四川省凉山州2021-2022学年高三上学期第一次诊断性检测数学试题（文）含答案

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1、凉山州凉山州 2022 届高中毕业班第一次诊断性检测届高中毕业班第一次诊断性检测数学数学试卷试卷（文科）（文科） 第卷（选择题，共第卷（选择题，共 60 分）分） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）是符合题目要求的 ） 1已知集合2 2, 1,0,1,2,20ABx xx ，则AB I（ ） A 2, 1,2 B 2,1,2 C 1,0,1,2 D 2, 1,0,1 2盒中有 3 个大小相同的球，其中白球 2 个，黑球 1 个，从中任意摸出 2

2、 个，则摸出黑球的概率为（ ） A16 B13 C12 D23 3已知2i12iz，则复数 z 的虚部为（ ） Ai Bi C1 D1 4某网店对今年 11 月 11 日 9 时到 15 时的销售情况进行统计，销售额频率分步直方图如图所示，已知 11 时到 13 时的销售为 5 万元则 9 时到 11 时的销售额为（ ） A1.5 万元 B2 万元 C2.5 万元 D3 万元 5ABCV中，,2,33AACBC，则ABuuu r在ACuuu r方向上的投影为（ ） A12 B12 C32 D32 6设实数 x，y 满足32013xyxy，则目标函数2zxy的最大值是（ ） A1 B1 C6 D

3、6 7据统计，第 x 年某湿地公园越冬的白鹭数量 y（只）近似满足3log (1)ykx，观测发现第 2 年有越冬白鹭 1000 只，估计第 5 年有越冬白鹭(ln20.7,ln31.1)（ ） A1530 只 B1630 只 C1830 只 D1930 只 8已知双曲线222:14xyCb的离心率2 3e3，过焦点 F 作双曲线 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 M，则|MF （ ） A1 B2 23 C33 D2 33 9如图，A 是共享单车前轮外边沿上的一点，前轮半径为0.25m，若单车向右行进7.33m时（车轮无滑动） ，下列描述正确的是(3.14)（ ） A点 A 在前轮的左下位置，距

4、离地面约为0.125m B点 A 在前轮的右下位置，距离地面约为0.125m C点 A 在前轮的左上位置，距离地面约为0.375m D点 A 在前轮的右上位置，距离地面约为0.375m 10正项等比数列 na，若51a ，则“公比1q ”是“37aa的最小值为 2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条 C充要条件 D既不充分也不必要条件 11已知半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为 2，则半球的体积训（ ） A2 3 B2 6 C4 3 D4 6 12已知定义在 R 上的函数( )yf x满足下列三个条件： 当10 x 时，1( )2eexxf xx；

5、 (1)yf x的图象关于 y 轴对称； Rx ，都有(2)(2)f xfx 则2511,323fff的大小关系是（ ） A2511323fff B2115332fff C5211233fff D5112233fff 第卷（非选择题，共第卷（非选择题，共 90 分）分） 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13函数1( )ln1f xx的定义域为_ 14已知ABCV的面积是 36 3AB ACuuu r uuu r，则A_ 15已知椭圆22221(0)xyabab的两个焦点分别为12,F F，离心率2e2，点 P 为椭圆的上顶点，若12

6、PFFV的面积为 1，则右焦点2F的坐标为_ 16关于函数( )cos3sin(0)66f xxx有如下四个命题： 若( )f x的最小正周期为2，则2； 若2，则( )f x在区间57,66上单调递增； 当(41)()2kxkZ时，( )f x取得极大值； 若( )f x在区间,2上恰有一个极值点和一个零点，则322 其中所有真命题的序号是_ 三、解答题（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤共三、解答题（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤共 70 分）分） 17 （12 分）数列 na的前 n 项和21nnS （1）求数列 na的通项公式； （2）求数列2logna的前 n 项和nT

7、18 （12 分）某数学课题组针对高三学生掌握基本知识点的单位值 x 和“一诊”基础题目得分值 y 进行统计分析，所得统计数据如下表所示： x 35 55 75 95 y 20 30 35 55 （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程ybxa； （2）根据（1）中求出的线性回归方程，预测掌握基本知识点的单位值为 125 的得分值 （参考公式：1122211,nniiiiiinniiiixxyyx ynxybaybxxxxnx） 19 （12 分）图 1 是ABCV，26,2ACBCACB，D，E 分别是边,AC AB上两点，且3BCEDuuu ruuu r，

8、将AEDV沿ED折起使得3ADC，如图 2 （1）证明：图 2 中，ACED； （2）图 2 中，求三棱锥CABD的体积 20 （12 分）已知抛物线2:2(0)T xpy p，直线1ykx交 T 于 A，B 两点，且当1k 时，| 8AB （1）求 p 的值； （2） 如图， 抛物线 T 在 A， B 两点处的切线分别与 y 轴交于 C， D，AC和BD交于 G，0GCGDGEuuu ruuu ruuu rr 证明：存在实数，使得GEABuuu ruuu r 21 （12 分）已知函数( )e1xf xax （1）若ea ，求函数( )f x的单调区间； （2）若( )f x在(0,)上存在

9、零点0 x，证明：0ln2lnaxa 请考生在第请考生在第 22、23 两题中选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，作两题中选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy中，圆1C的参数方程为：1cos ,sinxy （为参数） ，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求圆1C的极坐标方程； （2）椭圆222:162xyC，射线:(0)6OM与圆1

10、C的交点为 O，P，与椭圆2C的交点为 Q，求线段PQ的长 23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数( ) |1|1|f xxx （1）求不等式( )0f x 的解集； （2）若0ab，证明：33( )ababf xba 参考答案及评分意见参考答案及评分意见 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1-5ADDBA 6-10BBDDC 11-12DA 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13(1,) 146 15(1,0) 16 三、解答题（共三、解答题（共 70 分）分） 17解： （1）21nnS 当1n

11、 时，11S ，即11a 2 分 当1n 时，1121nnS 112121nnnnSS 即122nnna，即12nna 5 分 显然当1n 时也满足 12nna 6 分 （2）由（1）知： 12nna 122loglog 21nnan 8 分 即：数列2logna是首项为 0，公差为 1 的等差数列 10 分 所以，数列2logna的前 n 项和(1)2nn nS 12 分 18解： （1）由题意得：355575952030355565,3544xy 4 分 41(3565)(2035)(5565)(3035)(7565)(3535)iiixxyy(9565)(5535)1100 422222

12、1(3565)(5565)(7565)(9565)2000iixx 41421110011200020iiiiixxyybxx 8 分 1133565204aybx 9 分 所以，y 关于 x 的线性回归方程为113240yx 10 分 （2）当125x 时，11312584620y 所以，掌握基本知识点的单位值为 125 的得分值为 68 12 分 19解： （1）由已知得：,DEAD DEDC 2 分 ADDCDIDE 平面ADC 4 分 AC 平面ADC ACDE 5 分 （2）在ADCV中，2,4,3ADDCADC 124sin2 323ADCS V 7 分 3BCEDuuu ruuu

13、 r，BCDE 又由（1）知，DE 平面ADC BC 平面ADC 9 分 112 332 333C ABDB ACDACDVVSBCV 12 分 20解： （1）将1yx代入22xpy得：2220 xpxp 1 分 设1122,A x yB x y，则12,x x为方程的两个根 则2480pp 12122 ,2xxp xxp 2 分 则22121212|2242 488ABxxxxx xpp 4 分 解得2p 或4p （舍）2p 5 分 （2）将1ykx代入24xy中得：2440 xkx 设22,44abA aB b则216160k 4 ,4abk ab * 对214yx求导得12yx ，则

14、T 在点 A 处的切线方程为：2()42aayxa 即224aayx 同理 T 在点 B 处的切线方程为：224bbyx 8 分 联立得24abxaby 由*式得2 ,1xk y 所以 G 点的坐标为(2 , 1)k 9 分 当0k ，即切线AC与BD交于 y 轴上一点(0, 1) 此时 C，D，G 重合，由0GCGDGEuuu ruuu ruuu rr 0GE uuu rr，又0AB uuu rr 存在0 使得GEABuuu ruuu r成立 10 分 当0k 时，切线AC与 y 轴交于点20,4aC 切线BD与 y 轴交于点20,4bD 由2222442()2128abababk 得 C，

15、D 的中点20, 21Mk 由0GCGDGEuuu ruuu ruuu rr得()2GEGCGDGM uuu ruuu ruuu ruuuu r 即GE GMuuu ruuuu r又212120GMkkkk 所以GMAB GMABuuuu ruuu r 又0AB uuu rr，所以存在实数使得GEABuuu ruuu r成立 综上，命题成立 12 分 21解： （1）当ae时，( )xfxee 2 分 由( )0fx，则1x ，由( )0fx，则1x ， 4 分 ( )f x在(,1)为减函数，在(1,)为增函数 5 分 （2）( )xfxea， 当0a 时，( )0fx在 R 为增函数 0(

16、0,), ( )(0)10 xf xfe ，则( )f x在(0,)上没有零点 7 分 当0a 时，( )0,ln ,( )0,lnfxxa fxxa， ( )f x在(,ln )a为减函数，在(ln ,)a 为增函数 (0)0f，且( )f x在(0,)上存在零点0 x 00lnax 1a 9 分 又2ln2(2ln )2 ln12 ln1(1)afaeaaaaaa 设2( )2 ln1(1)h aaaaa， 22(1)( )22ln2,( )20(1)ah aaah aaaaQ ( )h a在(1,)为增函数，( )(1)0h ah ( )h a在(1,)为增函数 ( )(1)0h ah，

17、0(2ln )0faf x ( )f x在(ln ,)a 为增函数，02lnxa 11 分 由知0ln2lnaxa 12 分 22 （1）由1cossinxy 得1cossinxy 则2222(1)cossin1xy， 即2220 xyx将cossinxy代入， 得2cos 5 分 （2）设12|,|OPOQ， 将22162xy化为极坐标方程为22612sin 代入6，解得12 7 分 把6代入2cos，得23 9 分 12|23PQ 10 分 23解（1）( )0f x 等价于 1 110 xxx 或11110 xxx 或1110 xxx 解得，01x或1x 综上，不等式得解集为0,) 5 分 （2）( ) |1|1| 1(1)(1)2f xxxxx 当且仅当1x 时取“=”号 ( )f x得最大值为 2 7 分 0ab( )2abf xab 又0ab330,0abba 333322abababbaba 9 分 当且仅当ab时等号成立 33( )ababf xba成立 10 分