北京市海淀区2020～2021学年度高三上期末数学试卷（含答案）

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1、2021北京海淀高三（上）期末数学试卷第一部分（选择题 共40分）1、 选择题共10 小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1） 抛物线的准线方程是（A） （B）（C）（D） （2） 在复平面内，复数对应的点位于（A） 第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3） 在的展开式中，的系数为（A）（B）（C）（D）（4） 已知直线，点和点，若，则实数的值为（A）（B）（C）（D）（5） 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）（6） 已知向量，满足，且，则（A）（B）（C）（D）（7）已知，是两个不同的平面，“”的一个

2、充分条件是（A）内有无数直线平行于（B）存在平面，（C）存在平面，且（D）存在直线，（8）已知函数 则（A）是偶函数 （B）函数的最小正周期为（C）曲线关于对称（D）（9）数列的通项公式为，前项和为，给出下列三个结论：存在正整数，使得；存在正整数，使得；记，则数列有最小项，其中所有正确结论的序号是（A） （B） （C） （D）（10）如图所示，在圆锥内放入连个球，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为C1,C2. 这两个球都与平面相切，切点分别为，丹德林（GDandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dan

3、delin 双球。若圆锥的母线与它的轴的夹角为300，C1, C2的半径分别为1,4，点为C2上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则从点沿圆锥表面到达的路线长与线段的长之和的最小值是（A） （B） （C） （D）第二部分（非选择题 共110分）（11）在“互联网+”时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合，实现线上、线下融合式教学模式变革.某校高一、高二和高三学生人数如图所示.采用分层抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况，在抽取样本中，高一学生有16人，则该样本中的高三学生人数为 .（12）设等比数列的前项和为.若、成等差数列，则数列的公比为 .（13）已知双曲线的左右焦点分别为

4、，点，则双曲线的渐近线方程为 ； ;（14）已知函数是定义域的奇函数，且时，则 ，的值域是 ；（15）已知圆，直线，点，点.给出下列4个结论：当，直线与圆相离；若直线圆的一条对称轴，则；若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为；为圆上的一动点，若，则的最大值为.其中所有正确结论的序号是 .三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题共15分）在三棱柱中，侧面为矩形，,分别是棱，的中点.（）求证：（）求证: ()若,求直线与所成角的正弦值. （17）（本小题共14分）若存在同时满足条件、条件、条件、条件中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问

5、题：（）求的大小；（）求和的值.条件：；条件：；条件：；条件：（18）（本小题共14分）某公司在20132021年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：年份201320142015201620172018201920202021年生产台数（单位：万台）3456691010年返修台数（单位：台）3238545852718075年利润（单位：百万元）3.854.504.205.506.109.6510.0011.50注：.（）从20132020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；（）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从201320

6、20年中随机选出3年，记表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数.求的分布列和数学期望；（）记公司在20132015年，20162018年，20192021年的年生产台数的方差分别为.若，其中表示，这两个数中最大的数.请写出的最大值和最小值.（只需写出结论）（注：，其中为数据的平均数）（19）（本小题共14分）已知椭圆的离心率为，且经过点.（）求椭圆的方程及其长轴长；（），分别为椭圆的左、右顶点，点在椭圆上，且位于轴下方，直线交轴于点，若的面积比的面积大，求点的坐标.（20）（本小题共14分）已知函数.（）求函数的单调区间；（）设，求证：；（）设.若存在使得，求的最大值.（21）（本小题共14分

7、）设是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值是，且所有数的和是非负数，则称数表是“阶非负数表”.（）判断如下数表，是否是“阶非负数表”； （）对于任意“阶非负数表”，记为的第行各数之和，证明：存在，使得；（）当时，证明：对与任意“阶非负数表”，均存在行列，使得这行列交叉处的个数之和不小于.参考答案1、 选择题共10小题，每小题4分，共40分。题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案BADBACDCCA二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。题号（11）（12）（13）（14）（15）答案123或-1三、解答题共6小题，共85分。（16）（本小题共15分）

8、解：（）在三棱柱中，且.因为点，分别是棱，的中点，所以，且.所以四边形是平行四边形.所以.又因为，所以.（）因为，所以，因为侧面为矩形，所以，又因为，所以.（）分别以，所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，.所以，.设平面的法向量为，则即令，则，于是所以所以直线与平面所成角的正弦值为.（17）（本小题共14分）选择解：（）因为，由正弦定理可得：.因为，所以.所以.所以.（）在中，所以.所以.因为，所以.所以所以.由正弦定理可得，即.因为，所以.选择解：（）因为由正弦定理得在所以.所以（）在所以所以.因为，所以所以所以因为所以.由正弦定理得.（18）（本小题共14分）解：

9、（）由图表知，20132020年中，产品的平均利润小于100元/台的年份只有2015年，2016年.所以从20132020年中随机抽取一年，该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率为123P（）由图表知，20132020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013，2015年，所以的所有可能取值为1,2,3P（=1）=,P（=2）=,P（=3）=,所以的分布列为（）的最大值为13，最小值为7（19）（本小题共14分）解：（）因为椭圆经过点，所以因为椭圆的离心率为，所以，其中所以所以椭圆的方程为，长轴长（）当直线的斜率不存在时，由题意可知由（）可知所以的面积为，的面积为显然的面积比的面积为

10、大方法一当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为，且令，得，所以由，得.依题意可得点的纵坐标.因为点在轴下方，所以，即.所以的面积为的面积为因为的面积比的面积大，所以此方程无解综上所述，点的坐标为.方法二因为点在轴下方，所以在线段（不包括端点）上.由（）可知.所以的面积为，所以点在线段（不包括端点）上，且的面积等于时的面积.所以的面积等于的面积.所以.设，,则.因为点在椭圆上，所以.所以所以点D的坐标为（20）（本小题共14分）解：（）因为，所以.令，得.与在区间上的情况如下：+0-极大所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（）因为，所以.所以.当时，所以；当时，所以.所以在内单调递增，在内

11、单调递减.所以.（）因为，所以.当时，即存在1，使得；当时，由（）可知，即.所以所以对任意，即不存在使得.综上所述，的最大值为.（21）（本小题14分）解：记为数表中第行第列的数，为数表中所有数的和，为数表中前行列交叉处各数之和（）是“4阶非负数表”；不是“4阶非负数表”（）由题意知，且数表是“5阶非负数表”，所以为奇数，且不妨设当时，因为为奇数，所以所以当时，因为为奇数，所以所以所以有因为，均为奇数，所以（）（1）先证明数表中存在行列，其所有数的和大于等于0设，由题意知不妨设由于，所以（2）由（1）及题意不妨设数表前行列，其所有数的和大于等于0下面考虑前行，证明存在行列，其所有数的和大于等于设，则不妨设因为为个奇数的和，所以为奇数 当时，因为为奇数，所以所以 当时，因为为奇数，所以所以所以（3）在（2）所设数表下，证明前行前列中存在行列，其所有数的和设，则 当时，； 当时，所以，所以综上所述，对于任何“阶非负数表”，均存在行列，使得这行列交叉处的所有数之和不小于