的角平分线的垂线,垂足为,若,则双曲线的离心率的取值范围是( )ABCD【答案】D【分析】如图根据题意可得,在中利用余弦定理可得,再根据的范围,从而求得的范围.【详解】如图所示,由已知可知是的角平分线,且,延长交于,易知,由,所以,又,所以
8、,在中,由的斜率可无限靠近渐近线的斜率,所以,所以,解得.故选:D10双曲线()的一条渐近线的方程为,则双曲线的实轴长为( )ABCD【答案】A【分析】根据双曲线方程写出渐近线方程,与已知渐近线方程对应系数相等即可求出,从而求出实轴的长度.【详解】因为双曲线(),所以双曲线的渐近线方程为,又因为渐近线的方程为,即,所以,则,所以实轴长为,故选:A.11已知双曲线的左焦点为,点在双曲线的右支上,当的周长最小时,的面积为( )AB9CD4【答案】A【分析】设的右焦点为,根据双曲线的定义可得当,三点共线时,的周长最小,然后联立直线和双曲线的方程,求出点的纵坐标即可.【详解】设的右焦点为,由题意可得,
9、因为,所以,.的周长为,即当,三点共线时,的周长最小,此时直线的方程为,联立方程组.解得或,即此时的纵坐标为,故的面积为.故选:A12已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于第一、四象限的A,两点,设抛物线焦点为,若,则双曲线的离心率为( )AB或CD【答案】B【分析】求得双曲线的渐近线方程,联立抛物线方程,求得A,的坐标,以及的坐标,设的倾斜角为,由二倍角的余弦公式和同角的基本关系式,以及直线的斜率公式,双曲线的离心率公式,计算可得所求值【详解】解:双曲线的两条渐近线方程为,由抛物线和,联立可得,,,,由抛物线的方程可得,设的倾斜角为,斜率为,而,解得或,设,若,解得,则,或,解得,则,故选:
10、B【点睛】本题考查双曲线的方程和性质,考查三角函数的恒等变换,以及化简运算能力,属于中档题13设抛物线的焦点为,准线为,过抛物线上一点作的垂线,垂足为,设,与相交于点.若,且的面积为,则点到准线的距离是( )ABCD【答案】D【分析】由题意,得到,根据,得到,求得, ,又由且,所以四边形为平行四边形,所以为的中点,结合,列出方程,即可求解.【详解】如图所示,抛物线的焦点为,准线方程为,过抛物线上一点作的垂线,垂足为,可得,又由且,所以,所以,解得,代入抛物线方程,可得,又由且,所以四边形为平行四边形,所以为的中点, 所以的面积为,解得,即点到准线的距离是.故选:D.14如图所示,设椭圆的左、右
11、两个焦点分别为,短轴的上端点为,短轴上的两个三等分点,且四边形为正方形,若过点作此正方形的外接圆的一条切线在轴上的截距为,则此椭圆方程为( )ABCD【答案】B【分析】根据题意,求得切线l的方程,根据四边形为正方形,可得b,c的关系,根据直线l与圆相切,可得圆心到直线的距离等于半径,即可求得b,c的值,根据a,b,c的关系,即可得,即可得答案.【详解】因为切线在x轴截距为,在y轴截距为b,所以切线l的方程为,即,因为正方形的对角线,所以,即,则正方形外接圆方程为:,所以,解得,又,所以椭圆方程为.故选:B二、多选题15已知双曲线的左右焦点分别为,过的直线与双曲线交于A,B两点,A在第一象限,若
12、为等边三角形,则下列结论一定正确的是( )A双曲线C的离心率为B的面积为C的内心在直线上D内切圆半径为【答案】BC【分析】按照AB两点在同支或两支讨论,结合余弦定理及离心率的定义可判断A;结合三角形面积公式可判断B;由双曲线的定义结合切线长定理可判断C;利用等面积法可判断D.【详解】对于C,设的内心为I,作过作的垂线,垂足分别为,如图,则,所以,所以的内心在直线上,故C正确;为等边三角形,若在同一支,由对称性知轴,.,;, 设的内切圆半径为r,则,解得;若分别在左右两支,则,则,解得,离心率,设的内切圆半径为r,则,解得;所以结论一定正确的是BC.故选:BC.【点睛】易错点点睛:本题极易忽略点
13、在双曲线两支的情况,导致漏解.16已知焦点在轴,顶点在原点的抛物线,经过点,以上一点为圆心的圆过定点,记,为圆与轴的两个交点( )A抛物线的方程为B当圆心在抛物线上运动时,随的变化而变化C当圆心在抛物线上运动时,记,有最大值D当且仅当为坐标原点时,【答案】ACD【分析】由已知,设抛物线方程为,将点代入即可判断A选项;设圆心,求出圆的半径,写出圆的方程,令,可求得、,由此可判断B选项;设,根据条件可求得,利用基本不等式讨论即可判断C选项;再根据可判断D选项【详解】解:由已知,设抛物线方程为,解得所求抛物线的方程为,故A正确;设圆心,则圆的半径,圆的方程为,令,得,得,(定值),故B不正确;设,当
14、时,当时,故当且仅当时,取得最大值为,故C正确;由前分析,即,当且仅当时,故D正确;故选:ACD17过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,为线段的中点,则( )A以线段为直径的圆与直线相切B以线段为直径的圆与轴相切C当时,D的最小值为【答案】ACD【分析】根据焦点弦长公式可知,对比到准线的距离可知,由此可知A正确;将直线方程与抛物线方程联立,结合韦达定理可得坐标,由此得到,与对比可知不恒成立,则B错误;由向量数乘运算可知,由此可求得坐标,进而得到,知C正确;将表示为关于的二次函数形式,由二次函数最值可知D正确.【详解】由抛物线方程知:,准线方程为:;由题意可知:直线斜率存在,可设;对于A,设,由
15、焦点弦长公式知:;为中点,到准线的距离,又,以线段为直径的圆与直线相切,A正确;对于B,由得:,则,;设中点为,则,又,不恒成立,以线段为直径的圆与轴未必相切,B错误;对于C,若,则,不妨设,则,C正确;对于D,当时,D正确.故选:ACD.18已知双曲线的右顶点、右焦点分别为、,过点的直线与的一条渐近线交于点,直线与的一个交点为,且,则下列结论正确的是( )A直线与轴垂直B的离心率为C的渐近线方程为D(其中为坐标原点)【答案】AB【分析】利用平面向量数量积的运算性质可判断A选项的正误;求出点的坐标,代入双曲线的方程,求出该双曲线的离心率,可判断B选项的正误;求出的值,可判断C选项的正误;利用两
16、点间的距离公式可判断D选项的正误.【详解】由已知得,设,由,得,所以轴,即,A正确;不妨设点在第一象限,易知,即点,设,由,得,所以,所以,即因为点在双曲线上,所以,整理得,所以,解得或(负值舍去),B正确;,故C的渐近线的斜率的平方为,C错误;不妨设点在第一象限,则,所以,D错误故选:AB19已知点为双曲线右支上一点,为双曲线的两条渐近线,点,在上,点,在上,且,为坐标原点,记,的面积分别为,则下列结论正确的是( )ABCD【答案】ABD【分析】根据,则四点在以OP为直径的圆上,从而有;根据双曲线方程写出渐近线方程,求得倾斜角,用PA,PB表示出PM,PN,从而求得面积关系;设,由点到直线距
17、离求得PA,PB,从而验证的值;从而求得的值,在三角形中,由余弦定理表示出MN,从而求得范围.【详解】由,四点在以OP为直径的圆上,则,故B正确;由双曲线方程设,则,由,则则,则,则,故C错误;设,满足,则,则由点到直线距离知,同理有,则,故A正确;故,在三角形中,由余弦定理知,故,当且仅当时,等号成立,故D正确;故选:ABD【点睛】关键点点睛:根据条件写出渐近线方程,本题属于特殊角的相关计算,可以表示出具体的线段和三角形面积,验证是否满足选项答案即可.在求解范围问题时,首先需要求得线段的表达式,然后借助函数或基本不等式求得范围或最值.20如图,是坐标原点,是双曲线艾支上的一点,是的右焦点,延
18、长分别交E于两点,已知,且,则( )A的离心率为B的离心率为CD【答案】AC【分析】首先取双曲线的左焦点,连接,设,结合几何性质,以及双曲线的定义,求得,再结合勾股定理求椭圆的离心率,并结合比例关系,判断面积比值,即可判断选项.【详解】如图,取的左焦点,连接,由对称性可知,设,则,在中,解得或舍去,所以在中,整理得,故的离心率为正确,不正确因为是的中点,所以正确,不正确故选:AC21已知抛物线焦点与双曲线点的一个焦点重合,点在抛物线上,则( )A双曲线的离心率为2B双曲线的渐近线为CD点到抛物线焦点的距离为6【答案】AC【分析】由双曲线的方程,求得,利用双曲线的几何性质,可判定A正确,B错误;
19、根据题意,列出方程,可判定C正确;根据抛物线的定义,可判定D错误.【详解】由双曲线,可得,则,所以双曲线的离心率为,所以A正确;由双曲线的渐近线为,所以B错误;由抛物线焦点与双曲线点的一个焦点重合,可得,解得,所以C正确;由抛物线的准线方程为,则点到其准线的距离为,到焦点的距离也为4,所以D错误.故选:AC.22已知双曲线的离心率为2,点,是上关于原点对称的两点,点是的右支上位于第一象限的动点(不与点、重合),记直线,的斜率分别为,则下列结论正确的是( )A以线段为直径的圆与可能有两条公切线BC存在点,使得D当时,点到的两条渐近线的距离之积为3【答案】ABD【分析】当点,分别是的左、右顶点可判
20、断A;利用点差法可判断B;利用基本不等式可判断C;首先求出双曲线的渐近线,再利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】当点,分别是的左、右顶点时,圆与恰有两条公切线,故A正确;设,则,则,所以,故B正确;,故C错误;当时,渐近线方程为,即,点到两条渐近线的距离之积为,双曲线,点是的右支上位于第一象限,则,整理可得,代入上式可得,故D正确故选:ABD23已知直线:和抛物线:交于,两点,直线,(为坐标原点)的斜率分别为,若,则( )ABCD【答案】BD【分析】联立直线与抛物线的方程,得到韦达定理,利用两点间斜率公式表示,由此可判断选项,利用,即可判断选项,利用到角公式即可判断选项,利用弦长公式即可判
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