5.5.1两角和与差的正弦余弦和正切公式 教学设计1
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1、 第五章第五章 三角函数三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 本节课选自 普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 本 (A 版) 第五章的5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式。本节的主要内容是由两角差的余弦公式的推导,运用诱导公式、同角三角函数的基本关系和代数变形,得到其它的和差角公式。让学生感受数形结合及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。 课程目标 学科素养 1.了解两角差的余弦公式的推导过程 2掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的 余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式 3 熟悉两角和与差的正弦
2、、余弦、正切公式 的灵活运用,了解公式的正用、逆用以及角的 变换的常用方法 4.通过正切函数图像与性质的探究,培养学生 数形结合和类比的思想方法。 a.数学抽象:公式的推导; b.逻辑推理:公式之间的联系; c.数学运算:运用和差角角公式求值; d.直观想象:两角差的余弦公式的推导; e.数学建模:公式的灵活运用; 教学重点:掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式 教学难点:两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用。 多媒体 教学过程 设计意图 核心教学素养目标 (一)创设问题情境 提出问题提出问题 .两角差的余弦公式两角差的余弦公式 如果已知任意角,的正弦
3、、余弦,能由此推出,的正弦、余弦吗? 下面,我们来探究 cos()与角,的正弦、 余弦之间的关系 不妨令 k,kZ 如图 5.5.1,设单位圆与 轴的正半轴相交于点 A(,),以 轴非负半轴为始边作角, 它们的终边分别与单位圆相交于点 (cos,sin), (cos,sin),P(cos(),sin()任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合,这一性质叫做圆的旋转对称性 连接 , AP 若把扇形 OAP,绕着点 O 旋转角,则点 A,P 分别与点 重合根据圆的旋转对称性可知, 与 重合,从而, 所以 AP 根据两点间的距离公式,得 ( ) + ( ) =( ) +( ) , 化简得:
4、( )= + 当 k (kZ)时,容易证明上式仍然成立 所以,对于任意角 , 有 ( )= + () 此公式给出了任意角 , 的正弦、余弦与其差角 的余弦之间的关系, 称为差角的余弦公式,简记作(). 典例解析典例解析 例 利用公式 ( )证明: 通过开门见山,提出问题,利用坐标法,推导两角差的余弦公式,培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。 通过对两角差的余弦公式的运用,发展学() ( - )= ; () ( - )= 证明: (1) ( - )= + =01 = (2) ( - )= + =(-1) 例例 已知 , ( , ), , 是第三象限角,求 ( )的值 解:由 , ( , ),
5、得 ( ) 又由 , 是第三象限角,得 ( ) 所以 ( )= + =( ) ( )+( ) ( )= 由公式 ( )出发 , 你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗? 下面以公式 ( )为基础来推导其他公式 例如 , 比较 ( ) 与 ( ) ,并注意到 与 之间的联系 : ( )则由公式 ( ) , 有 ( )= ( ) ( )+ ( )= 于是得到了两角和的余弦公式 , 简记作 C( ) ( )= 问题探究问题探究 上面得到了两角和与差的余弦公式 我们知道 , 用诱导公式五 ( 或六 ) 可以实现正弦 、 余弦的互化 你能根据 ( ) , ( ) 及诱导公式五 ( 或六 ) , 推导
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