江苏省无锡市锡山区2020-2022学年九年级上期末考试数学试卷（含答案解析）

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1、江苏省无锡市锡山区江苏省无锡市锡山区 2020-2022 学年九年级上期末考试数学试卷学年九年级上期末考试数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 题，每题题，每题 3 分，满分分，满分 30 分 ）分 ） 1 （3 分）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） Ax23x0 Bx3y0 Cx2+1 D2x30 2 （3 分）tan45的值等于（ ） A B C1 D 3 （3 分）如图，点 A、B、C 都在O 上，若BOC64，则BAC 的度数为（ ） A64 B32 C26 D23 4 （3 分）积极行动起来，共建节约型社会！我市某居民小区 200 户家庭参加了节水行动，现统

2、计了 10 户家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表： 节水量/吨 0.5 1 1.5 2 家庭数/户 4 3 2 1 请你估计该 200 户家庭这个月节约用水的总量是（ ） A100 吨 B180 吨 C200 吨 D250 吨 5 （3 分）某班七个兴趣小组人数分别为 4，4，5，5，x，6，7，已知这组数据的平均数是 5，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A4，5 B4，4 C5，4 D5，5 6 （3 分）抛物线 yx24x+9 的顶点坐标是（ ） A （2，5） B （2，5） C （2，5） D （2，5） 7 （3 分）已知圆锥的底面圆半径为 2cm，母线长为 6cm，则

3、圆锥的侧面积是（ ） A12cm2 B16cm2 C20cm2 D24cm2 8 （3 分） 如图， 以线段 AB 为边分别作直角三角形 ABC 和等边三角形 ABD， 其中ACB90 连接 CD，当 CD 的长度最大时，此时CAD 的大小是（ ） A105 B90 C135 D120 9 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，AB10，BC8点 P 是边 AC 上一动点，过点 P 作 PQAB 交 BC 于点 Q，D 为线段 PQ 的中点，当 BD 平分ABC 时，AP 的长度为（ ） A B C D 10 （3 分）若 mina，b，c表示 a、b、c 三个数中的最小值，则当 x0

4、且 yminx2，x+2，7x时，y的最大值为（ ） A B4 C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 题，每题题，每题 2 分，共分，共 16 分 ）分 ） 11 （2 分）已知 2a3b，其中 b0，则 12 （2 分）在平面直角坐标系中，将函数 y（x1）2+3 的图象向右平移 1 个单位，得到图象的函数表达式是 13 （2 分）如图，正六边形 ABCDEF 边长为 2，若连接对角线 AC，则 AC 的长为 14 （2 分）某公司今年销售一种产品，1 月份获得利润 20 万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3 月份的利润比 1 月份的利润增加 4.2 万元，设该产品利润平均每

5、月的增长率为 x，则可列方程为 15 （2 分）如图，在方格纸中，随机选择标有序号中的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成轴对称图形的概率是 16 （2 分）如图，AB 为O 的弦，半径 OCAB，垂足为 D，如果 AB8cm，CD2cm，那么O 的半径是 cm 17 （2 分）如图的正方形网格中，ABC 的顶点都在格点上，则 tanACB 的值为 18 （2 分）在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，将四边形纸片 ABCD 沿过点 A 的直线折叠，使得点 B 落在 CD 上的点 Q 处折痕为 AP；再将PCQ，ADQ 分别沿 PQ，AQ 折叠，此时点 C，D落在 AP 上的同一点 R

6、 处当四边形 APCD 是平行四边形时，的值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 题，共题，共 84 分 ）分 ） 19 （8 分） （1）计算：2cos30+4sin30tan60； （2）解方程：x28x+30 20 （8 分）如图，在ABC 中，A90，正方形 DEFG 的边长是 6cm，且四个顶点都在ABC 的各边上，CE3cm （1）求证：BDGFEC； （2）求 BC 的长 21 （8 分）甲、乙两名同学分别从武汉日夜 、 大红包 、 吉祥如意三部电影中随机选择一部观看 （1）甲同学选择武汉日夜的概率是 ； （2）求甲、乙两名同学恰好选择同一部电影的概率 （请用“画树

7、状图”或“列表”等方法写出分析过程） 22 （6 分）某校随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查设计的问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正；答案选项为：A很少；B有时；C常常；D总是将调查结果的数据进行了整理、绘制成如图两幅不完整的统计图 请根据图中信息，解答下列问题： （1）填空：a %，b %； （2）请你补全条形统计图； （3）若该校有 2000 名学生，请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生各有多少名？ 23 （8 分）小红和爸爸绕着小区广场锻炼如图，在矩形广场 ABCD 边 AB 的中点 M 处有一座雕塑在某一时刻，小红到达点 P 处，爸爸到达点

8、Q 处，此时雕塑在小红的南偏东 45方向，爸爸在小红的北偏东60方向，若小红到雕塑的距离 PM30m，求小红与爸爸的距离 PQ （结果精确到 1m，参考数据：1.41，1.73，2.45） 24 （8 分）如图，O 是ABC 的外接圆，AB 是直径，作 ODBC 与过点 A 的切线交于点 D，连接 DC并延长交 AB 的延长线于点 E （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若 AE6，CE2，求线段 CE、BE 与劣弧 BC 所围成的图形面积 25 （8 分）在图 1、2 中，O 过了正方形网格中的格点 A、B、C、D，请你仅用无刻度的直尺分别在图 1、图 2、图 3 中画出一个满足下列条件

9、的P （1）顶点 P 在O 上且不与点 A、B、C、D 重合； （2）P 在图 1、图 2、图 3 中的正切值分别为 1、2 26 （10 分）2020 年是脱贫攻坚决胜年某地实施产业扶贫种植某种水果，其成本经过测算为 20 元 kg，投放市场后，经过市场调研发现，这种水果在上市的一段时间内的销售单价 p（元/kg）与时间 t（天）之间的函数图象如图，且其日销售量 y（kg）与时间 t（天）的关系是：y2t+120，天数为整数 （1）试求销售单价 p（元/kg）与时间 t（天）之间的函数关系式； （2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ （3） 在实际销售的前 20 天中， 公司决

10、定每销售 1kg 水果就捐赠 n 元利润 （n9） 给 “精准扶贫 “对象 现发现：在前 20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 t 的增大而增大，求 n 的取值范围 27 （10 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C，且过点 D（2，3） 点 P、Q 是抛物线 yax2+bx+c 上的动点 （1）求抛物线的解析式； （2）当点 P 在直线 OD 下方时，求POD 面积的最大值 （3）直线 OQ 与线段 BC 相交于点 E，当OBE 与ABC 相似时，求点 Q 的坐标 28 （10 分）问题探究 （1）如图 1，

11、AB 是半圆 O 的直径，AB8P 是上一点，且2，连接 AP，BPAPB 的平分线交 AB 于点 C，过点 C 分别作 CEAP、CFBP，垂足分别为 E、F求线段 CF 的长 问题解决 （2） 如图 2， 是某公园内 “青少年活动中心” 的设计示意图 已知O 的直径 AB70m， 点 C 在O 上，且 CACB在 AB 上任取一点 P，连接 CP 并延长，交O 于点 D，连接 AD、BD过点 P 分别作 PEAD、PFBD，垂足分别为 E、F按设计要求，四边形 PEDF 内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区 设 AP 的长为 x（m） ，阴影部分的面积为 y（m2）

12、 求 y 与 x 之间的函数关系式； 按照“青少年活动中心”的设计要求，发现当 AP 的长度为 30m 时，整体布局比较合理 当 AP30m 时，试求室内活动区（四边形 PEDF）的面积 江苏省无锡市锡山区江苏省无锡市锡山区 2020-2022 学年九年级上期末考试数学试卷学年九年级上期末考试数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 题，每题题，每题 3 分，满分分，满分 30 分 ）分 ） 1 （3 分）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） Ax23x0 Bx3y0 Cx2+1 D2x30 【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可 【解

13、答】解：A、它是一元二次方程，故此选项符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意； C、它是分式方程，不是整式方程，故此选项不合题意； D、未知数次数为 1，不是一元二次方程，故此选项不合题意； 故选：A 2 （3 分）tan45的值等于（ ） A B C1 D 【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案 【解答】解：tan451 故选：C 3 （3 分）如图，点 A、B、C 都在O 上，若BOC64，则BAC 的度数为（ ） A64 B32 C26 D23 【分析】利用圆周角定理求解即可 【解答】解：BACBOC，BOC64， BAC32， 故选：B 4 （3 分）积

14、极行动起来，共建节约型社会！我市某居民小区 200 户家庭参加了节水行动，现统计了 10 户家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表： 节水量/吨 0.5 1 1.5 2 家庭数/户 4 3 2 1 请你估计该 200 户家庭这个月节约用水的总量是（ ） A100 吨 B180 吨 C200 吨 D250 吨 【分析】先求出样本的平均数，再乘以总户数即可 【解答】解：抽查的 10 户家庭这个月节约用水的平均数为1（吨） ， 估计该 200 户家庭这个月节约用水的总量是 2001200（吨） ， 故选：C 5 （3 分）某班七个兴趣小组人数分别为 4，4，5，5，x，6，7，已知这组数据的平均

15、数是 5，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A4，5 B4，4 C5，4 D5，5 【分析】根据众数、算术平均数、中位数的概念，结合题意进行求解 【解答】解：这组数据的平均数是 5， 5， 解得：x4， 这组数据按照从小到大的顺序排列为：4，4，4，5，5，6，7， 则众数为：4， 中位数为：5 故选：A 6 （3 分）抛物线 yx24x+9 的顶点坐标是（ ） A （2，5） B （2，5） C （2，5） D （2，5） 【分析】将抛物线化为顶点式，即可得到该抛物线的顶点坐标 【解答】解：抛物线 yx24x+9（x2）2+5， 该抛物线的顶点坐标为（2，5） ， 故选：B 7 （3 分

16、）已知圆锥的底面圆半径为 2cm，母线长为 6cm，则圆锥的侧面积是（ ） A12cm2 B16cm2 C20cm2 D24cm2 【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则直接利用扇形的面积公式可计算出圆锥的侧面积 【解答】解：根据题意，圆锥的侧面积22612（cm2） 故选：A 8 （3 分） 如图， 以线段 AB 为边分别作直角三角形 ABC 和等边三角形 ABD， 其中ACB90 连接 CD，当 CD 的长度最大时，此时CAD 的大小是（ ） A105 B90 C135 D120 【分析】利用圆周角定理结合点到直线的距离确定出

17、 C 点在半圆中点时 CD 长度最大，进而得到答案 【解答】解：AB 长固定，ACB90， A、B、C 三点共圆，AB 的中点 O 为圆心， 则当 D、O、C 三点共线时，CD 的长度最大， 即当 C 点在 C点时，CD 长度最大，此时 ACBC， BAC45， 又ABD 为等边三角形， BAD60， CADCAB+BAD45+60105 故选：A 9 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，AB10，BC8点 P 是边 AC 上一动点，过点 P 作 PQAB 交 BC 于点 Q，D 为线段 PQ 的中点，当 BD 平分ABC 时，AP 的长度为（ ） A B C D 【分析】根据勾股定理

18、求出 AC，根据平行线的性质、角平分线的定义得到 QDBQ，证明CPQCAB，根据相似三角形的性质计算即可 【解答】解：设 BQx， 在 RtABC 中，C90，AB10，BC8， 由勾股定理得：AC6， BD 平分ABC， QBDABD， PQAB， QDBABD， QBDQDB， QDBQx， D 为线段 PQ 的中点， QP2QD2x， PQAB， CPQCAB， ，即， 解得：x，CP， APCACP， 故选：B 10 （3 分）若 mina，b，c表示 a、b、c 三个数中的最小值，则当 x0 且 yminx2，x+2，7x时，y的最大值为（ ） A B4 C D 【分析】用特殊值法

19、得出答案 【解答】解：方法一、x0 时，ymin0，2，70 当 x1 时，ymin1，3，61 当 x2 时，ymin4，6，54 当 x3 时，ymin9，11，44 当 x4 时，ymin16，6，33 当 x2.5 时，ymin6.25，4.5，4.54.5 y 的最大值是 方法二、由图象可得当 x时，y 有最大值7 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 题，每题题，每题 2 分，共分，共 16 分 ）分 ） 11 （2 分）已知 2a3b，其中 b0，则 【分析】根据比例的性质等式两边都除以 2b，即可得出答案 【解答】解：2a3b，b0， 除以 2b，得， 故答案

20、为： 12 （2 分）在平面直角坐标系中，将函数 y（x1）2+3 的图象向右平移 1 个单位，得到图象的函数表达式是 y（x2）2+3 【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则解答 【解答】解：将抛物线 y（x1）2+3 的图象向右平移 1 个单位后所得新抛物线的表达式为 y（x11）2+3，即 y（x2）2+3 故答案是：y（x2）2+3 13 （2 分）如图，正六边形 ABCDEF 边长为 2，若连接对角线 AC，则 AC 的长为 【分析】作 BGAC，垂足为 G构造等腰三角形 ABC，在直角三角形 ABG 中，求出 AG 的长，再乘二即可 【解答】解：作 BGAC，垂足为 G ABBC

21、， AGCG， ABC120， BAC30， AGABcos302， AC22 故答案为 2 14 （2 分）某公司今年销售一种产品，1 月份获得利润 20 万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3 月份的利润比 1 月份的利润增加 4.2 万元，设该产品利润平均每月的增长率为 x，则可列方程为 20（1+x）220+4.2 【分析】根据该公司销售该种产品 1 月份及 3 月份获得的利润，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 【解答】解：依题意得：20（1+x）220+4.2， 故答案为：20（1+x）220+4.2 15 （2 分）如图，在方格纸中，随机选择标有序号中的一个小正方形涂黑，与

22、图中的阴影部分构成轴对称图形的概率是 【分析】直接利用轴对称图形的性质结合概率公式得出答案 【解答】解：只有将中的一个小正方形涂黑，图中的阴影部分才构成轴对称图形， 故图中的阴影部分构成轴对称图形的概率为： 故答案为： 16 （2 分）如图，AB 为O 的弦，半径 OCAB，垂足为 D，如果 AB8cm，CD2cm，那么O 的半径是 5 cm 【分析】连接 OA，先由垂径定理得 ADBD4（cm） ，设O 的半径为 rcm，则 OD（r2）cm，然后在 RtAOD 中，由勾股定理得出方程，解方程即可 【解答】解：连接 OA，如图所示： 半径 OCAB，AB8cm， ADBDAB4（cm） ，

23、设O 的半径为 rcm，则 OD（r2）cm， 在 RtAOD 中，由勾股定理得：42+（r2）2r2， 解得：r5， 即O 的半径为 5cm， 故答案为：5 17 （2 分）如图的正方形网格中，ABC 的顶点都在格点上，则 tanACB 的值为 【分析】如图，过点 A 作 AHBC 于 H利用面积法求出 AH，再利用勾股定理求出 BH，CH，可得结论 【解答】解：如图，过点 A 作 AHBC 于 H AB2，BC5， SABC24BCAH， AH， BH， CHBCBH5， tanACB， 故答案为： 18 （2 分）在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，将四边形纸片 ABCD 沿过点

24、 A 的直线折叠，使得点 B 落在 CD 上的点 Q 处折痕为 AP；再将PCQ，ADQ 分别沿 PQ，AQ 折叠，此时点 C，D落在 AP 上的同一点 R 处当四边形 APCD 是平行四边形时，的值为 【分析】 由折叠的性质可得BAQP， DAQQAPPAB， DQAAQR， CQPPQR，DARQ，CQRP，由平角的性质可得D+C180，AQP90，可证 ADBC，由平行线的性质可得DAB90，由平行四边形和折叠的性质可得 ARPR，由直角三角形的性质可得 AP2PB2QR，ABPB，即可求解 【解答】解：由折叠的性质可得：BAQP，DAQQAPPAB，DQAAQR，CQPPQR，DARQ

25、，CQRP， QRA+QRP180， D+C180， ADBC， B+DAB180， DQR+CQR180， DQA+CQP90， AQP90， BAQP90， DAB90， DAQQAPPAB30， 由折叠的性质可得：ADAR，CPPR， 四边形 APCD 是平行四边形， ADPC， ARPR， 又AQP90， QRAP， PAB30，B90， AP2PB，ABPB， PBQR， ， 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 题，共题，共 84 分 ）分 ） 19 （8 分） （1）计算：2cos30+4sin30tan60； （2）解方程：x28x+30 【分析】 （1）

26、根据特殊角的三角函数值分别进行计算，再把所得的结果合并即可； （2）利用配方法求解即可 【解答】解： （1）原式2+4 +2 2； （2）x28x+30， x28x3， x28x+163+16，即（x4）213， x4， x14+，x24 20 （8 分）如图，在ABC 中，A90，正方形 DEFG 的边长是 6cm，且四个顶点都在ABC 的各边上，CE3cm （1）求证：BDGFEC； （2）求 BC 的长 【分析】 （1）由相似三角形的判定可得出答案； （2）由相似三角形的性质可得出，则可得出答案 【解答】 （1）证明：四边形 EFGD 是正方形， DEEFDG6cm，GDEDEF90，

27、BDGCEF90， B+C90，C+CFE90， BCFE， BDGFEC； （2）解：BDGFEC， ， EFDG6，CE3， ， 解得 BD12， BCBD+DE+EC12+6+321（cm） 21 （8 分）甲、乙两名同学分别从武汉日夜 、 大红包 、 吉祥如意三部电影中随机选择一部观看 （1）甲同学选择武汉日夜的概率是 ； （2）求甲、乙两名同学恰好选择同一部电影的概率 （请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【分析】 （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可 【解答】解： （1）甲同学选择武汉日夜的

28、概率是， 故答案为：； （2） 武汉日夜 、 大红包 、 吉祥如意三部电影分别用 A、B、C 表示，列树状图如下： 共有 9 种等可能的情况数，其中甲、乙两名同学恰好选择同一部电影的有 3 种， 则甲、乙两名同学恰好选择同一部电影的概率是 22 （6 分）某校随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查设计的问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正；答案选项为：A很少；B有时；C常常；D总是将调查结果的数据进行了整理、绘制成如图两幅不完整的统计图 请根据图中信息，解答下列问题： （1）填空：a 12 %，b 36 %； （2）请你补全条形统计图； （3）若该校有 2000 名学生，请你估计其

29、中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生各有多少名？ 【分析】 （1）首先计算出抽查的学生总数，然后再计算 a、b 的值即可； （2）计算出“常常”所对的人数，然后补全统计图即可； （3）利用样本估计总体的方法计算即可 【解答】解： （1）调查总人数：4422%200（人） ， a100%12%， b100%36%， 故答案为：12，36； （2） “常常”所对的人数：20030%60（人） ， 补全统计图如图所示： ； （3）200030%600（人） ， 200036%720（人） ， 答： “常常”对错题进行整理、分析、改正的有 600 人， “总是”对错题进行整理、分析、改

30、正的有 720人 23 （8 分）小红和爸爸绕着小区广场锻炼如图，在矩形广场 ABCD 边 AB 的中点 M 处有一座雕塑在某一时刻，小红到达点 P 处，爸爸到达点 Q 处，此时雕塑在小红的南偏东 45方向，爸爸在小红的北偏东60方向，若小红到雕塑的距离 PM30m，求小红与爸爸的距离 PQ （结果精确到 1m，参考数据：1.41，1.73，2.45） 【分析】作 PNBC 于 N，则四边形 ABNP 是矩形，得 PNAB，证出APM 是等腰直角三角形，得 AMPM15m，则 PNAB2AM30m，在 RtPNQ 中，由含 30角的直角三角形的性质得NQPN10m，PQ2NQ49m 即可 【解

31、答】解：过点 P 作 PNBC 于 N，如图， 则四边形 ABNP 是矩形， PNAB， 四边形 ABCD 是矩形， A90， APM45， APM 是等腰直角三角形， AMPM3015（m） ， M 是 AB 的中点， PNAB2AM30m， 在 RtPNQ 中，NPQ90DPQ906030， NQPN10m，PQ2NQ2049（m） ； 答：小红与爸爸的距离 PQ 约为 49m 24 （8 分）如图，O 是ABC 的外接圆，AB 是直径，作 ODBC 与过点 A 的切线交于点 D，连接 DC并延长交 AB 的延长线于点 E （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若 AE6，CE2，求线段

32、 CE、BE 与劣弧 BC 所围成的图形面积 【分析】 （1）由题意可证ADOCDO，可得DCODAO90，即可证 DE 是O 的切线； （2）由题意可证CBEACE，可求 BE 的长，AB 的长，OB 的长，OC 的长，根据锐角三角函数可求COB60， 根据线段 CE、 BE 与劣弧 BC 所围成的图形面积COE 的面积扇形 OBC 的面积可求解 【解答】证明： （1）连接 OC AD 是O 的切线 DAO90 OCOB OBCOCB ODBC DOCOCB，DOAOBC DOADOC 且 AOCO，DODO ADOCDO（SAS） DCODAO90 DCO90，OC 是半径 DE 是O 的

33、切线 （2） DE 是O 的切线，BC 是弦 ECBCAB，且CEACEA CBEACE 即 BE2 ABAEBE BA4 OB2AOOC OE4 sinCOE COE60 线段 CE、BE 与劣弧 BC 所围成的图形面积222 25 （8 分）在图 1、2 中，O 过了正方形网格中的格点 A、B、C、D，请你仅用无刻度的直尺分别在图 1、图 2、图 3 中画出一个满足下列条件的P （1）顶点 P 在O 上且不与点 A、B、C、D 重合； （2）P 在图 1、图 2、图 3 中的正切值分别为 1、2 【分析】如图 1 中，P 即为所求； 如图 2 中，P 即为所求； 如图 3 中，EPC 即为

34、所求； 【解答】解：如图 1 中，tanP1 理由：PDOC45， tanP1 P 即为所求； 如图 2 中，tanP 理由：PFAC， tanPtanFAC P 即为所求 如图 3 中，tanEPC2 理由：EFAC，PE 是直径， FAC+AFC90，E+EPC90， AFCEPC，tanEPCtanAFC2 EPC 即为所求； 26 （10 分）2020 年是脱贫攻坚决胜年某地实施产业扶贫种植某种水果，其成本经过测算为 20 元 kg，投放市场后，经过市场调研发现，这种水果在上市的一段时间内的销售单价 p（元/kg）与时间 t（天）之间的函数图象如图，且其日销售量 y（kg）与时间 t（

35、天）的关系是：y2t+120，天数为整数 （1）试求销售单价 p（元/kg）与时间 t（天）之间的函数关系式； （2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ （3） 在实际销售的前 20 天中， 公司决定每销售 1kg 水果就捐赠 n 元利润 （n9） 给 “精准扶贫 “对象 现发现：在前 20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 t 的增大而增大，求 n 的取值范围 【分析】 （1）利用待定系数法求解析式； （2）设日销售利润为 w 元，分别求出分段函数的中 w 的最大值，即可求解； （3） 先求出每天扣除捐赠后的日销售利润与时间 t 的关系式， 由二次函数的性质列出不等式组，

36、可求解 【解答】解： （1）当 0t40 时，设销售单价 p（元/kg）与时间 t（天）之间的函数关系式为 pkt+30， 4040t+30， t， pt+30， 当 t40 时，p40， 综上所述：p； （2）设日销售利润为 w 元， 当 0t40 时，w（p20） y（t+10） （2t+120）（t10）2+1250， 当 t10 时，w 有最大值为 1250 元， 当 t40 时，w（p20） y20（2t+120）40t+2400800， 第 10 天时，最大日销售利润为 1250 元； （3）w（p20n） （2t+120）t2+（2n+10）t+1200120n， a，对称轴为

37、x2n+10， 每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 t 的增大而增大， n9 27 （10 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C，且过点 D（2，3） 点 P、Q 是抛物线 yax2+bx+c 上的动点 （1）求抛物线的解析式； （2）当点 P 在直线 OD 下方时，求POD 面积的最大值 （3）直线 OQ 与线段 BC 相交于点 E，当OBE 与ABC 相似时，求点 Q 的坐标 【分析】 （1）函数的表达式为：ya（x+1） （x3） ，将点 D 坐标代入上式，即可求解； （2）SPODOG（xDxP）（3+2m） （

38、2m）m2+m+3，即可求解； （3）分ACBBOQ、BACBOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线 OQ 倾斜角，进而求解 【解答】解： （1）函数的表达式为：ya（x+1） （x3） ，将点 D 坐标代入上式并解得：a1， 故抛物线的表达式为：yx22x3； （2）设点 P（m，m22m3） ， 当点 P 在第三象限时， 设直线 PD 与 y 轴交于点 G，设点 P（m，m22m3） ， 将点 P、D 的坐标代入一次函数表达式：ysx+t 并解得： 直线 PD 的表达式为：ymx32m，则 OG3+2m， SPODOG（xDxP）（3+2m） （2m）m2+m+3， 当点 P 在第

39、四象限时， 设 PD 交 y 轴于点 M， 同理可得：SPODOH（xDxP）m2+m+3， 综上，SPODm2+m+3， 10，故 SPOD有最大值，当 m时，其最大值为； （3）OBOC3， OCBOBC45， ABCOBE，故OBE 与ABC 相似时，分为两种情况： 当ACBBOQ 时， AB4，BC3，AC， 过点 A 作 AHBC 于点 H， SABCAHBCABOC，解得：AH2， 则 sinACB，则 tanACB2， 则直线 OQ 的表达式为：y2x， 联立并解得：x或， 故点 Q（，2）或（，2） ， BACBOQ 时， tanBAC3tanBOQ， 则点 Q（n，3n） ，

40、 则直线 OQ 的表达式为：y3x， 联立并解得：x， 故点 Q（，）或（，） ； 综上， 当OBE 与ABC 相似时， Q 的坐标为：（， 2） 或 （， 2） 或 （，）或（，） 28 （10 分）问题探究 （1）如图 1，AB 是半圆 O 的直径，AB8P 是上一点，且2，连接 AP，BPAPB 的平分线交 AB 于点 C，过点 C 分别作 CEAP、CFBP，垂足分别为 E、F求线段 CF 的长 问题解决 （2） 如图 2， 是某公园内 “青少年活动中心” 的设计示意图 已知O 的直径 AB70m， 点 C 在O 上，且 CACB在 AB 上任取一点 P，连接 CP 并延长，交O 于点

41、 D，连接 AD、BD过点 P 分别作 PEAD、PFBD，垂足分别为 E、F按设计要求，四边形 PEDF 内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区 设 AP 的长为 x（m） ，阴影部分的面积为 y（m2） 求 y 与 x 之间的函数关系式； 按照“青少年活动中心”的设计要求，发现当 AP 的长度为 30m 时，整体布局比较合理 当 AP30m 时，试求室内活动区（四边形 PEDF）的面积 【分析】 （1）连接 OP，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出ABP，根据三角函数的定义求出 AP、PB，根据角平分线的性质定理得到 CECF，根据三角形的面积公式计算即可； （2）

42、在 DF 上取点 A，使 FAEA，证明四边形 PEDF 是正方形，根据正方形的性质得到APE+BPF90，PEAPFB90，根据三角形的面积公式计算得出 y 与 x 之间的函数关系式； 根据勾股定理求出 AB，根据三角形的面积公式计算，得到答案 【解答】解： （1）如图 1，连接 OP， AB 是O 的直径，2， AOP18060， 由圆周角定理得：ABPAOP30， 在 RtAPB 中，ABP30，AB8， APAB4，PBABcosABP8cos304， CP 平分APB，CEAP，CFBP， CECF， SAPBSACP+SBCP， APBPAPCE+CFBP，即444CF+4CF，

43、解得：CF62； （2）AB 为O 的直径， ADB90， PEAD，PFBD， 四边形 PEDF 是矩形， CACB， ， ADCBDC， CD 平分ADB， PEAD，PFBD， PEPF， 矩形 PEDF 是正方形， APE+BPF90，PEAPFB90， 在 DF 上取点 A，使 FAEA， 则 RtAPERtAPF， APEAPF，APAPx， APF+BPF90，即APB90， SPAE+SBPFSAPBAPPBx（70 x） ， 在 RtACB 中，ACBCAB7035， SACBACBC35351225， ySPAE+SBPF+SACBx（70 x）+1225x2+35x+1225； 当 AP30m 时，AP30m，PBABAP703040（m） ， 在 RtAPB 中，由勾股定理得：AB50（m） ， SAPBAPPBABPF， 304050PF， 解得：PF24， S四边形PEDFPF2242576（m2） ， 当 AP30m 时室内活动区（四边形 PEDF）的面积为 576m2