北京市东城区2020～2021学年度高三上期末数学试卷（含答案）

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1、1 东城区东城区 2020202020212021 学年度学年度高三高三第一学期期末统一检测第一学期期末统一检测数学数学试卷试卷本试卷共 4 页，150 分，考试时长 120 分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共一、选择题共 1 10 0 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4 40 0 分分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合|10Ax x ，0,1,2B ，则AB I （A） 0 （B）

2、 1 （C） 2 （D）1,2 （2）已知 na是公差为d的等差数列，nS为其前n项和若3133Sa，则d （A）2 （B）1 （C） 1 （D） 2 （3）下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递增的是（A）2xy （B）lnyx （C） 1yx （D） sinyx （4）将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧（左）视图为（A）（B）（C）（D）（5）与圆22(1)5xy相切于点(2,2)的直线的斜率为（A）2 （B）12 （C） 12 （D） 2 2 （6）函数( )2sin()(0,|)2f xx 的部分图象如图所示，则( )f （A）3 （B

3、）32 （C）32 （D）3 （7）设a，b是两个不共线向量，则“a与b的夹角为锐角”是“()aab”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有（A）242 种（B）220 种（C）200 种（D）110 种（9）已知抛物线22ypx(0)p 的焦点F到准线的距离为2，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|3|AFFB=，则点A到y轴的

4、距离为（A）5 （B）4 （C）3 （D）2 （10）某公园门票单价 30 元，相关优惠政策如下： 10 人（含）以上团体购票 9 折优惠； 50 人（含）以上团体购票 8 折优惠； 100 人（含）以上团体购票 7 折优惠；购票总额每满 500 元减 100 元（单张票价不优惠）现购买 47 张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为（A）1090 元（B）1171 元（C）1200 元（D）1210 元第二部分第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 5122Oyx1223 EFPABCD（11）复数34ii_ （12

5、）函数( )1lnf xxx 的定义域是_ （13）已知1sin3 ，32，则cos_，cos2_ （14）已知双曲线2222:10,0 xyMabab，ABCV为等边三角形. 若点A在y轴上，点,B C在双曲线M上，且双曲线M的实轴为ABCV的中位线，则双曲线M的离心率为_ （15）已知函数 sincos23xxf x ,0,2x，其中 x表示不超过x的最大整数. 例如： 1 =1,0.5 =0,0.5 = 1. 23f_；若 f xxa对任意0,2x都成立，则实数a的取值范围是_ 三、解答题共三、解答题共 6 6 小题，共小题，共 8585 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分

6、，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题 13 分）如图，在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，4PD ，底面ABCD是边长为 2 的正方形，E，F分别为PB，PC的中点. （）求证：平面ADE平面PCD；（）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值. （17）（本小题 13 分）已知函数，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求（）的最小正周期； ( )sin()6g xx( )cosh xx( )f x4 （）在区间0,2上的最大值条件：；条件：. 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分（18）（本小题 14 分）为了解果园某种水果

7、产量情况，随机抽取 100 个水果测量质量，样本数据分组为100， 150)， 150， 200)，200，250)，250，300)，300，350)，350，400(单位：克)，其频率分布直方图如图所示：（）用分层抽样的方法从样本里质量为250， 300)， 300， 350)的水果中抽取 6 个，求质量在250，300) 的水果数量；（）从（）中得到的 6 个水果中随机抽取 3 个，记 X 为质量在300，350)的水果数量，求 X 的分布列及数学期望；（III）果园现有该种水果约 20 000 个，其等级规格及销售价格如下表所示，试估计果园该种水果的销售收入. （19）（本

8、小题 15 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点( 2,0),(2,0)AB，且离心率为12. （）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆C有且仅有一个公共点E，且与x轴交于点G(E,G不重合)， ETx轴，垂( )f x( )( )( )f xg xh x( )( )( )f xg xh x质量 m(单位：克) m200 200m300 m300 等级规格二等一等特等价格(元/个) 4 7 10 频率/组距 0.001 0.003 0.004 0.008 200 100 质量(克) 150 250 300 350 400 0.002 5 足为T. 求证：|TAGATBGB

9、. （20）（本小题 15 分）已知函数2( )1,exaxf xaR （I）若曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线平行于直线yx，求该切线方程（II）若1a ，求证：当0 x 时，( )0f x ；（III）若( )f x有且只有两个零点，求a的值（21）（本小题 15 分）给定正整数()mt mt，若数列12:nA aaa，，，LL满足：0 1ia ，；ii taa，12taaamL，则称数列A具有性质()E tm，. 对于两个数列12:nB bbb，，，LL，12:nC ccc，，，LL 定义数列BC的项为：1122nnbcbcbc，LL. （I）设数列

10、A具有性质(4 2)E，数列B的通项公式为nbn，求数列AB的前四项和；（II）设数列*(N )iA i具有性质(4)Em，数列12:nB bbb，，，LL满足：12341234bbbb，且*4(N )jjbbj. 若存在一组数列12kAAA，，L使得12kAAABL为常数列，求出m所有可能的值；（III）设数列*()iA iN具有性质(1)(2)E ttt，常数，数列B满足：1212tbbbt，L，且*(N )jj tbbj.若存在一组数列12kAAA，，L，使得12kAAABL为常数列，求k的最小值.（只需写出结论） 6 EFPABCDzxyDCBAPFE参考答案及评分标准

11、参考答案及评分标准一、选择题（共一、选择题（共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分）分）（1）D （2）C （3）D （4）B （5）A （6）A （7）B （8）C （9）C （10）B 二、填空题(共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分) （11）43i （12）1 ，（13）2 23 79 （14）2 （15）43 322 ，三、解答题共三、解答题共 6 6 小题，共小题，共 8585 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（共 13 分）解：（）因为PD 平面ABCD，所

12、以PDAD. 因为底面ABCD是正方形，所以ADCD. 因为PDCDDI，所以AD 平面PCD. 又因为AD 平面ADE，所以平面ADE平面PCD. .4分（）因为PD 平面ABCD，所以PDAD，PDCD. 因为底面ABCD是正方形，所以ADCD. 如图建立空间直角坐标系Dxyz. 因为4PD ，底面ABCD为边长为 2 的正方形，所以(0,0,4)P，(2,0,0)A，(2,2,0)B，(0,2,0)C， (0,0,0)D，(1,1,2)E，(0,1,2)F. (2,0,0)DA uuu r，(1,1,2)DE uuu r，( 2, 1,2)BF uuu r. 设平面ADE法向

13、量( , , )x y zm，由0,0,DADEuuu ruuu rmm可得20,20.xxyz 令1z ，则0,2xy，所以(0,2, 1)m. 设直线BF与平面ADE所成角为， 7 则sincos,BFuuu rmBFBFuuu ruuu rmm4954 515. 所以直线BF与平面ADE所成角的正弦值为4 515. .13 分（17）（本小题 13 分）解：选择条件：（）所以的最小正周期是 . 7 分（）因为，所以 . 所以. 所以. 当，即时，有最大值. 13 分 ( )( )( )f xg xh x( )sin()cos6f xxx31(sincos )cos22

14、xxx231sin coscos22xxx3 11 1 cos2sin22222xx311sin2cos2444xx11sin(2)264x( )f x0,2x52666x1sin(2)126x1111sin(2)22644x262x3x ( )f x148 选择条件：. （）所以的最小正周期是. 7 分（）因为，所以 . 所以. 当，即时，有最大值 . 13 分（18）（共 14 分）解：（）质量在250，300)，300，350)的该种水果的频率分别为 0.00850=0.4， 0.00450=0.2，其比为 2：1. 所以按分层抽样从质量在250，300)，300，350

15、)的这种水果中随机抽取 6 个，质量在250，300)的该种水果有 4 个. .4 分（）由(I)可知，6 个水果中有 2 个的质量在300，350). 所以 X 的所有可能取值为 0，1，2. 34361(0)5CP XC，2142363(1)5C CP XC，1242361(2)5C CP XC. 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 15 35 15 ( )( )( )f xg xh x( )sin()cos6f xxx31(sincos )cos22xxx31sincos22xxsin()6x( )f x20,2x2663x1sin()261x62x3x ( )f x19 故

16、X 的数学期望 E(X)=1310121555 . .10 分（）由频率分布直方图可知，质量在100，150)，150，200)，200，250)， 250，300)，300，350)，350，400的该种水果的频率分别为 0.1，0.1，0.15， 0.4，0.2，0.05. 所以估计 20 000 个水果中，二等品有 20000(0.1+0.1)=4 000 个；一等品有 20 000(0.15+0.4)=11 000 个；特等品有 20 000(0.2+0.05)=5 000 个. 果园该种水果的销售收入为 4 0004+11 0007+5 00010=143 000(元). .

17、.14 分（19）（共 15 分）解：（）依题意，得2222,1,2,acaabc 解得224,3ab. 所以椭圆C的方程为22143xy. . . 4 分（）由题设知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：(0)ykxm k. 由22,143ykxmxy消去y，整理得222(34)8(412)0kxkmxm. 依题意，有22226416(34)(3)0k mkm ，解得2234mk. 设100( ,0), (,)G xE x y，则1mxk ,024434kmkxkm . 因为 ETx 轴，所以4(,0)kTm. 所以4|2|4|2()|kTAmkTBm | 42|24 |kmmk|2

18、 |2 |mkmk. 又因为| 2|2|mGAkmGBk |2 |2 |mkmk，所以|TAGATBGB. .15 分（20）（本小题 15 分） 10 【解析】（I）因为(2)( )exax xf x，所以(1)1afe ，故ae 所以(1)12eaf ，所以，所求切线方程为21yx，即1yx.4 分（II）当1a 时，2( )1exxf x ，(2)( )exx xf x，当(0,2)x时，( )0f x ；当(2,)x时，( )0f x 所以( )f x在(0,2)单调递减，在(2,)单调递增所以，( )f x的极小值24(2)10ef ，故0 x，( )0f x . 13

19、分（III）对于函数2( )1,exaxf xaR （i）当0a时，( )0f x ，( )f x没有零点；（ii）当0a时，(2)( )exax xf x 当(,0)x 时，( )0f x ，所以( )f x在(,0)单调递增；当(0,2)x时，( )0f x ；所以( )f x在(0,2)单调递减；当(2,)x时，( )0f x ，所以( )f x在(,0)单调递增；所以(0)1f是( )f x的极大值，24(2)1eaf 是( )f x的极小值因为21111()11()111e0eeaaaaafa ，所以( )f x在(,0)上有且只有一个零点. 由于24(2)1eaf

20、，若(2)0f，即2e4a ，( )f x在(0,)没有零点； 11 若(2)0f，即2e4a ，( )f x在(0,)只有一个零点；若(2)0f，即2e4a ，由于(0)1f，所以( )f x在(0,2)有一个零点，由（II）知，当0 x时，2exx，所以33342241616161(4 )11110e(e )(2 )aaaaafaaa 故( )f x在(2,4 )a有一个零点. 因此2e4a 时，( )f x在(0,)有两个零点综上，当( )f x有两个零点时，2e4a 13 分（21）（本小题 15 分）解：（I）数列AB的前四项和为A的前四项和与B的前四项和之和，为

21、2+10=12. 4 分（II）由题知4m，数列*()iA iN满足：*44(N )jjjjaabbj，所以只需要考虑数列iA和B的前四项. 取126AAA，，L为10 0 0，，，；10 0 0，，，；10 0 0，，，；010 0，，，；010 0，，，；0 010，，，可使126AAABL的前四项为4，4，4，4，所以=1m成立. 取123AAA，，为110 0，，，；110 0，，，；1010，，，可使126AAABL的前四项为4，4，4，4，所以=2m成立. 取126AAA，，L为1110，，，；1110，，，；1101，，，；1110，，，；1011，，，可使126AAABL的前四项为7，7，7，7，所以=3m成立. 当=4m时，iA前 4 项只能是1111，，，所以12kAAABL不会是常数列；综上=1 2 3m，. .12 分（III）1(1)2t t . .15 分