高二期末复习专题:圆解答题的7种题型(含答案)
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1、高二期末复习专题之圆解答题的7种题型考点、题型、知识与技巧点拨总结:1、 求轨迹方程,或者各种条件求圆的方程。如第1题2、 圆与直线标配:弦心距公式。如第2题。特别是研究圆与直线系这道题3、 求两圆相交弦的一般方法。如第3题4、 动圆过定点,如第4题5、 与圆切线有关的。如第5题6、 圆的弦长中定比分点。如第6题7、 面积最值范围,可以利用圆中线的几何性质转化。如第7题典型例题:1.已知P、为圆上的动点,A(2,0),B(1,1)为定点(1)求线段AP中点M的轨迹方程;(2)若PBQ=90,求线段PQ中点N的轨迹方程【答案】(1);(2).【分析】(1)由中点关系将点由代换,代入圆方程化简即可
2、;(2)结合图形,利用几何关系可得,再由等量代换即可求解【详解】(1)设点,圆上一点为,因为为AP中点,故满足,变形得,代入圆的方程得:,化简得;(2)设点,在中,设为原点坐标,连接,则,化简得,故线段PQ中点N的轨迹方程为2.在平面直角坐标系xOy中,已知圆和圆(1)若直线l过点A(4,0),且被圆截得的弦长为,求直线l的方程;(2)设平面上的一点P满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标【答案】(1)或;(2)点,或点,.【分析】(1)设出直线的点斜式方程,又由直线被圆截得的弦长为,得到一个
3、关于直线斜率的方程,解方程求出值,代入即得直线的方程(2)设点满足条件,的圆心到直线的距离和圆的圆心到直线的距离相等,得到,转化为或,即得解.【详解】解:(1)由于直线与圆不相交;直线的斜率存在,设方程为:圆的圆心到直线的距离为,被截得的弦长为从而即或,直线的方程为:或(2)设点满足条件,由题意分析可得直线、的斜率均存在且不为0,不妨设直线的方程为,。则直线方程为:和的半径相等,及直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,的圆心到直线的距离和圆的圆心到直线的距离相等。即整理得。即或。因的取值有无穷多个,所以或,解得或。这样的点只可能是点,或点,.3.已知圆C1:,圆C2:,其中1m5.(1)
4、若m=1,判断圆与的位置关系,并求两圆公切线方程;(2)设圆C1与圆C2的公共弦所在直线为l,且圆C2的圆心到直线l的距离为,求直线l的方程以及公共弦长.【答案】(1)两圆内切,;(2),.【分析】(1)由,分别得到圆和圆的圆心,半径,然后利用圆圆的位置关系判断,再由两圆方程相减得到公切线; (2)先得到两圆公共弦所在直线l的方程,再利用弦长公式求解.【详解】(1)当时,由得,由得,圆的圆心,半径,圆的圆心,半径,圆心距,所以两圆内切;因为两圆内切,所以公切线只有一条,两圆的公切线方程可由两圆方程相减得到:;(2)两圆公共弦所在直线l的方程为:,圆的圆心到直线l的距离,于是,或舍,所以直线l的
5、方程为;因为圆半径,弦心距,由勾股定理可得半弦长为,所以公共弦长为.4.已知圆,是直线上的动点,过点作圆的切线,切点为.(1)当切线的长度为时,求点的坐标.(2)若的外接圆为圆,试问:当点运动时,圆是否过定点?若过定点,求出所有的定点的坐标;若不过定点,请说明理由.【答案】(1)或;(2)过定点,定点和.【分析】(1)由切线的性质可得,列方程求P的坐标;(2)由条件求出圆N的方程,根据恒等式的性质确定圆所过定点.【详解】(1)由题可知圆的圆心为,半径.设,因为是圆的一条切线,所以.在中,故.又,所以,解得或.所以点的坐标为或.(2)因为,所以的外接圆圆是以为直径的圆,且的中点坐标为,所以圆的方
6、程为,即.由,解得或,所以圆过定点和.5.已知圆C:x2y22x4y30.(1)若不过原点的直线l与圆C相切,且在x轴,y轴上的截距相等,求直线l的方程;(2)从圆C外一点P( x,y)向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|PO|,求点P的轨迹方程.【答案】(1)或;(2).【分析】(1)由题设可得圆心,半径为,可设直线l为,结合切线的性质列方程求参数b,进而写出直线l的方程;(2)由题意易知,应用两点距离公式整理化简即可得P的轨迹方程.【详解】(1)圆C标准方程为,则圆心,半径为,令,则有,解得或.直线l的方程为或.(2)由圆上切点的性质知:,由|PM|PO|,整理得.故点P的
7、轨迹方程为.6.已知圆C:,直线l:(1)求证:对,直线l与圆C总有两个交点;(2)设直线l与圆C交于点A,若定点满足,求此时直线l的方程【答案】(1)证明见解析;(2)或.【分析】(1)化简直线方程,得到直线过定点,结合点与圆的位置关系,即可求解;(2)由(1)可得在圆内,由,得到,设,得到,且且,结合圆的性质,列出方程组,求得,根据圆心到直线的距离,列出方程求得的值,即可求解.【详解】(1)由直线,可得,故直线过定点,因为,故在圆内,所以直线与圆总有两个不同的交点.(2)由(1)可得在圆内,因为,可得,如图所示,设,则,故,设的中点为,则且,设,因为,可得,即,解得,由点到直线的距离公式,
8、所以,所以,故直线方程为或.7.已知圆的圆心在第一象限内,圆关于直线 对称,与轴相切,被直线截得的弦长为(1)求圆的方程;(2)若点在直线上运动,过点作圆的两条切线、,切点分别为点,求四边形面积的最小值直线是否过定点?若过定点,求此定点坐标;若不过定点,请说明【答案】(1);(2),过定点.【分析】(1)设圆标准方程,由垂径定理、圆与轴相切、关于直线对称可构造方程求得圆心坐标和半径,由此得到标准方程;(2)将四边形面积转化为,只需求得最小值即可;根据且可求得最小值,代入可求得结果.设,根据题意得四点共圆,进而得四点所在圆的方程,再根据弦是四点所在圆与圆的公共弦求得直线的方程,最后结合直线系方程
9、即可求得定点.【详解】解:(1)设圆的标准方程为:,圆关于直线对称,圆与轴相切:点到的距离为:,圆被直线截得的弦长为,结合有:,又,圆的标准方程为:.(2)与圆相切,由得:,圆心到直线的距离,即(当时取等号),又,(当时取等号),四边形面积的最小值为.设,如图,与圆相切, ,四点共圆,圆心为,半径为所以四点所在圆的方程为,即 由题知弦是四点所在圆与圆的公共弦,所以直线的方程为,又,直线的方程为,即,所以由直线系方程可知直线的方程过和的交点,所以联立方程解得,所以直线过定点.8.已知直线l:与直线l:相互垂直,圆C的圆心与点(2,1)关于直线l对称,且圆C过点M(-1,-1)(1)求直线l与圆C
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