2022年（新高考）全国普通高等学校招生统一考试数学模拟试题（含答案）

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1、2022 年新高考模拟试题年新高考模拟试题 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的目要求的. . 1.已知集合 A=22( , )1x yxy，B=( , )x yyx，则 AIB 中元素的个数为（ ） A3 B2 C1 D0 2.设i4 3iz ，则z （ ） A. 3 4i B. 3 4i C. 3 4i D. 34i 3.已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体

2、的体积为( ) A2 23 B4 23 C2 2 D4 2 4.若 是三角形的一个内角，且 tan 43，则 sin32 cos2 ( ) A.15 B15 C75 D75 5.过抛物线 x24y 的焦点 F 作直线，交抛物线于 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若 y1y26，则|P1P2|( ) A5 B6 C8 D10 6.已知单位向量 a，b，满足32aabrrr，且 a，b 的夹角为，则cos2的值为（ ） A63 B63 C33 D33 7.函数 f x在x0 x处导数存在若p：0fx0；q：x0 x是 f x的极值点，则( ) Ap是q的充分必要条件 Bp是q的充分条件

3、，但不是q的必要条件 Cp是q的必要条件，但不是q的充分条件 Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 8.已知椭圆 M：x2a2y2b21(ab0)，过 M 的右焦点 F(3,0)作直线交椭圆于 A，B 两点，若 AB 的中点坐标为(2,1)，则椭圆 M 的方程为( ) A.x29y261 Bx24y21 C.x212y231 Dx218y291 二、多项选择题：二、多项选择题：本本大大题共题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分

4、选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9.某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取 50 名学生的成绩作为样本， 得到频率分布表如下( ) 组号 分组 频数 频率 第一组 230，235) 8 0.16 第二组 235，240) 0.24 第三组 240，245) 15 第四组 245，250) 10 0.20 第五组 250，255) 5 0.10 合计 50 1.00 A表中位置的数据是 12 B表中位置的数据是 0.3 C在第三、四、五组中用分层抽样法抽取 6 名学生进行第二轮考核，则第三组抽取 2 人 D在第三、四、五组中用分层抽样法抽取的 6 名学生中录取 2

5、名学生，则 2 人中至少有 1 名是第四组的概率为 0.5 10.如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，G 是 EF 的中点。现在沿 AE，AF 及 EF把这个正方形折成一个空间图形，使 B，C，D 三点重合，重合后的点记为 H，下列说法正确的是( ) AAG平面 EFH BAH平面 EFH CHF平面 AEH DHG平面 AEF 11. 已知 a0，b0，且 a-b=1，则（ ） A.ea-eb1 B. ae-be1 C.914ab D.2log2a-log2b2 12. 在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，11ABAA，点P满足1BPBCBBuuu ruuu r

6、uuu r， 其中01，01，则（ ） A. 当=1 时，1AB P的周长为定值 B. 当=1 时，三棱锥1PABC的体积为定值 C. 当=12时，有且仅有一个点P，使得1APBP D. 当=12时，有且仅有一个点P，使得1AB 平面1AB P 三、填空题三、填空题:本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请将答案填在体重的横线上请将答案填在体重的横线上. 13.函数 f(x)3x26x 在区间a，b上的值域是9,3，则 ba 可取的一个是_.（答案不唯一） 14.已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2an2（nN+），则 S9 15. 若 tan

7、，tan 是方程 x22x40 的两根，则|tan（）| 16.如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，D 是 PC 的中点已知BAC2，AB2，AC23， PA2， 则三棱锥P-ABC的体积为_； 异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为_ 四、解答题四、解答题:本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且2nnSa （1）求 an； （2）定义x为取整数 x 的个位数，如1=1, 32=2, 143=3,，求a1+ a2+ a3+

8、a100的值 18. （12 分）2021 年春晚首次采用“云”传播，“云”互动形式，实现隔空连线心意相通，全球华人心连心“云团圆”，共享新春氛围，“云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式，某市随机抽取200 人对“云课堂”倡议的了解情况进行了问卷调查，记 Y 表示了解，N 表示不了解，统计结果如表所示： （表一） 了解情况 Y N 人数 140 60 （表二） 男 女 合计 Y 80 N 40 合计 （1）请根据所提供的数据，完成上面的 22 列联表（表二），并判断是否有 99%的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系； （2）用样本估计总体，将频率视为概率，在男

9、性市民和女性市民中各随机抽取 4 人，记“4 名男性中恰有 3人了解云课堂倡议”的概率为 P1，“4 名女性中恰有 3 人了解云课堂倡议”的概率为 P2，试求出 P1与 P2，并比较 P1与 P2的大小 附：临界值参考表的参考公式 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （22()()()()()n adbcab cd ac bd，其中 na+b+c+d） 19. （12 分）在函数 yf (x)的图象关于直线 x3对称，函数 yf (x)的图象关于点 P（6，0）对称，函数 yf (x)

10、的图象经过点 Q（23，1）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答 问题：已知函数 f（x）sinxcos+cosxsin（0，|2）最小正周期为 ，且_，判断函数 f（x）在（6，2）上是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时的 x 值；若不存在，说明理由 20.在如图所示的三棱柱中， 侧楞与底面垂直，=2，为等腰直角三角形，=4，、分别为，的中点， (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 111CBAABC 1BBABCABBCEFAB11CA/EFCCBB11CEFA 21.（12 分）已知点( 1,0)A ，(1,0)F，动点P满足2AP AFFPuuu v uuu vuu

11、u v (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)设点A B，为轨迹C上异于原点O的两点，且4(0)OAOBkkaa 若a为常数，求证：直线AB过定点M； 求轨迹C上任意一点Q到中的点M距离的最小值 22.（12 分）已知函数 f(x)(x1)exax2(e 是自然对数的底数) (1)讨论函数 f(x)的极值点的个数，并说明理由； (2)若对任意的 x0，f(x)exx3x，求实数 a 的取值范围 参考答案参考答案 1.B 解析：由题意得，圆221xy 与直线yx 相交于两点(1,1)，(-1,-1)，则ABI中有两个元素，故选 B 项 2.C 解析：由题意,得2434343341i iiizii

12、i.故选 C 项. 3.B 解析： 由题意知， 该几何体是以 2为底面半径， 2为高的两个同底圆锥组成的组合体， 则其体积 V213A B C E F A1 B1 C1 ( 2)2 24 23. 4.C 解析：由题意，tan sin cos 43，(0，)，故 sin 0，cos 0. 又 sin2cos21，所以 sin 45，cos 35. 因此，sin32 cos2 cos sin 75. 5.C 解析:过 P1作 P1M准线 l，垂足为 M，过 P2作 P2N准线 l，垂足为 N，由抛物线定义知|P1F|P1M|y11，|P2F|P2N|y21，所以|P1P2|P1F|P2F|y1y2

13、28。故选 C 项. 6.D 解析：a，b 是单位向量，且32aabrrr，232aa brr r，解得13a b r r， 1os3|c|a babr rrr，由0，得022，又2cos2cos12，cos02， 1 cos13cos2233.故选 D 项 7.C 解析：当0fx0 时，x0 x不一定是 f x的极值点，比如，3yx在x0 时， 0f 0，但在x0 的左右两侧 fx的符号相同， 因而x0 不是3yx的极值点 由极值的定义知，x0 x是 f x的极值点必有0fx0.综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件 8.D 解析：直线 AB 的斜率 k10231，设 A(x1，y1)，B

14、(x2，y2)，代入椭圆方程可得，x21a2y21b21，x22a2y22b21，两式相减，整理得2a21b20，又 c3，a2b2c2.联立解得 a218，b29.所以椭圆 M 的方程为x218y291，故选 D 项. 9.AB 解析：位置的数据为 50(815105)12，A 正确；位置的数据为1550 0.3，B 项正确；由分层随机抽样得，第三、四、五组参加考核的人数分别为 3，2，1，C 项错误；设上述 6 人为 a，b，c，d，e，f(其中第四组的两人分别为 d，e)，则从 6 人中任取 2 人的所有情况为 ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de

15、，df，ef，共 15 种记“2 人中到少有 1 名是第四组的”为事件 A，则事件 A 所含的基本事件的种数为 9.所以 P(A)915 35 ，故 2 人中至少有 1 名是第四组的概率为35 ，D 项错误故选 AB 项. 10. BC 解析:由题意可得，AHHE，AHHF。所以 AH平面 EFH，而 AG 与平面 EFH 不垂直,所以 B 项正确，A 项错误;又 HFHE，所以 HF平面 AHE，C 项正确。HG 与 AG 不垂直，因此 HG平面 AEF 错误，D 项错误.故选 BC 项. 11. ACD 解析解析: 由 a0，b0，且 a-b=1，得0ab，则11baabbbeeeeee，

16、0bQ，be1，又1 1e ，be（e-1）1，即 ea-eb1，故 A 项正确；令2,1ab，则ee211eab ，故 B 项错误； 9191991 01 024babaababababab，当且仅当9baab时等号成立，故 C 项正确； 22222222112logloglogloglo12g222logbabbbbbbab，当且仅当1bb，即1b时等号成立，故 D 项正确.故选 ACD 项 12.BD 解析:由题易知，点P在矩形11BCC B内部（含边界） 当1时，11=BPBCBBBCCCuuu ruuu ruuu r uuu ruuu u r，即此时P线段1CC，1AB P周长不是定

17、值，故 A 项错误； 当1时，1111=BPBCBBBBBCuuu ruuu ruuu r uuu ruuuu r，故此时P点轨迹为线段11BC，而11/BCBC，11/BC平面1ABC，则有P到平面1ABC的距离为定值，所以其体积为定值，故 B 项正确； 当12时，112BPBCBBuuu ruuu ruuur，取BC，11BC中点分别为Q，H，则BPBQQHuuu ruuu ruuur，所以 P 点轨迹为线段 QH，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，13,0,12A，0,0P,，10,02B，则13,0,12AP uuur，10,2BPuuu r，110AP BP uuur uuu r

18、，所以0或1故,H Q均满足，故 C项错误； 当12时，112BPBCBBuuu ruuu ruuur，取1BB，1CC中点为,M NBPBMMNuuu ruuuu ruuuu r，所以P点轨迹为线段MN设010,2Py，因为30,02A，所以031,22APy uuu r，13 1, 122AB uuur，所以00311104222yy ，此时P与N重合，故 D项正确故选 BD 项 13.3 解析：f(x)3x26x3(x1)23，顶点坐标为(1,3)，因为函数的值域是9,3，令3x26x9，可得 x1 或 x3.又因为函数 f(x)3x26x 图象的对称轴为 x1，且 f(1)3，所以 b

19、a 的取值范围为2,4，不妨可取 3. 14. 1022 解析解析: Sn2an2（nN+），当 n1 时，a1S12a12，所以 a12，当 n2 时，Sn12an12（nN+），两式相减可得 an2an2an1，整理得 an2an1，所以数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以 S992 1-21-2（）1022故答案为：1022 15. 2 53 解析：解析：因为 tan，tan 是方程 x22x40 的两根，所以 tan+tan2，tantan4，解得 tan1+5，tan15；或 tan15，tan1+5；所以 tan（）tantan1 tantan2 53，所以|tan（

20、）|2 53 16.334 43解析：ABCS2122323，故三棱锥P-ABC的体积为V 31ABCSPA31232334.如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则DEBC，所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在ADE中，DE2，AE2，AD2，则ADEcosADDEAEADDE22222222222243,即异面直线BC与AD所成角的余弦值为43. 111,12,1,22,2nnnnnS na naaSSnn 17.解：解： （1） 因为an是等比数列，1-1221aa ，所以12,nnanN； （2）a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，a5=6，a6=2，a7=4，a8

21、=8，a9=6，a10=2， 易知，从第二项起，是周期为 4 的数列， 所以 S100=1+24（2+4+8+6）+2+4+8=495 18. 解：（1）根据题意填写列联表，如下： 男 女 合计 Y 80 60 140 N 20 40 60 合计 100 100 200 根据表中数据，计算 2220040-20 60100 100 140 60（80）200219.5246.635， 对照临界值表知，有 99%的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系； （2）用样本估计总体，将频率视为概率，根据列联表得出男性了解“云课堂”倡议的概率为804=1005， 女性了解“云课堂”倡议的概率为6

22、03=1005，所以计算概率 P134C（45）315256625，概率 P234C（35）325216625，所以 P1P2 19.解：因为 f (x)sinxcos +cosxsin sin（x+）的周期 T，所以 2， 选函数 yf (x)sin（2x+）的图象关于直线 x3对称， 故23+2+k，kZ，即 k6，kZ， 因为|2，故 6，f（x）sin（2x6） ， 由 x（6，2）得 2x6（6，56） ， 当 2x62，即 x3时，函数取得最大值 1. 选函数 yf (x)的图象关于点 P（6，0）对称，故3+k，即 k3，kZ， 因为|2，故 3，f (x)sin（2x3） ，

23、当 2x32，即 x512 时，函数取得最大值 1； 选函数 yf (x)的图象经过点 Q（23，1） ， 则 f（23）sin（43+）1，所以 sin（+3）1， 所以 6，f (x)sin（2x+6） ， 当 2x+62，即 x6时，函数取得最大值 1，此时取不到最大值 20.解：(1)证明：如图所示，取的中点，连接， 则，又， ，且，四边形是平行四边形， ，而平面，平面. (2)由题设条件可知：，因此可建立如图所示的空间直角坐标系于是 (4,0,0), (0,4,0), (2,0,0), (2,2,1),故向量=(0,2,1), =(2,2,1),=(2,2,1).设平面的法向量为=(

24、,),平面的法向量为=(,),则 BCM1MBABEM/ABEM21ABFB /1ABFB2111/ FBEM1FBEM FEMB11/MBEF1MBCCBB11/EFCCBB11ABBCABEFFEFAFBFEAnxyzFEBmabcA B C E F A1 B1 C1 M 由得，令2，则=1，=0，=(0,1,2). 由得，令2，则=1，=2，=(2,1,2). =, 由两个法向量与的方向可得二面角的余弦值为. 15.解：(1)设,P x y，则1,APxyuuu v，1,FPxyuuu v，2,0AF uuu v， 由2AP AFFPuuu v uuu vuuu v，得222121xxy

25、，化简得24yx， 故动点 P 的轨迹 C 的方程为24yx. (2)设1122,A x yB x y，则12122212121216444OAOBy yy ykkyyx xy ya ，所以124yya . 设直线 AB 的方程为xmyn，代入24yx得2440ymyn， 从而1244yyna ，即na，故直线 AB 的方程为xmya， 所以直线 AB 过定点,0M a. 设 ,0Q x yx，则点 Q 到点 M 的距离d满足： 2222224dxayxaxax， 22222244xaxaxaa， 00FAnFEn02202zyxzyzyxn00FBmFEm02202cbacbcbammn,c

26、osmnmn594135nmCEFA35A B C E F A1 B1 C1 y x z 因为00 xa，故当20a即2a时，点 Q 到点 M 的距离的最小值为21a； 当20a即02a时，点 Q 到点 M 的距离的最小值a. 22.解：(1)f(x)xex2axx(ex2a) 当 a0 时，由 f(x)0 得 x0 得 x0， f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，f(x)有 1 个极值点； 当 0a0 得 x0， 由 f(x)0 得 ln (2a)x12时，由 f(x)0 得 xln (2a)， 由 f(x)0 得 0 x0 且 a12时，f(x)有 2 个极值点；当 a12时，f(x)没有极值点 (2)由 f(x)exx3x 得 xexx3ax2x0. 当 x0 时，exx2ax10，即 aexx21x对任意的 x0 恒成立 设 g(x)exx21x，则 g(x)x1exx1x2. 设 h(x)exx1，则 h(x)ex1. x0，h(x)0，h(x)在(0，)上单调递增， h(x)h(0)0，即 exx10， g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增， g(x)g(1)e2，ae2， 实数 a 的取值范围为(，e2