2021年山东省潍坊市诸城市中考数学三模试卷（含答案解析）

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1、2021 年山东省潍坊市诸城市中考数学三模试卷年山东省潍坊市诸城市中考数学三模试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）要求的） 1若 x+|x|0，那么实数 x 一定是（ ） A负数 B正数 C零 D非正数 2若 3x2，9y7，则 32yx的值为（ ） A B C D 3 据第七次全国人口普查结果显示， 全国人口共 14.1178 亿人， 若 “14.1178 亿” 用科学记数法表示为 1.4117810n，则 n 等于（ ） A

2、8 B9 C10 D11 4 在 对 一 组 样 本 数 据 进 行 分 析 时 ， 小 莹 列 出 了 方 差 的 计 算 公 式 ： s2，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（ ） A平均数是 9 B中位数是 8.5 C方差是 3.25 D样本容量是 4 5反比例函数 y的图象在二、四象限，则一次函数 yax+a 的图象所在象限是（ ） A一、二、三 B一、三、四 C一、二、四 D二、三、四 6如图，菱形 ABCD 的边长为 2，A45，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N 两点，直线 MN 交 AD 于点 E，连接 CE，则 CE 的

3、长为（ ） A2 B3 C D 7如图，一只蚂蚁要从圆柱体下底面的 A 点，沿圆柱表面爬到与 A 相对的上底面的 B 点，圆柱底面直径为4，母线为 6，则蚂蚁爬行的最短路线长为（ ） A B C4 D6 8如图，正方形 ABCD 的边长为 4，动点 M、N 同时从 A 点出发，点 M 沿 AB 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 B 运动，点 N 沿折线 ADC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动，设运动时间为 t 秒，则CMN 的面积为 S 关于 t 函数的图象大致是（ ） A B C D 二、选择题（本题共二、选择题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 12

4、分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分）分） 9下列说法正确的是 A.35.5355 B“矩形的对角线相等”的逆命题是真命题 C已知等腰三角形两边的长分别是 2 和 5，则此三角形周长可能是 9 D三角形的重心是三角形三条中线的交点 10当 8a11 时，关于 x 的不等式组的整数解可能有 A.4 个 B.3 个 C.2 个 D1 个 11如图，一次函数 ykx+b 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，且与反比例函数 y （x0）交于

5、点 C（6，n）和点 D（2，3），过点 C，D 分别作 CEy 轴于点 E，DFx 轴于点 F，连接 EF下列结论正确的是 An1 B一次函数的解析式是 yx+4 C三角形 CEF 的面积为 6 DEFAB 12关于 x 的方程（x2）（x3）m 有两个不相等的实数根 x1，x2（x1x2），则下列结论一定正确的是 Ax12，x23 Bm C D当 m0 时，x123x2 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 18 分，只要求填写最后结果，每小题填对得分，只要求填写最后结果，每小题填对得 3 分）分） 13已知 a+1，b1，则 a3bab3 14如图，一个宽度相等

6、的纸条按如图所示方法折叠一下，则1 度 15按一定规律排列的一列数依次为 2，5，10，17，26，37，按此规律排列下去，这列数中的第 20 个数是 16如图，在以 AE 为直径的O 中，过点 A 作A30，交O 于点 B，已知 AB8，点 C 为 AB 的中点，连接 EC，则 EC 17如图，将ABC 绕 A 点逆时针旋转 60得到ADE，若BCD118，则CDE 18商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价 a、最高销售限价 b（ba）以及实数 x（0 x1）确定实际销售价格 ca+x（ba），这里，x 被称为乐观系数经验表明，最佳乐观系数 x 恰好使得（c

7、a）是（bc）和（ba）的比例中项，据此可得，最佳乐观系数 x 的值等于 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 66 分分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19为落实德州市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开展了四门校本课程供学生选择：A趣味数学；B博乐阅读；C快乐英语；D硬笔书法全校共有 100 名学生选择了 A 课程，为了解选 A 课程学生的学习情况，从这 100 名学生中随机抽取了 30 名学生进行测试将他们的成绩（百分制）绘制成频数分布直方图 （1）其中 70 x80 这一组的数据为 74，7

8、3，72，75，76，76，79，则这组数据的中位数是 ，众数是 （2）根据题中信息，估计该校共有 人，选 A 课程学生成绩在 80 x90 的有 人 （3）课程 D 在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为 （4）如果学校规定每名学生要选两门不同的课程，小张和小王在选课程中，若第一次都选了课程 C，那么他俩第二次同时选课程 A 或 B 的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明 20某种型号油电混合动力汽车，从 A 地到 B 地，只用燃油行驶，需用燃油 76 元；从 A 地到 B 地，只用电行驶，需用电 26 元，已知每行驶 1 千米，只用燃油的费用比只用电的费用多 0.5 元 （1）若只

9、用电行驶，每行驶 1 千米的费用是多少元？ （2）若要使从 A 地到 B 地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过 39 元，则至少需用电行驶多少千米？ 21如图，在东西方向的海岸线上的两个码头 A 和 B 相距 54 海里，现有一货轮从码头 B 出发沿正北方向航行 9 海里到达点 C 处，测得灯塔 D 在点 C 的北偏西 60方向上，已知灯塔 D 在码头 A 的北偏东 60方向，求此时货轮与灯塔 D 的距离 22如图，O 是ABC 的外接圆，ABC45，OCAD，AD 交 BC 的延长线于点 D，AB 交 OC 于点E （1）求证：AD 是O 的切线； （2）若 AE10，BE6，求图中阴影

10、部分的面积 23目前，全国各地都在积极开展新冠肺炎疫苗接种工作，某生物公司接到批量生产疫苗任务，要求 5 天内加工完成 22 万支疫苗，该公司安排甲，乙两车间共同完成加工任务，乙车间加工过程中停工一段时间维修设备，然后提高效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止，设甲，乙两车间各自生产疫苗 y（万支）与甲车间加工时间 x（天）之间的关系如图 1 所示；未生产疫苗 w（万支）与甲车间加工时间 x（天）之间的关系如图 2 所示，请结合图象回答下列问题： （1）甲车间每天生产疫苗 万支，a （2）直接写出乙车间生产疫苗数量 y（万支）与 x（天）之间的函数关系式； （3）若 5.5 万支疫苗恰

11、好装满一辆货车，那么加工多长时间装满第一辆货车？再加工多长时间恰好装满第三辆货车？ 24如图 1，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，CD 边的垂直平分线 EH 交 BD 于点 E，连接 AE，CE （1）过点 A 作 AFEC 交 BD 于点 F，求证：AFBF； （2）如图 2，将ABE 沿 AB 翻折得到ABE 求证：BECE； 若 AEBC，OE1，求 CE 的长度 25如图，抛物线 yax2+bx+4 经过点 A（2，0），点 B（4，0），与 y 轴交于点 C，过点 C 作直线 CDx 轴，与抛物线交于点 D，作直线 BC，连接 AC （1）求抛物线的函数表达

12、式，并用配方法求抛物线的顶点坐标； （2）E 是抛物线上的点，求满足ECDACO 的点 E 的坐标； （3）点 M 在 y 轴上，且位于点 C 的上方，点 N 在直线 BC 上，点 P 为直线 BC 上方抛物线上一点，若以点 C，M，N，P 为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长 参考答案参考答案 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）要求的） 1若 x+|x|0，那么实数 x 一定是（ ） A负数 B正数 C零 D非正数 【分析】先整理，

13、然后根据绝对值等于它的相反数进行解答 解：由 x+|x|0 得， |x| x， 负数或零的绝对值等于它的相反数， x 一定是负数或零 故选：D 2若 3x2，9y7，则 32yx的值为（ ） A B C D 【分析】逆向运用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则即可求解 解：3x2，9y32y7， 32yx32y3x 故选：D 3 据第七次全国人口普查结果显示， 全国人口共 14.1178 亿人， 若 “14.1178 亿” 用科学记数法表示为 1.4117810n，则 n 等于（ ） A8 B9 C10 D11 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确

14、定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 解：14.1178 亿14117800001.41178109 n9， 故选：B 4 在 对 一 组 样 本 数 据 进 行 分 析 时 ， 小 莹 列 出 了 方 差 的 计 算 公 式 ： s2，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（ ） A平均数是 9 B中位数是 8.5 C方差是 3.25 D样本容量是 4 【分析】由方差的计算公式得出这组数据为 8、6、9、11，再根据中位数、方差和平均数的定义求解即可 解：由

15、方差的计算公式知，这组数据为 6、8、9、11， 所以这组数据的样本容量为 4，中位数为8.5，平均数8.5， 方差 s288.5）2+（68.5）2+（98.5）2+（118.5）23.25 所以 B、C、D 正确 故选：A 5反比例函数 y的图象在二、四象限，则一次函数 yax+a 的图象所在象限是（ ） A一、二、三 B一、三、四 C一、二、四 D二、三、四 【分析】先根据反比例函数的增减性判断出 a 的符号，再根据一次函数的图象与系数的关系判断出次函数 yax+a 的图象经过的象限即可 解：反比例函数 y的图象在二、四象限， 1a0， a1， 一次函数 yax+a 的图象经过一、二、三

16、象限， 故选：A 6如图，菱形 ABCD 的边长为 2，A45，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N 两点，直线 MN 交 AD 于点 E，连接 CE，则 CE 的长为（ ） A2 B3 C D 【分析】如图，连接 EB证明AEB 是等腰直角三角形，利用勾股定理求出 AE，EB，EC 即可 解：如图，连接 EB 由作图可知，MN 垂直平分线段 AB， EAEB， AEBA45， AEB90， AB2， EAEB， 四边形 ABCD 是菱形， ADBC， EBCAEB90， EC， 故选：D 7如图，一只蚂蚁要从圆柱体下底面的 A 点，沿圆柱表面爬到与 A

17、 相对的上底面的 B 点，圆柱底面直径为4，母线为 6，则蚂蚁爬行的最短路线长为（ ） A B C4 D6 【分析】要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾股定理来求 解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点 A，B 的最短距离为线段 AB 的长， BC6，AC 为底面半圆弧长，AC2， 所以 AB 故选：A 8如图，正方形 ABCD 的边长为 4，动点 M、N 同时从 A 点出发，点 M 沿 AB 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 B 运动，点 N 沿折线 ADC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动，设运动时间为 t 秒，则CMN 的面积为 S 关于 t

18、 函数的图象大致是（ ） A B C D 【分析】当 0t2 时，AMt，AN2t，利用 SS正方形ABCDSAMNSBCMSCDN可得到 St2+6t；当 2t4 时，CN82t，利用三角形面积公式可得 S4t+16，于是可判断当 0t2 时，S 关于 t函数的图象为开口向上的抛物线的一部分， 当 2t4 时， S 关于 t函数的图象为一次函数图象的一部分，然后利用此特征对四个选项进行判断 解：当 0t2 时，AMt，AN2t， 所以 SS正方形ABCDSAMNSBCMSCDN44t2t4（4t）4（42t）t2+6t； 当 2t4 时，CN82t，S（82t）44t+16， 即当 0t2

19、时，S 关于 t 函数的图象为开口向下的抛物线的一部分，当 2t4 时，S 关于 t 函数的图象为一次函数图象的一部分 故选：D 二、选择题（本题共二、选择题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 12 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分）分） 9下列说法正确的是 AD A.35.5355 B“矩形的对角线相等”的逆命题是真命题 C已知等腰三角形两边的长分别是 2 和 5，则此三角形周长可能是 9 D三角形的重心是三角

20、形三条中线的交点 【分析】关键是根据度数的比较、矩形的性质、等腰三角形的性质及三角形的重心的定义解答 解：A.35.53530355，是真命题； B“矩形的对角线相等”的逆命题是假命题，是假命题； C已知等腰三角形两边的长分别是 2 和 5，则此三角形周长不能是 9，是假命题； D三角形的重心是三角形三条中线的交点，是真命题； 故答案为：AD 10当 8a11 时，关于 x 的不等式组的整数解可能有 BC A.4 个 B.3 个 C.2 个 D1 个 【分析】先解不等式组，再结合 8a11，求出不等式组的整数解 解：解不等式组得：x5， 8a11， 34， x5 的整数解可能有：3、4、5 或

21、 4、5， 故答案为：BC 11如图，一次函数 ykx+b 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，且与反比例函数 y （x0）交于点 C（6，n）和点 D（2，3），过点 C，D 分别作 CEy 轴于点 E，DFx 轴于点 F，连接 EF下列结论正确的是 ABD An1 B一次函数的解析式是 yx+4 C三角形 CEF 的面积为 6 DEFAB 【分析】由反比例函数 y（x0）过点 C（6，n）和点 D（2，3），可得 k6，进而可得 n，可判断 A； 把点 C 和点 D 的坐标代入， 可得一次函数的解析式， 可判断 B； 根据 SCEF|m|， 可判断 C；连接 CF，DE，可得 SCE

22、FSDEF，可得 EFAB，可判断 D 解：由题意可知，反比例函数 y（x0）过点 C（6，n）和点 D（2，3）， k236， n6（6）1，故 A 正确； 一次函数 ykx+b 过点 C（6，1）和点 D（2，3）， ，解得 ， 一次函数的解析式是 yx+4，故 B 正确； 如图，连接 CF，DE， 由 k 的几何意义可得， SCEF|m|3，故 C 错误； SCEFSDEF|m|3， EFAB，故 D 正确； 综上，正确的结论有 3 个 故答案为：ABD 12关于 x 的方程（x2）（x3）m 有两个不相等的实数根 x1，x2（x1x2），则下列结论一定正确的是 BCD Ax12，x23

23、 Bm C D当 m0 时，x123x2 【分析】根据一元二次方程与图形的关系，韦达定理即可即可判定求解 解：A，只有当 m0 时，即（x2）（x3）0， 解得：x12，x23， 当 m0 时，x12，x23， 故此选项错误； B，整理一元二次方程的 x25x+6m0， 原方程有两个不相等的实根， b24ac0， 即 254（6m）0，解得：m， 故此选项结论正确； C，整理一元二次方程的 x25x+6m0， 根据韦达定理可知：x1+x25， ， 故此选项结论正确； D，当 m0 时，如图可知，x123x2， 故此选项结论正确 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 1

24、8 分，只要求填写最后结果，每小题填对得分，只要求填写最后结果，每小题填对得 3 分）分） 13已知 a+1，b1，则 a3bab3 4 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可 解：a+1，b1， a+b（+1）+（1）2，ab（+1）（1）2，ab（+1）（1）1， a3bab3ab（a2b2）ab（a+b）（ab）4， 故答案为：4 14如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则1 65 度 【分析】根据两直线平行内错角相等，以及折叠关系列出方程求解则可 解：根据题意得 21 与 130角相等， 即 21130， 解得165 故填 65 15按一定规律排列的一列数依次为 2，5

25、，10，17，26，37，按此规律排列下去，这列数中的第 20 个数是 401 【分析】 根据题目中的数字， 可以发现这列数的符号一正一负的出现， 数字是 12+1、 22+1、 32+1、 42+1， ，从而可以写出第 n 个数的表达式 解：一列数依次为：2，5，10，17，26， 这列数的第 n 个数为：（1）n+1（n2+1）， 则第 20 个数为：（1）20+1（202+1）401 故答案为：401 16如图，在以 AE 为直径的O 中，过点 A 作A30，交O 于点 B，已知 AB8，点 C 为 AB 的中点，连接 EC，则 EC 【分析】连接 BE，OC，则 OCAB，ACBC4，

26、解直角三角形得到 OA，OC，根据三角形中位线定理得到 BE，再利用勾股定理即可求解 解：连接 BE，OC， 点 C 为 AB 的中点，AB8， OCAB，ACBC4， 在AOC 中，A30，ACO90， OA， OCOA， OAOE，ACBC， OCBE，OCBE， BE， AE 为O 的直径， ABE90， EC， 故答案为： 17如图，将ABC 绕 A 点逆时针旋转 60得到ADE，若BCD118，则CDE 58 【分析】延长 AC 到 F，根据三角形的外角定理证得BCDBAC+B+CAD+ADC，由旋转的性质得到BACDAE，BADE，BADCAE60，由等式的性质即可求出CDE 解：

27、延长 AC 到 F， BCFBAC+B，DCFCAD+ADC， BCDBAC+B+CAD+ADC118， 将ABC 绕 A 点逆时针旋转 60得到ADE， ABCADE， BACDAE，BADE，BADCAE60， CAD+ADC+DAE+ADE118， 即CAE+CDE118， CDE1186058， 故答案为：58 18商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价 a、最高销售限价 b（ba）以及实数 x（0 x1）确定实际销售价格 ca+x（ba），这里，x 被称为乐观系数经验表明，最佳乐观系数 x 恰好使得（ca）是（bc）和（ba）的比例中项，据此可得，最佳

28、乐观系数 x 的值等于 【分析】根据题设条件，由，知x（ba）2（ba）2x（ba）2，由此能求出最佳乐观系数 x 的值 解：cax（ba），bc（ba）x（ba）， x（ba）2（ba）2x（ba）2， x2+x10， 解得 x， 0 x1， 故答案为： 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 66 分分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19为落实德州市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开展了四门校本课程供学生选择：A趣味数学；B博乐阅读；C快乐英语；D硬笔书法全校共有 100 名学生选择了 A 课程

29、，为了解选 A 课程学生的学习情况，从这 100 名学生中随机抽取了 30 名学生进行测试将他们的成绩（百分制）绘制成频数分布直方图 （1）其中 70 x80 这一组的数据为 74，73，72，75，76，76，79，则这组数据的中位数是 75 ，众数是 76 （2）根据题中信息，估计该校共有 500 人，选 A 课程学生成绩在 80 x90 的有 30 人 （3）课程 D 在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为 108 （4）如果学校规定每名学生要选两门不同的课程，小张和小王在选课程中，若第一次都选了课程 C，那么他俩第二次同时选课程 A 或 B 的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说

30、明 【分析】（1）由中位数和众数的定义求解即可； （2）由选择 A 课程学生人数除以所占百分比得出该校总人数，再由选 A 课程学生人数乘以成绩在 80 x90 所占的比例即可； （3）由 360乘以课程 D 在扇形统计图中所占的百分比即可； （4）画树状图，共有 9 种等可能的结果，小张和小王他俩第二次同时选课程 A 或 B 的结果有 2 种，再由概率公式求解即可 解：（1）把 70 x80 这组的数据排序为：72，73，74，75，76，76，79， 则这组数据的中位数是 75，众数是 76， 故答案为：75 76； （2）估计该校共有：10020%500（人）， 选 A 课程学生成绩在 8

31、0 x90 的有：10030（人）， 故答案为：500，30； （3）课程 D 在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为：360（120%35%15%）108， 故答案为：108； （4）画树状图如下： 共有 9 种等可能的结果，小张和小王他俩第二次同时选课程 A 或 B 的结果有 2 种， 小张和小王他俩第二次同时选课程 A 或 B 的概率为 20某种型号油电混合动力汽车，从 A 地到 B 地，只用燃油行驶，需用燃油 76 元；从 A 地到 B 地，只用电行驶，需用电 26 元，已知每行驶 1 千米，只用燃油的费用比只用电的费用多 0.5 元 （1）若只用电行驶，每行驶 1 千米的费用是多少元？

32、 （2）若要使从 A 地到 B 地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过 39 元，则至少需用电行驶多少千米？ 【分析】（1） 设只用电行驶， 每行驶 1 千米的费用是 x 元， 则只用燃油行驶， 每行驶 1 千米的费用是 （x+0.5）元，根据 A，B 两地间的路程不变，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）利用 A，B 两地间的路程只用电行驶的总费用用电行驶 1 千米所需费用，可求出 A，B 两地间的路程，设用电行驶 m 千米，则用油行驶（100m）千米，根据从 A 地到 B 地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过 39 元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，

33、解之取其中的最小值即可得出结论 解： （1） 设只用电行驶， 每行驶 1 千米的费用是 x 元， 则只用燃油行驶， 每行驶 1 千米的费用是 （x+0.5）元， 依题意得：， 解得：x0.26， 经检验，x0.26 是原方程的解，且符合题意 答：只用电行驶，每行驶 1 千米的费用是 0.26 元 （2）A，B 两地间的路程为 260.26100（千米） 设用电行驶 m 千米，则用油行驶（100m）千米， 依题意得：0.26m+（0.26+0.5）（100m）39， 解得：m74 答：至少需用电行驶 74 千米 21如图，在东西方向的海岸线上的两个码头 A 和 B 相距 54 海里，现有一货轮从

34、码头 B 出发沿正北方向航行 9 海里到达点 C 处，测得灯塔 D 在点 C 的北偏西 60方向上，已知灯塔 D 在码头 A 的北偏东 60方向，求此时货轮与灯塔 D 的距离 【分析】过点 D 作 DEAB，垂足为 E，过点 C 作 CFDE，垂足为 F，设 DFx，解直角三角形即可得到答案 解：过点 D 作 DEAB，垂足为 E，过点 C 作 CFDE，垂足为 F； 设 DFx 在 RtCDF 中，DCF30， ，CD2x， 由题意可得，四边形 FEBC 为矩形， FEBC9 海里， 在 RtADE 中，DAE30，DEDF+FEx+9， ， AB54 海里， 解得， ， 此时货轮与灯塔 D

35、 的距离为海里 22如图，O 是ABC 的外接圆，ABC45，OCAD，AD 交 BC 的延长线于点 D，AB 交 OC 于点E （1）求证：AD 是O 的切线； （2）若 AE10，BE6，求图中阴影部分的面积 【分析】（1）连接 OA，利用已知条件 OCAD 求证OAD90，即可求解； （2）根据已知条件可求证AECACB，利用相似三角形的线段比可求出半径，即可求解 【解答】（1）证明：连接 OA， AD/OC， AOC+OAD180， AOC2ABC24590， OAD90， OAAD， OA 是O 的半径， AD 是O 的切线； （2）AOCO 且AOC90， ACOCAO45， 即B

36、ACE， CAEBAC， AECACB， ， AC2AEAB10（10+6）160， AC4， AOCO4， 23目前，全国各地都在积极开展新冠肺炎疫苗接种工作，某生物公司接到批量生产疫苗任务，要求 5 天内加工完成 22 万支疫苗，该公司安排甲，乙两车间共同完成加工任务，乙车间加工过程中停工一段时间维修设备，然后提高效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止，设甲，乙两车间各自生产疫苗 y（万支）与甲车间加工时间 x（天）之间的关系如图 1 所示；未生产疫苗 w（万支）与甲车间加工时间 x（天）之间的关系如图 2 所示，请结合图象回答下列问题： （1）甲车间每天生产疫苗 2 万支，a 1

37、.5 （2）直接写出乙车间生产疫苗数量 y（万支）与 x（天）之间的函数关系式； （3）若 5.5 万支疫苗恰好装满一辆货车，那么加工多长时间装满第一辆货车？再加工多长时间恰好装满第三辆货车？ 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲车间每天生产疫苗的数量和 a 的值； （2）根据（1）中 a 的值和函数图象中的数据，利用分类讨论的方法可以求得乙车间生产疫苗数量 y（万支）与 x（天）之间的函数关系式； （3）根据图 2 中的信息，可以计算出加工多长时间装满第一辆货车，再加工多长时间恰好装满第三辆货车 解：（1）由图 1 可得， 甲车间每天生产疫苗：（2212）52（万支）， 由

38、图 2 可得， a2218.5212218.521.5， 故答案为：2，1.5； （2）当 0 x1 时，y1.5x； 当 1x2 时，y1.5； 当 2x5 时，设 y 与 x 的函数关系式为 ykx+b， ， 解得， 即当 2x5 时，y 与 x 的函数关系式为 y3.5x5.5， 由上可得，y； （3）由图 2 可得， 当 x2 时，生产的疫苗有 2216.55.5（万支）， 当 2x5 时，每天生产的疫苗有：16.5（52）5.5（万支）， 加工第 4 天时，可以装满第三辆车， 答：加工 2 天时装满第一辆货车，再加工 2 天恰好装满第三辆货车 24如图 1，平行四边形 ABCD 的对

39、角线 AC，BD 相交于点 O，CD 边的垂直平分线 EH 交 BD 于点 E，连接 AE，CE （1）过点 A 作 AFEC 交 BD 于点 F，求证：AFBF； （2）如图 2，将ABE 沿 AB 翻折得到ABE 求证：BECE； 若 AEBC，OE1，求 CE 的长度 【分析】（1）证明COEAOF（AAS），可得结论； （2）如图 2，过点 A 作 AF/EC 交 BD 于点 F再证明 BEAF，可得结论； 证明AEFBCE，推出，设 AFCEBFx，构建方程求解即可 【解答】（1）证明：如图 1 中， 四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC，OBOD AF/EC， CEOAFO，

40、FAOECO， COEAOF（AAS）， CEAF，OEOF， EDBF EH 垂直平分 CD， ECED AFBF； （2）证明：如图 2，过点 A 作 AF/EC 交 BD 于点 F 由（1）可知AOFCOE，AFBF， ABFBAF， 将ABE 沿 AB 翻折得到ABE， ABEABF， ABEBAF， BE/AF， 又AF/CE， BE/CE； 解：AE/BC， EABABC， 由翻折可知EABEAB， ABCEAB， AFBF， FABFBA， ABCFBAEABFAB， EBCEAF， AF/EC， AFECEB， AEFBCE， ， 设 AFCEBFx， OEOF1， EF2OE

41、2， ， ， CE1+ 25如图，抛物线 yax2+bx+4 经过点 A（2，0），点 B（4，0），与 y 轴交于点 C，过点 C 作直线 CDx 轴，与抛物线交于点 D，作直线 BC，连接 AC （1）求抛物线的函数表达式，并用配方法求抛物线的顶点坐标； （2）E 是抛物线上的点，求满足ECDACO 的点 E 的坐标； （3）点 M 在 y 轴上，且位于点 C 的上方，点 N 在直线 BC 上，点 P 为直线 BC 上方抛物线上一点，若以点 C，M，N，P 为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2） 分点 E 在直线 CD 上方的抛物线上和

42、点 E 在直线 CD 下方的抛物线上两种情况， 用三角函数求解即可； （3）分CM 为菱形的边和CM 为菱形的对角线，用菱形的性质进行计算 解：（1）抛物线 yax2+bx+c 的图象经过点 A（2，0），点 B（4，0）， 得， 解得， 抛物线解析式为 yx2+x+4， ， 抛物线的顶点坐标为； （2）如图 1， 设满足条件的点在抛物线上： 当点 E 位于直线 CD 下方时，过点 E 作 EF直线 CD，垂足为 F 则 F（t，4），CFt， 根据题意，当ECDACO 时，tanACOtanECD， 即， ， 解得 t10（舍去），t23， ； 当点 E位于直线 CD 上方时，过点 E作 E

43、F直线 CD，垂足为 F 则 F（s，4），CFs，EFs2+s+44s2+s， 根据题意，当ECDACO 时，tanACOtanECD， 即， ， 解得 s10（舍去），s21 ， 所以，点 E 的坐标为或； （3）CM 为菱形的边，如图 2， 在第一象限内取点 P，过点 P作 PNy 轴，交 BC 于 N，过点 P作 PMBC，交 y 轴于M， 四边形 CMPN是平行四边形， 四边形 CMPN是菱形， PMPN， 过点 P作 PQy 轴，垂足为 Q， OCOB，BOC90， OCB45， PMC45， 设点 P（m，m2+m+4）， 在 RtPMQ中，PQm，PMm， B（4，0），C（0

44、，4）， 直线 BC 的解析式为 yx+4， PNy 轴， N（m，m+4）， PNm2+m+4（m+4）m2+2m， mm2+2m， m0（舍）或 m42， 菱形 CMPN的边长为（42）44 CM 为菱形的对角线，如图 3， 在第一象限内抛物线上取点 P，过点 P 作 PMBC， 交 y 轴于点 M，连接 CP，过点 M 作 MNCP，交 BC 于 N， 四边形 CPMN 是平行四边形，连接 PN 交 CM 于点 Q， 四边形 CPMN 是菱形， PQCM，PCQNCQ， OCB45， NCQ45， PCQ45， CPQPCQ45， PQCQ， 设点 P（n，n2+n+4）， CQn，OQn+4， n+4n2+n+4， n0（舍）， 此种情况不存在 综上，菱形的边长为 44