《5.5.2简单的三角恒等变换 教学设计1》由会员分享,可在线阅读,更多相关《5.5.2简单的三角恒等变换 教学设计1(7页珍藏版)》请在七七文库上搜索。
1、 第五章第五章 三角函数三角函数 5.5.2 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 本(A 版) 5.5.2 节简单的三角恒等变换属于新授课.本节的内容是简单的三角恒等变换,主要内容是利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中的应用,本节的内容都是用例题来展现的,通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等属性思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力。让学生感受数形结合及转化的思想方
2、法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。 课程目标 学科素养 1能用二倍角公式导出半角公式,体会其中的三角恒等变换的基本思想方法,以及进行简单的应用 2了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想方法,能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用 3体会知识之间的内在联系,培养学生的思考归纳能力,提高其思维灵活性. a.数学抽象:公式的应用; b.逻辑推理:公式之间的联系; c.数学运算:运用公式求值; d.直观想象:公式的灵活运用; e.数学建模:运用三角公式解决实际问题; 教学重点:体会其中的三角恒等变换的基本思想方法,
3、以及进行简单的应用 教学难点:了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想方法,能利用三角 恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用 多媒体 教学过程 设计意图 核心教学素养目标 (一)创设问题情境 提出问题提出问题 学习了和 ( 差 ) 角公式 、 二倍角公式以后 , 我们就有了进行三角恒等变换的新工具 ,从而使三角恒等变换的内容 、 思路和方法更加丰富 例例 试以 表示 , , 解:解: 是 的二倍角在倍角公式 中,以 代替 ,以 代替 , 得 , 所以 = , 在倍角公式 -1 中,以 代替 ,以 代替 , 得 -1, 所以 = , 将两个等式的
4、左右两边分别相除,得 = 例 7 的结果还可以表示为 sin21cos 2cos2_1cos 2_,tan2_ 1cos 1cos 并称为半角公式,符号由2所在的象限决定。 归纳总结归纳总结 因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会存在所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,所以进行三角恒等变换时,常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择适当的公式这是三角恒等变换的一个重要特点 例 求证: (1) ( ) ( ) , (2) 通过开门见山,提出问题,利用三角解决证明问题,培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。 通过对三角公式的灵活运用,发展学生,直观
5、想象、数学抽象、数学运算等核心素养; 通过对典型问题的分析解决,发展学生数学建模、逻辑推理,直观想象、数学抽象、数这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同? 证明:()因为 ( )= + ( )= 将以上两式的左右两边分别相加,得 ( )+ ( )= 即 ( ) ( ) (2)由(1)可得 ( )+ ( )= 设 , 把 , 代入,即得 如果不用()的结果,如何证明? 归纳总结归纳总结 例的证明用到了换元的方法如把 看作 , 看作 ,从而把包含 的三角函数式转化为 , 的三角函数式 或者, 把 看作 ,cos 看作 ,把等式看作 , 的方程,则原问题转化为解方程(组)求 它们都体现了化归思想
6、 例 求下列函数的周期,最大值和最小值: () ; () 分析:便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是 ( ) ,利用和角公式将其展开,可化为) 的形式反之,利用和(差)角公式,可将 转化为 ( ) 的形式,进而就可以求得其周期和最值了 解:(1) = 2( ) =2( )=2 ( ) 因此,所求周期为 2 ,最大值为,最小值为 你能说说这一步变形的理由吗? ()设 ( ) , 则 = 于是 学运算等核心素养; 于是 所以 =25. 取 A,则 , 由 ( ) 可知,所求周期为 2 ,最大值为 5,最小值为5 例 10 如图 5.5-2,已知 OPQ 是半径为,圆心角为 的扇形,C 是扇形弧
7、上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形记COP,求当角 取何值时,矩形 ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积 分析:要求当角取何值时,矩形 ABCD 的面积 S 最大, 可分二步进行. 找出 S 与之间的函数关系; 由得出的函数关系,求 S 的最大值. 解:在OBCRt中,cosOB,sinBC. 在OADRt中,360tanOADA, 所以, sin333333BCDAOA, 所以, sin33cosOAOBAB. 设矩形ABCD的面积为S,则 sin)sin33(cosBCABS )2cos1 (632sin21sin33cossin2 63)2cos212sin23(31632cos6
8、32sin21 63)62sin(31. 对于第二步求具体值,要首先确定变量的取值范围: 由 03, 得 52666. 所以当 262, 即6时,max133.663S 因此,当6时, 矩形ABCD的面积最大,最大面积为36. 注:注: (1)在求解最大值时,要特别注意 “03”这一隐含条件; (2)应用问题转化为数学问题,最后要回归到实际问题. 通过三角变换把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(x+)的函数,从而使问题得到简化。化归思想 三、当堂达标 1若 cos 23,(0,),则 cos 2的值为( ) A66 B66 C306 D306 【解析】 由题意知20,
9、2,cos 20,cos 21cos 2306. 【答案】 C 2已知 cos 35,32,2 ,则 sin 2等于( ) A55 B55 C45 D2 55 【解析】 由题知234, ,sin 20,sin 21cos 255. 【答案】 A 3已知 sin cos 54,则 sin 2 的值等于( ) A716 B716 C916 D916 【解析】 由 sin cos 54,(sin cos )212sin cos 1sin 22516,所以 sin 2916. 【答案】 C 4函数 y32sin 2xcos2x 的最小正周期为_ 通过练习巩固本节所学知识,巩固对三角公式运用,增强学生的
10、直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。 【解析】 y32sin 2xcos2x32sin 2x12cos 2x12sin2x612, 函数的最小正周期 T22. 【答案】 5求证:4sin cos222sin sin 2. 【证明】 法一:左边2sin 2cos222sin (1cos ) 2sin 2sin cos 2sin sin 2右边, 所以原式成立 法二:右边2sin 2sin cos 2sin (1cos ) 2sin 2cos2 24sin cos22左边, 所以原式成立 6、如图所示,要把半径为 R 的半圆形木料截成长方形,应怎样截取,才能使OAB 的周长最大? 【
11、精彩点拨】 设AOB 建立周长l 求l的最大值 【解答】 设AOB,OAB 的周长为 l, 则 ABRsin ,OBRcos , lOAABOBRRsin Rcos R(sin cos )R 2Rsin4R. 02,4434, l 的最大值为 2RR( 21)R,此时,42,即 4, 即当 4时,OAB 的周长最大 四、小结 1 知识: 如何采用两角和或差的正余弦公式进行合角,借助三角函数的相关性质求值.其中三角函数最值问题是对三角函数的概念、图像和性质,以及诱导公式、同角三角函数基本关系、和(差)角公式的综合应用,也是函数思想的具体体现. 如何科学的把实际问题转化成数学问题,如何选择自变量建立数学关系式;求解三角函数在某一区间的最值问题 学生根据课堂学习,自主总结知识要点,及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点; 2思想:本节课通过由特殊到一般方式把关系式sincosyaxbx化成sin()yAx的形式,可以很好地培养学生探究、归纳、类比的能力. 通过探究如何选择自变量建立数学关系式, 可以很好地培养学生分析问题、解决问题的能力和应用意识,进一步培养学生的建模意识来源:学科 五、作业 1. 课时练 2. 预习下节课内容
链接地址:https://www.77wenku.com/p-206085.html