2022年高考数学理科一轮复习《导数与函数的零点》基础练+能力练+真题练(含答案解析)
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1、 导数与函数的零点导数与函数的零点 一、单选题 1(2021 湖南高三其他模拟)已知函数 eaxf xx存在两个零点,则正数a的取值范围是( ) A0,2e B,2e C10,2e D1,2e 2(2021 辽宁高三月考)函数32( )f xxxxc的零点个数为( ) A1 B1或2 C2或3 D1或2或3 3(2021 河南高三月考(理)若函数( )lnxf xxexxa存在零点,则a的取值范围为( ) A(0,1) B1, C1 , ee D1( , ee 4(2020 全国高三专题练习)函数在区间(0,1)内的零点个数是 A0 B1 C2 D3 5(2020 绵阳市 四川省绵阳江油中学高
2、三月考)函数 1ln03f xxx x的零点个数为( ) A0 B1 C2 D3 6(2020 陕西西安市 高三月考(理)函数 3234f xxx的零点个数为( ) A0 B1 C2 D3 7(2020 辽源市田家炳高级中学校高二月考(理)若函数3( )12f xxxa有三个不同的零点,则实数a的取值范围是( ) A(, 8) B(,8) C 16,16 D( 16,16) 8 (2021 四川眉山市 仁寿一中高三其他模拟(理)函数 f x的定义域为1,4,部分对应值如下表,其导函数 yfx的图像如下图, x 1 0 2 3 4 f x 2 3 0 3 0 当01a时,函数 22222yfxa
3、f xaa的零点个数为( ) A4 B5 C6 D7 9(2021 山西高三一模(理)函数( )log1xaf xax(0a,且1a )有两个零点,则 a 的取值范围为( ) A(1,) B1e(1,)e Cee(1,) D1(1,)e 10 (2021 广东湛江市 高三二模) 已知函数 2 1 xf xx ea有三个零点, 则实数a的取值范围是 ( ) A20,e B40,e C220,e D240,e 11(2018 太原市 山西实验中学高三月考)若函数 22log5f xxax在区间-2,上有零点,则实数 a 的取值范围是( ) A(-,4) B(-,4 C(-4,4 D(-4,4) 1
4、2(2018 全国高考真题(理)已知函数33yxxc的图象与x轴恰有两个公共点,则c A2或 2 B9或 3 C1或 1 D3或 1 13(2019 全国高考(理)已知函数 22241xxf xxxee 有两个零点1x,2x,则12xx A2 B4 C5 D6 14 (2015 全国高考真题(理)设函数 (21)xf xexaxa,其中1a ,若存在唯一的整数0 x,使得0()0f x,则a的取值范围是( ) A3,12e B33,2e 4 C33,2e 4 D3,12e 15(2017 全国高考真题(理)已知函数211( )2()xxf xxxa ee 有唯一零点,则a A12 B13 C1
5、2 D1 16(2021 北京高考真题)已知函数( )lg2f xxkx,给出下列四个结论: 若0k ,则( )f x有两个零点; 0k ,使得( )f x有一个零点; 0k ,使得( )f x有三个零点; 0k ,使得( )f x有三个零点 以上正确结论得序号是_ 导数与函数的零点导数与函数的零点 一、单选题 1(2021 湖南高三其他模拟)已知函数 eaxf xx存在两个零点,则正数a的取值范围是( ) A0,2e B,2e C10,2e D1,2e 【答案】C 【分析】 函数零点即方程axex的解,2axex(0 x),取对数得2lnaxx,此方程有两个解,引入函数( )ln2g xxa
6、x,利用导数求得函数的单调性,函数的变化趋势,然后由零点存在定理可得结论 【详解】 显然(0)1f,( )eaxf xx有两个零点,即方程axex,2axex在(0,)上有两个解, 两边取对数得到2lnaxx,令( )ln2g xxax,1( )2g xax,( )g x在10,2a单调递增,在1,2a单调递减, 又当0 x时,( )g x ,当x 时,( )g x , 因为( )g x有两个零点,则11ln1022gaa , 解得12ea .所以正数a的取值范围是10,2e. 故选:C 【点睛】 关键点点睛:本题考查函数零点个数问题,解题关键是进行转化,函数零点转化为方程的解,对方程变形后,
7、引入新函数,再转化为利用导数确定函数的性质,结合零点存在定理求解 2(2021 辽宁高三月考)函数32( )f xxxxc的零点个数为( ) A1 B1或2 C2或3 D1或2或3 【答案】A 【分析】 首先求导判断函数的单调性,最后结合零点存在定理判断函数零点个数. 【详解】 因为函数32( )f xxxxc, 所以2( )321fxxx,因为4 1280 , 所以( )0fx , 从而32( )f xxxxc在 R 上单调递增, 又当x时,( )f x ,当x 时,( )f x , 由零点存在定理得:函数32( )f xxxxc有且只有一个零点. 故选:A. 【点睛】 函数零点的求解与判断
8、方法: (1)直接求零点:令 f(x)0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点 (2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间a,b上是连续不断的曲线,且 f(a) f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点 (3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点 3(2021 河南高三月考(理)若函数( )lnxf xxexxa存在零点,则a的取值范围为( ) A(0,1) B1, C1 , ee D1( , ee 【答案】B 【分析】 函数 lnxf xxexxa 存在零点,即lnxx
9、exxa有根,构造同构的形式,利用换元法转化为taet,利用导数研究函数tyet tR的值域即可. 【详解】 方法一: 函数 lnxf xxexxa 存在零点,即lnxxexxa有根. 因为lnxx xxee,所以lnlnx xexxa有根. 设lntxx,则teta ,即taet tR 令tyet tR,则1tye, 当0 x时,0y ,所以tyet在0 ,上单增; 当0 x时,0y,所以tyet在0,上单减; 所以当=0 x时,y 有最小值 1.要使taet有解,只需1a . 故选:B. 方法二: 11( )1(1)()xxxfxexexexx 因为0 x,所以10 x .令1( )xxe
10、x,因为( )g x在(0,)上单调递增, 所以00(0,), ()0 xg x,即00ln0 xx. 当0(0,)xx时, ( )0fx ;当0(,)xx时,( )0fx . 所以( )x在0(0,)x上单调递减,在0(,)x 上单调递增. 所以0min0000( )()ln1xf xf xx exxaa . 要使代( )f x存在零点,只需min( )0f x,即1a . 故选:B. 【点睛】 思路点睛:利用导数硏究函数零点或方程根,通常有三种思路: 利用最值或极值研究; 利用数形结合思想研究; 构造辅助函数硏究. 4(2020 全国高三专题练习)函数在区间(0,1)内的零点个数是 A0
11、B1 C2 D3 【答案】B 【解析】 2( )2 ln23,(0,1)( )0 xf xxfx在上恒成立,所以单调递增, (0)1 0, (1)1 0,ffQ故函数在区间(0,1)内的零点个数 1 个. 【考点定位】本题考查函数的单调性和函数的零点的判断,考查学生的分析判断能力 5(2020 绵阳市 四川省绵阳江油中学高三月考)函数 1ln03f xxx x的零点个数为( ) A0 B1 C2 D3 【答案】C 【分析】 首先求函数的导数,利用导数判断函数的单调性,以及结合零点存在性定理,判断选项. 【详解】 1103fxx,得3x , 当03x时, 0fx, f x单调递减,当3x 时,
12、0fx, f x单调递增, 31 ln30f , 1103f 22262033eef e, 所以函数 f x在1,3和23,e各有 1 个零点,所以共 2 个零点. 故选:C 6(2020 陕西西安市 高三月考(理)函数 3234f xxx的零点个数为( ) A0 B1 C2 D3 【答案】C 【分析】 先求导,令 0fx ,再根据极值点的正负进一步判断零点个数即可 【详解】 由 3223436f xxxfxxx ,令 0fx 得0 x或2x, 当 , 2 , 0,x 时, f x单调递增,当2,0 x 时,函数单调递减, 20,04ff,画出函数图像,如图所示: 故函数图像有两个零点 故选:
13、C 【点睛】 本题考查导数研究函数零点个数,属于基础题. 7(2020 辽源市田家炳高级中学校高二月考(理)若函数3( )12f xxxa有三个不同的零点,则实数a的取值范围是( ) A(, 8) B(,8) C 16,16 D( 16,16) 【答案】D 【分析】 首先利用导数求出函数( )f x的单调区间和极值,将函数3( )12f xxxa有三个不同的零点,转化为方程( )0f x 有三个不同的根.再列出不等式组,解不等式组即可得到答案. 【详解】 3( )12f xxxa,2( )3123(2)(2)fxxxx. 令( )0fx,解得12x ,22x . (, 2)x ,( )0fx,
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