4.5.3函数模型的应用 教学设计1
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1、 第五章第五章 函数函数的应用(的应用(二二) 4.5.3 函数模型的应用函数模型的应用 本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 本(A 版) 的第五章的 4.5.3 函数模型的应用。函数模型及其应用是中学重要内容之一,又是数学与生活实践相互衔接的枢纽,特别在应用意识日益加深的今天,函数模型的应用实质是揭示了客观世界中量的相互依存有互有制约的关系,因而函数模型的应用举例有着不可替代的重要位置,又有重要的现实意义。 本节课要求学生利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题,并对给定的函数模型进行简单的分析评价,发展学生数学建模、数学直观、数学抽象、逻辑推理的核心素养。 课程目标 学科
2、素养 1. 能建立函数模型解决实际问题 2.了解拟合函数模型并解决实际问题 3.通过本节内容的学习, 使学生认识函数模型的作用,提高学生数学建模,数据分析的能力 a.数学抽象:由实际问题建立函数模型; b.逻辑推理:选择合适的函数模型; c.数学运算:运用函数模型解决实际问题; d.直观想象:运用函数图像分析问题; e.数学建模:由实际问题建立函模型; f.数据分析:通过数据分析对应的函数模型; 教学重点:利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题 教学难点: 利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题,并对给定的函数模型进行简单的分析评价 多媒体 教学过程 设计意图 核心教学
3、素养目标 (一)创设问题情境 1常见函数模型 常用函数模型 (1) 一 次 函 数模型 ykxb(k,b 为常数,k0) (2) 二 次 函 数模拟 yax2bxc(a,b,c 为常数,a0) (3) 指 数 函 数模型 ybaxc(a,b,c 为常数,b0,a0 且 a1) (4) 对 数 函 数模型 ymlogaxn(m,a,n 为常数,m0,a0 且a1) (5) 幂 函 数 模型 yaxnb(a,b 为常数,a0) 2.建立函数模型解决问题的基本过程 (二)问题探究 我们知道 , 函数是描述客观世界变化规律的数学模型 , 不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画 面临一个实际问题 ,
4、该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢? 典例解析典例解析 例 3.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题 认识人口数量的变化规律 , 可以为制定一系列相关政策提供依据 早在 1978 年 , 英国经济学家马尔萨斯 ( T.R.Malthas ,1766 1834) 就提出了自然状 通过对常见函数模型的回顾,提出新的问题,提出运用函数模型分析解决实际问题,培养和发展数据分析、数学建模和数学抽象、直观想象的核心素养。 通过对具体问题的分析建模, 解模的过程,态下的人口增长模型 ,其中 t 表示经过的时间 , 表示 t 时的人口数 , r 表示人口的年平均增长率 下表 是 19501959 年我国的人口
5、数据资料 (1) 如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率 ( 精确到 0.0001), 用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型 , 并检验所得模型与实 际人口数据是否相符 ; (2) 如果按上表 的增长趋势 , 那么大约在哪一年我国的人口数达到 13 亿? 分析 : 用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型 , 就是要确定其中的初始量 和年平均增长率 r 解 :( 1) 设 19511959 年我国各年的人口增长率分别为 , 由 ( ) 可得 1951 年的人口增长率 0.0200 同理可得 , 0.0210, 0.0229 , 0.0250, 0.01
6、97 , 0.0223, 0.0276, 0.0222, 0.0154 于是 , 19511959 年期间 , 我国人口的年平均增长率为: ( ) 0.022 令 =55196, 则我国在 19501959 年期间的人口增长模型为 ,t N 根据表 中的数据画出散点图 , 并画出函数 (t N ) 发展学生数学建模、数据分析、逻辑推理,直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养; 的图象 由图 可以看出 , 所得模型与 19501959 年的实际人口数据基本吻合 事实上 , 我国 1989 年的人口数为 11.27 亿 , 直到 2005 年才突破 13 亿 对由 函数模型所得的结果与实际情况不符
7、 , 你有何看法 ? 因为人口基数较大 , 人口增长过快 , 与我国经济发展水平产生了较大矛盾 , 所以我国从 世纪 年代逐步实施了计划生育政策 因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件 , 自然就出现了依模型得到的结果 与实际不符的情况 例 4. 2010 年 ,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳 14 年代学检测 ,检测出碳 14 的残留量约为初始量的 55.2 , 能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的? 分析 : 因为死亡生物机体内碳 的初始量按确定的衰减率衰减 , 属于指数衰减 , 所以应选择函数 ( R , 且 ; , 且 )
8、建立数学模型 解 : 设样本中碳 的初始量为 , 衰减率为 ( 0 1), 经过 年后 , 残余量为 根据问题的实际意义 , 可选择如下模型 : ( ) ( R , 且 ; ; ) 由碳 的半衰期为 5730 年 , 得 ( ) = ,于是 ( ) ,所以 ( ) 由样本中碳 14 的残余量约为初始量的 55.2 可知 ,即 0.552k ( ) ,解得 由计算工具得 4912 通过对具体问题的分析建模, 解模的过程,发展学生数学建模、数据分析、逻辑推理,直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养; 因为 2010 年之前的 4912 年是公元前 2902 年 , 所以推断此水坝大概是公元前 29
9、02 年建成的 归纳总结归纳总结 规律方法 已知函数模型解决实际问题, 往往给出的函数解析式含有参数,需要将题中的数据代入函数模型,求得函数模型中的参数,再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值 典例解析典例解析 例 5.假设你有一笔资金用于投资 , 现有三种投资方案供你选择 , 这三种方案的回报如下 : 方案一 : 每天回报 40 元 ; 方案二 : 第一天回报 10 元 , 以后每天比前一天多回报 10 元 ; 方案三 : 第一天回报 0.4 元 , 以后每天的回报比前一天翻一番 请问 , 你会选择哪种投资方案? 问题中涉及哪些数量关系?问题中涉及哪些数量关系? 投资天数、回报金额
10、投资天数、回报金额 如何用函数描述这些数量关系?如何用函数描述这些数量关系? 分析 : 我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型 , 再通过比较它们的增长情况 , 为选择投资方案提供依据 解 : 设第 x 天所得回报是 y 元 , 则方案一可以用函数 y 40( ) 进行描述 ; 方案二可以用函数 y 10 x( )进行描述 ; 方案三可以用函数 ( ) 进行描述 三个模型中 , 第一个是常数函数 , 后两个都是增函数 要对三个方案作出选择 , 就要对它们的增长情况进行分析 我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况 三种方案每天回报表三种方案每天回报表 方案一的函数是常数函 数 ,
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