数学建模《建立函数模型解决实际问题》课时分层作业（含答案）

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1、1 函数模型的应用函数模型的应用 课时分层作业课时分层作业 (建议用时：60 分钟) 合格基础练 一、选择题 1某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，现有 2 个这样的细胞，分裂 x 次后得到细胞的个数 y 与 x 的函数关系是( ) Ay2x By2x1 Cy2x Dy2x1 D 分裂一次后由 2 个变成 2 222个，分裂两次后 4 223个，分裂 x 次后 y2x1个 2某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( ) A310 元 B300 元 C390 元 D280 元 B 由图

2、象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式 y500 x300(x0)，当 x0 时，y300. 3有一组实验数据如下表所示： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u 1.5 4.04 7.5 12 18.01 则能体现这些数据关系的函数模型是( ) Aulog2t Bu2t2 Cut212 Du2t2 C 可以先画出散点图， 并利用散点图直观地认识变量间的关系， 选择合适的函数模型来2 刻画它，散点图如图所示 由散点图可知，图象不是直线，排除选项 D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当 t3 时，2t22326，排除 B，故选 C. 4 根据统计

3、， 一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位： 分钟)为 f(x) cx，xA，cA，xA(A，c 为常数)已知工人组装第 4 件产品用时 30 min，组装第 A 件产品用时 15 min，那么 c和 A 的值分别是( ) A75,25 B75,16 C60,25 D60,16 D 由题意知，组装第 A 件产品所需时间为cA15，故组装第 4 件产品所需时间为c430，解得 c60.将 c60 代入cA15，得 A16. 5一家旅社有 100 间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系： 每间每天定价 20 元 18 元 16 元 14

4、元 住房率 65% 75% 85% 95% 要使收入每天达到最高，则每间应定价为( ) A20 元 B18 元 C16 元 D14 元 C 每天的收入在四种情况下分别为 20 65% 1001 300(元)，18 75% 1001 350(元)，16 85% 1001 360(元)，14 95% 1001 330(元) 二、填空题 6已测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：yx21，乙：y3x1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则选用_作为拟合模型较好 甲 对于甲：x3 时，y32110，对于乙：x3 时，y8，因此用甲作为拟合模型3 较好 7

5、某市出租车收费标准如下：起步价为 8 元，起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价付费)；超过 3 km 但不超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.15 元收费；超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.85 元收费， 另每次乘坐需付燃油附加费 1 元 现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元，则此次出租车行驶了_km. 9 设出租车行驶 x km 时，付费 y 元， 则 y 9，0 x3，82.15x31，38，由 y22.6，解得 x9. 8用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过 1%，则至少要清洗的次数是_(lg 20.301 0) 4 设至少要洗 x 次，

6、则134x1100， 所以 x1lg 23.322，所以需 4 次 三、解答题 9某种产品的年产量为 a，在今后 m 年内，计划使产量平均每年比上年增加 p%. (1)写出产量 y 随年数 x 变化的函数解析式； (2)若使年产量两年内实现翻两番的目标，求 p. 解 (1)设年产量为 y，年数为 x，则 ya(1p%)x， 定义域为x|0 xm，且 xN* (2)ya(1p%)24a，解得 p100. 10某个体经营者把开始六个月试销 A，B 两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表： 投资 A 种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.

7、84 1.40 投资 B 种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 该经营者准备下月投入 12 万元经营这两种产品，但不知投入 A，B 两种商品各多少万元才合算请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字) 4 解 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如下图所示 图(1) 图(2) 观察散点图可以看出，A 种商品所获纯利润 y 与投资额 x 之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图(1)所示， 取(4,2)

8、为最高点，则 ya(x4)22，再把点(1,0.65)代入，得 0.65a(14)22，解得 a0.15， 所以 y0.15(x4)22. B 种商品所获纯利润 y 与投资额 x 之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图(2)所示 设 ykxb，取点(1,0.25)和(4,1)代入， 得 0.25kb，14kb，解得 k0.25，b0， 所以 y0.25x. 即前六个月所获纯利润 y 关于月投资 A 种商品的金额 x 的函数关系式是 y0.15(x4)22；前六个月所获纯利润 y 关于月投资 B 种商品的金额 x 的函数关系式是 y0.25x. 设下月投入 A，B 两种商品的资

9、金分别为 xA，xB(万元)，总利润为 W(万元)， 那么 xAxB12，WyAyB0.15xA4220.25x B. 所以 W0.15xA19620.1519622.6. 当 xA1963.2(万元)时，W 取最大值，约为 4.1 万元，此时 xB8.8(万元) 即该经营者下月把 12 万元中的 3.2 万元投资 A 种商品，8.8 万元投资 B 种商品，可获得最大利润约为 4.1 万元 等级过关练 1加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为 5 “可食用率”，在特定条件下，可食用率 P 与加工时间 t(单位：分钟)满足函数关系 Pat2btc(a，b，c 是常数)，如图记录了

10、三次实验数据，根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为( ) A3.50 分钟 B3.75 分钟 C4.00 分钟 D4.25 分钟 B 依题意有 0.79a3bc，0.816a4bc，0.525a5bc， 解得 a0.2，b1.5，c2. 所以 P0.2t21.5t215t15421316. 所以当 t1543.75 时，P 取得最大值 即最佳加工时间为 3.75 分钟 2衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为 a，经过 t 天后体积 V 与天数 t 的关系式为：Va ekt.已知新丸经过 50 天后，体积变为49a.若一个新丸体积变为827a，则需经过的天数

11、为( ) A125 B100 C75 D50 C 由已知，得49aa e50k， ek49150. 设经过 t1天后，一个新丸体积变为827a， 6 则827aa ekt1， 827(ek)t149150t1，t15032，t175. 32008 年我国人口总数为 14 亿，如果人口的自然年增长率控制在 1.25%，则_年我国人口将超过 20 亿(lg 20.301 0，lg 30.477 1，lg 70.845 1) 2037 由题意，得 14(11.25%)x2 00820，即 x2 008lg 107lg 81801lg 74lg 33lg 2128.7， 解得 x2 036.7，又 x

12、N，故 x2 037. 4某地区发生里氏 8.0 级特大地震地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表： 强度(J) 1.61019 3.21019 4.51019 6.41019 震级(里氏) 5.0 5.2 5.3 5.4 注：地震强度是指地震时释放的能量 地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用 yalg xb(其中 a，b 为常数)利用散点图(如图)可知 a 的值等于_(取 lg 20.3 进行计算) 23 由记录的部分数据可知 x1.61019时，y5.0， x3.21019时，y5.2. 所以 5.0alg (1.61019)b， 52alg (3.21019)b

13、， 得 0.2alg 3.210191.61019，0.2alg 2. 所以 a0.2lg 20.20.323. 7 5提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度 v(单位：千米/小时)是车流密度 x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到 200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60千米/小时研究表明：当 20 x200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数 (1)当 0 x200 时，求函数 v(x)的表达式； (2)当车流密度 x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数

14、，单位：辆/小时)f(x)x v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到 1 辆/小时) 解 (1)由题意，当 0 x20 时，v(x)60； 当 20 x200 时，设 v(x)axb， 由已知得 200ab0，20ab60， 解得 a13，b2003. 故函数 v(x)的表达式为 v(x) 60，0 x20，13200 x，20 x200. (2)依题意并结合(1)可得 f(x) 60 x，0 x20，13x200 x，20 x200. 当0 x20时， f(x)为增函数， 故当x20时， f(x)在区间0,20上取得最大值60201 200； 当 20 x200 时， f(x)13x(200 x)13(x100)210 000310 0003， 当且仅当 x100 时，等号成立 所以当 x100 时，f(x)在区间(20,200上取得最大值10 0003. 综上可得，当 x100 时，f(x)在区间0,200上取得最大值10 00033 333. 即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3 333 辆/小时