5.4.2正弦函数余弦函数的性质 教学设计1
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1、 第五章第五章 三角函数三角函数 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 本(A 版) 第五章的 5.4.2 正弦函数、 余弦函数的性质。本节的主要内容是由正弦函数、余弦函数的图象,由先前学习函数的经验,通过 函数图像,观察总结函数性质,并应用函数性质解决问题。是学生对函数学习方法掌握情况的一次 大检阅。因此注意对学生研究函数方法的启发,本节的学习有着极其重要的地位。发展学生数学直 观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。 课程目标 学科素养 1.了解周期函数、周期、最小正周期的含义 2.掌握 ysin x(xR),y
2、cos x(xR)的周期性、奇偶性、单调性和最值 3.会求函数 yAsin(x)及 yAcos(x)的周期,单调区间及最值 4.通过作正弦函数与余弦函数的性质探究, 培 养学生数形结合和类比的思想方法。 a.数学抽象:函数性质的总结; b.逻辑推理:由正余弦函数性质解决 yAsin(x)的性质; c.数学运算:运用函数性质解决问题; d.直观想象:运用函数图像归纳函数性质; e.数学建模:正余弦函数的性质及应用; 教学重点: ysin x(xR),ycos x(xR)的周期性、奇偶性、单调性和最值 教学难点:会求函数 yAsin(x)及 yAcos(x)的周期,单调区间及最值 多媒体 教学过程
3、 设计意图 核心教学素养目标 (一)创设问题情境 提出问题提出问题 类比以往对函数性质的研究,你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质?观察它们的图象,你能发现它们具有哪些性质? 问题探究问题探究 根据研究函数的经验,我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大(小)值等另外,三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型,与此对应的性质是特别而重要的 观察正弦函数的图象,可以发现,在图象上,横坐标每隔 2 个单位长度,就会出现纵坐标相同的点,这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律实际上,这一点既可从定义中看出,也能从诱导公式 ( ) (kZ)中得到反映,即自变量 的值增加 2 整数倍时
4、所对应的函数值,与 所对应的函数值相等数学上,用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律 (二)问题探究 1.周期性周期性 一般地,对于函数 ( ) ,如果存在一个非零常数 T,使得当 取定义域内的每一个值时,都有 ( ) ( )那么函数 ( )就叫做周期函数(periodicfunction)非零常数 T 叫做这个函数的周期(period) 周期函数的周期不止一个例如,以及,都是正弦函数的周期事实上 ,且 ,常数 都是它的周期 如果在周期函数 ( )的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 ( )的最小正周期(minimalpositiveperiod) 根据上述定
5、义,我们有:正弦函数是周期函数, (kZ 且 k) 都是它的周期, 最小正周期是 类似地,余弦函数也是周期函数, (kZ 且 k)都是它的周期,最小正周期是 典例解析典例解析 例 2求下列三角函数的周期: (1) y3sinx,xR;(2)ycos 2x,xR;(3) ( ) xR; 通过对函数学习的回顾,提出研究正弦与余弦函数性质的方法,培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。 通过对正弦函数图像的分析,归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值,发展学生,直分析:通常可以利用三角函数的周期性,通过代数变形,得出等式 ( ) ( )而求出相应的周期对于(),应从余弦函数的周期性出发,通过代数变形得
6、出 ( ) ,xR;对于(),应从正弦函数的周期性出发,通过代数变形得出 ( ( ) )= ( ), xR; 【解】(1)xR? ,有 3sin(x)3sinx, 由周期函数的定义知,y3sinx 的周期为 2. (2)令2zx=,由xR,得zR,且cosyz=的周期为 2.即 因为 cos (z2)cosz,于是 cos(2x2)cos 2x, 所以 cos2(x)cos 2x,xR 由周期函数的定义知,ycos 2x 的周期为 . 令 ,由 得 Z 且 的周期为即周期为 2. 即, ( ) ,于是, ( ) ( ) 所以, ( ( ) ) ( ) 由周期函数的定义知,原函数的周期为 4.
7、回顾例的解答过程,你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗? 归纳总结归纳总结 求三角函数周期的方法: (1)定义法:即利用周期函数的定义求解 (2)公式法:对形如 yAsin(x)或 yAcos(x)(A, 是常数,A0,0)的函数,T2|. (3)图象法:即通过观察函数图象求其周期 2.奇偶性奇偶性 观察正弦曲线和余弦曲线 , 可以看到正弦曲线关于原点 犗 对称 , 余弦曲线关于 x 轴对称 这个事实 , 也可由诱导公式 ( )= ; ( )= 得到 所以正弦函数是奇函数 , 余弦函数是偶函数 知道一个函数具有周期性和奇偶性 , 对研究它的图象与性质有什么帮助 ? 观想象、数学抽象、数
8、学运算等核心素养; 做一做做一做 1(1)函数 f(x) 2sin 2x 的奇偶性为 ( ) A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数 (2)判断函数 f(x)sin34x32的奇偶性 【答案】 A 【解析】 (1)f(x)的定义域是 R,且 f(x) 2sin 2(x) 2sin 2xf(x),函数为奇函数 (2)f(x)sin34x32cos 34x,f(x)cos34x cos 34x, 函数 f(x)sin34x32为偶函数. 归纳总结归纳总结 1判断函数奇偶性应把握好的两个方面: 一看函数的定义域是否关于原点对称;二看 f(x)与 f(x)的关系 2对于三角函数奇偶
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