安徽省淮北市2022届高三第一次模拟考试数学理科试题（含答案）

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1、秘密 启用前淮北市 2022 届高三第一次模拟考试试题卷理科数学注意事项：1答卷前， 考试务必将自己的姓名、 准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时， 选出每个小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号， 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3. 考试结束后， 将本答题卡交回一、选择题： 本题共 12 小题， 每小题 5 分， 共 60 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1.已知集合 A =x|y = lg(1 x)(， B =1,0,1(， 则 A B =A.1,0B. 0,1C.0,1D

2、.,12.已知复数 z 的共轭复数为 z， 若 z + z = 4,(z z)i = 2 （i 为虚数单位） ， 则 z =A.2 + iB. 2 iC. 2 + iD.2 i3.设 a,b R, “a b 0” 是 “ab 1” 的A.充分必要条件B. 充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.直线 3x 4y + 8 = 0 与圆 (x 1)2+ (y + 1)2= 16 的位置关系是A.相离B. 相交C. 相切D.不确定5.函数 f(x) =3x2cosxex ex的部分图象可能是A.B.C.D.6.已知角 的顶点在原点， 始边与 x 轴的正半轴重合， 终边经过点 P(

3、cos15sin15,cos15+sin15) ， 则 tan =A.2 ?3B. 2 +?3C.?6 ?2D.?37.在空间直角坐标系中， 已知 A(1, 1,1)， B(3,1,1)， 则点 P(1,0,2) 到直线 AB 的距离为A.?22B.?32C.?62D.?3数学 (理) 试题第 1 页 （共 4 页）8.下列说法正确的有A.两个随机变量的线性相关性越强， 则相关系数 r 的绝对值越接近于 0B. 若 X 是随机变量， 则 E(2X + 1) = 2E(X) + 1，D(2X + 1) = 4D(X) + 1C.已知随机变量 N(0,1)， 若 P( 1) = p, 则 P( 1

4、) = 1 2pD.设随机变量 表示发生概率为 p 的事件在一次随机实验中发生的次数， 则 D() 149.已知函数 f(x) 的定义域为 R， f(x + 2) 为奇函数， f(2x + 1) 为偶函数， 则A.f(2) = 0B. f(1) = 0C.f(1) = 0D.f(3) = 010. 已知 F 是椭圆 C：x2m+y215= 1 的右焦点， 点 A(2,3?52) 在 C 上， 直线 AF 与 y 轴交于点 B， 点 P 为 C 上的动点， 则# PA # PB 的最小值为A.514B.154C.134D.15411. 在平面四边形 ABCD 中, 已知 ABC 的面积是 ACD

5、 的面积的 2 倍. 若存在正实数 x,y 使得 AC =1x 4 AB +1 1y AD 成立, 则 2x + y 的最小值为A.1B. 2C. 3D.412. 半球内放三个半径为?3 的小球， 三小球两两相切， 并且与球面及半球底面的大圆面也相切， 则该半球的半径是A.1 +?3B.?3 +?5C.?5 +?7D.?3 +?7二、填空题： 本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分13.122+ 4log2?2+ log?24 =14.2x 1x+ 2y6展开式中的常数项是15. 关于函数 f(x) = sinx 与 g(x) = cosx 有下面四个结论:1函数 f(x) 的图像

6、可由函数 g(x) 的图像平移得到2函数 f(x) 与函数 g(x) 在2,上均单调递减3若直线 x = t 与这两个函数的图像分别交于 A,B 两点, 则 |AB| 14函数 f(x) g(x) 的图像关于直线 x = 4对称;其中正确结论的序号为(请写出所有正确结论的序号)16. 已知 n N, 函数 f(x) = x an+ 1lnx 在 x (n,n + 1) 有极值, 设 bn=“?an,其中“x为不大于 x 的最大整数, 记数列bn(的前 n 项和为Sn(, 则 S100=数学 (理) 试题第 2 页 （共 4 页）三、解答题： 本题共 6 小题， 共 70 分 解答应写出文字说明

7、、 证明过程或演算步骤17. （本题满分 10 分） 在 ABC 中, 已知 sinAsinB + cos2A = sin2B + cos2C,D 是 AB的中点.（）求角 C 的大小;（）若 AB = 2?3,CD =?7, 求 ABC 的面积.18. （本题满分 12 分） 已知数列 an 中， a1= 1,a2= 3, an+2= kan(k = 1),n N,a2+ a3,a3+ a4,a4+ a5成等差数列（）求 k 的值和 an 的通项公式；（）设 bn=log3a2n+1a2n,n N, 求数列 bn 的前 n 项和为 Sn19. （本题满分 12 分） 如图, 已知圆 O 的直

8、径 AB 长为 4 , 点 C 是圆弧上一点, BOC =45, 点 P 是劣弧AC 上的动点, D 点是另一半圆弧的中点, 沿直径 AB, 将圆面折成直二面角, 连接 OP、DP、CD.（）若 AB/ 面 PCD 时, 求 PC 的长;（）当三棱锥 P OCD 体积最大时, 求二面角 C PD O 正切值.（第 19 题图）数学 (理) 试题第 3 页 （共 4 页）20. （本题满分 12 分） 如图, 点 A、B、C 是周长为 3 cm 圆形导轨上的三个等分点, 在点A 处放一颗珠子, 规定： 珠子只能沿导轨顺时针滚动. 现投掷一枚质地均匀的骰子， 当掷出的点数是 3 的倍数时, 珠子滚

9、动 2 cm , 当掷出的点数不是 3 的倍数时, 珠子滚动1 cm ， 反复操作（）求珠子在 A 点停留时恰好滚动一周的概率;（）求珠子第一次在 A 点停留时恰好滚动两周的概率.ACB（第 20 题图）21. （本题满分 12 分） 已知双曲线 ：x2a2y2b2= 1(a 0,b 0) 过点 (4,13), 离心率为?14,直线 l： x = 9 交 x 轴于点 A, 过点 A 作直线交双曲线 于 M,N 两点.（）求双曲线 的标准方程;（）若 M 是线段 AN 的中点, 求直线 MN 的方程;（）设 P,Q 是直线 l 上关于 x 轴对称的两点, 直线 PM 与 QN 的交点是否在一条直

10、线上? 请说明你的理由.22. （本题满分 12 分） 设函数 f(x) = aex+ 2x + ab,(a,b R),f(x) 为函数 f(x) 的导函数.（）讨论函数 f(x) 的单调性并写出单调区间;（）若存在 a, 使得函数 f(x) 不存在零点, 求 b 的取值范围;（）若函数 g(x) = f(x)ab 有两个不同的零点 x1,x2x1 1.数学 (理) 试题第 4 页 （共 4 页）第第页页1淮北市淮北市 2022 届高三第一次模拟考试数学届高三第一次模拟考试数学理理科参考答案科参考答案（条件所致条件所致，不能现场研讨评分标准不能现场研讨评分标准，为保证阅卷同一尺度为保证阅卷同一

11、尺度，请严格执行答案所列评分标准请严格执行答案所列评分标准，其他解法，参照标准给分其他解法，参照标准给分！ ）一、选择题一、选择题题号题号1 12 23 34 45 56 67 78 89 9101011111212答案答案A AB BB BB BC CD DC CD DA AC CA AD D二、填空题二、填空题13.13.1014.14. -16015.15.16.16. 615三、三、解答题解答题17.解： （1）由题意得：CBABA222sinsinsinsinsin故222cbaab即abcba2222122cos222abababcbaC又），（0C3C5 5 分分（2）Cabba

12、ABcos2222abba3)(122又）（CACBCD21)2(41222CACBCACBCDabbaabbaCabba3)(41)(41)cos2(4172222228)(2abba由-得8ab32sin21CabSABC1010 分分18.(1)233445,aa aa aa成等差数列 34234534()aaaaaaaa即4253aaaa，得23(1)(1)a ka k第第页页2又321,3kaa，从而313aka3 3 分分所以1,21(*),2 (3*)3,kknnkkNank kN6 6 分分（2）由（1）得3212log3nnnnanba8 8 分分231123133333nn

13、nnSn231112133333nnnnnS两式相减，得23112111111(1)333333233nnnnnnnSNnnSnn，3432431212 分分19.(1)/ /AB平面,PCD AB 平面OPC且平面OPC 平面PCDPC/ /ABPC又45BOC，所以OPC为等腰直角三角形2 2PC5 5 分分(2)二面角CABD为直二面角，且,ODAB OD平面ABDOD平面OPC11 144sinsin33 233 P OCDD OPCOPCVVSODOP OC ODPOCPOC当90POC时等式成立 .此时,OP OC OD两两垂直，且长度相等设PD的中点为 E，则,PDEC PDEO

14、，CEO为二面角CPDO的平面角tan2OCCEOOE二面角CPDO的正切值为2.1212 分分20.解解： （1）设掷出 3 的倍数为事件M, 掷出不是 3 的倍数记为事件N,则12,33P MP N1 1 分分珠子恰好转一周回到 A 点包含的事件为（M,N）,(N,M),(N,N,N)且这三种情况互斥3 3 分分故所求概率为311221220( )( )( )( )( )3333327P 5 5 分分第第页页3（2）珠子滚两周回到 A 点，则必须经历以下三个步骤：A 至 C:此时概率为2127( )3397 7 分分C 至 B:掷出的必须是 3 的倍数，此时的概率为139 9 分分B 至

15、A:概率与相同1111 分分又以上三个步骤相互独立，故所求概率为271749=939243P 1212 分分21.解解 (1)(1) 由题意得:222161691,14,caaba22bc解得223,39ab, 所以双曲线的标准方程为221339xy.4 4 分分(2)(2) 方方法法 1 1：设00,N xy,则009,22xyM依题意有143943)9(139320202020yxyx解得0 x04,13y 6 6 分分所以直线 MN 的方程为9xy0或90 xy.8 8 分分方法方法 2 2： 设直线 MN 的方程为(9)yk x,与双曲线的方程221339xy联立得:222213188

16、1390kxk xk.当4223244 138139kkk 0时设1122,M x yN xy,得22121222188139,.1313kkxxx xkk 又因为2192xx,所以22293913kxk ,2222298139213xxkk ,解得21k 6 6 分分此时0 ,所以直线MN的方程为90 xy或90 xy.8 8 分分(3)(3) 方方法法 1：设(9, ),(9,)Pt Qt ,直线PM的方程为11(9)9ytytxx , 直线QN的方程为y 22(9)9yttxx,联立两方程,可得21212(9)99ytyttxxx第第页页4结合（2）方法 2, 可得212199ytytx

17、x2112211212991899981k xtk xtt xxxxx xxx代入得121212182(981xxxx xxx9),故222212122122813918292913131.181831813 kkx xxxkkxkxxk所以直线 P M 与 Q N 的交点在定直线x 13上.1212 分分方方法法 2 2 设直线MN的方程为9xmy,与双曲线的方程221339xy联立得:2213123410140.mymy设1122, (9, ),(9,)M x yN xyPt Qt , 由根与系数的关系, 得1212222341014,.131131myyy ymm PMl:11(9)9y

18、tytxx ,QNl:22(9)9ytytxx , 联立两方程,可得:t 2212112212112(9)(9)(9)99ytytytytyyxxt xxxmymymy y222343131(9)(9),101413131mmt xt xmm 解得13x 所以直线 PM 与 Q N 的交点在定直线x 13上1212 分分22.解 (1)(1)( )e2xfxa.当0a时,( )0fx, 函数( )f x的单调递增区间是(,) .当0a 时，令( )0fx,得2lnxa，令( )0fx, 得2ln.xa所以, 函数( )f x的单调增区间为2,lna，单调减区间是2ln,a.4 4 分分（2 2

19、）当0a时,由 (1) 知,( )f x的单调增区间是(,) ,第第页页5易知2e402ababfa.又| 402aab, 故可得| 42| 4e1|2aabaabfaab0ab又| 422aabab , 且函数( )f x的图像连续, 所以( )f x存在一个零点, 不满足题意.当0a 时, 因为44e02tabfa , 函数( )f x的图像不间断, 若存在0a , 使函数( )f x不存在零点, 则( )0f x 对任意xR恒成立.由(1)知,22 ( )ln2ln2maxf xfabaa0能成立, 即221 lnbaa 能成立令2ta, 则0,(1 ln )tbtt( )(1 ln )

20、g ttt，则( )2lng tt，令( )0g t，得2et，当20,et时,( )0g t，( )g t单调递减，2e ,t时,( )0, ( )g tg t单调递增.所以22min ( )eeg tg ,所以2eb 综上,b的取值范围是2e ,.8 8 分分另：另：当0a时，)(xf有零点，不满足；当0a时，由0)(xf，得xaebx2记xaexgx2)(，再讨论)(xg的单调性也可得2eb .(3)(3) 因为函数( )yf xab有两个不同的零点1212,x xxx,则由 (1)(1) 知0a , 且11e2xax2240, e240 xax, 消去a得12122e.2xxxx设12

21、122e2xxxux, 则(0,1)u,可解得12lnln2,2.11uuuxxuu第第页页6方法方法12(1)ln1:221uuxxu12(1)ln.11uuuuu设( )ln2(1),(0,1)h uuuu, 则( )h u22214(1)0(1)(1)uuuu u,所以( )h u在(0,1)上单调递增, 所以( )(1)0h uh,故12xx12(1)2ln011uuuuu,所以1212e2e2xxfxfxaa12220 xx ,所以12fxfx .又因为222e221xfxax lnln121211uuuuu 设( )lnp uu1,(0,1)uu，则1( )10p uu 所以( )

22、p u在(0,1)上单调递增, 所以( )(1)0p up, 所以20fx.综上,121fxfx .1212 分分方法方法1ln12:11uuuxu ,2ln111uuxu ,12112221e2111e221xxfxxafxax ln1(1)ln221ln1ln1uuuuuuuuuu .设( )(1)ln22,(0,1)k uuuuu, 则1( )ln1k uuu.设1( )ln1,l uuuu (0,1),则21( )0, ( )ul ul uu在(0,1)上单调递减, 所以( )( )(1)0, ( )k ul ulk u在(0,1)上单调递增,所以( )(1)0k uk.设( )ln1,(0,1)p uuuu, 则( )p u110u , 所以( )p u在(0,1)上单调递增,所以( )(1)0.p up所以1210fxfx , 故121fxfx .1212 分分