山东省临沂市罗庄区2020-2021学年高二上期末数学试题（含答案解析）

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1、高二年级上学期期末质量检测数学试题第I卷（选择题共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设为等差数列的前项和，若，则的值为（ ）A. 14B. 28C. 36D. 482. 已知抛物线上一点 到其焦点距离为，则实数的值是（ ）A. -4B. 2C. 4D. 83. 已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（ ）A B. C. D. 4. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）A. B. C. D. 5. 已知矩形，为平面外一点，且平面，分别为，上的点，且，则（ ）A. B. C. 1D. 6. 中国古代

2、数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）A. 96里B. 48里C. 192里D. 24里7. 已知椭圆与双曲线的焦点重合，、分别为、的离心率，则（ ）A. 且B. 且C. 且D. 且8. 已知函数是定义在上的奇函数，是的导函数，且，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

3、符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分.9. 已知是等比数列的前项和，下列结论一定成立的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则10. 已知双曲线过点且渐近线为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，为双曲线的右焦点，则下列结论正确的是（ ）A. 双曲线的离心率为2B. 双曲线的方程是C. 的最小值为2D. 直线与有两个公共点11. 已知是各条棱长均等于1正三棱柱， 是侧棱的中点，下列结论正确的是（ ）A. 与平面所成的角的正弦值为B. 平面与平面所成的角是C. D. 平面平面12. 函数，其图象在坐标原点处与相切，则（ ）A. B. 函数没有最小值C.

4、函数存在两个极值D. 函数存在两个零点第II卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 直线l1：(3m)x4y53m，l2：2x(5m)y8，若l1l2，则m_.14. 设 分别为直线 和圆 上的点，则的最小值为_.15. 数列满足，对任意的 都有，则_ 16. 已知过点的直线与曲线和都相切，则_；若直线与这两条曲线都相交，交点分别为，则的最小值为_四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程17. 在对任意，满足，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中问题：已知数列的前项和为，_，若数列是等差数列，求数列的通项公式；若数列不一定是

5、等差数列，说明理由18. 已知函数（1）当时，求曲线在处的切线方程（2） 时，若，求的定义域，并分析其单调性19. 已知直线与圆相交于，两点（1）若，求；（2）在轴上是否存在点，使得当变化时，总有直线、斜率之和为0，若存在，求出点的坐标：若不存在，说明理由20. 如图，已知三棱锥中，为的中点，点在边上，且（1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值21. 知椭圆的焦点在轴上，并且经过点，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）动直线与圆相切于点，与椭圆相交于，两点，线段的中点为，求面积的最大值，并求此时点的坐标22. 已知函数，（1）若，求的取值范围；（2）若时，方程（）在上恰有两个不等的实数根，

6、求实数的取值范围参考答案第I卷（选择题共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设为等差数列的前项和，若，则的值为（ ）A. 14B. 28C. 36D. 48【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的前项和公式以及等差数列的性质即可求出.【详解】因为为等差数列的前项和，所以故选：D【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式的计算以及等差数列性质的应用，属于较易题.2. 已知抛物线上一点 到其焦点的距离为，则实数的值是（ ）A. -4B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】【分析】首先利用抛物线的定义，将抛物线上点到

7、焦点的距离转化为到准线的距离解出p，再将点M的坐标代入抛物线方程即可解得.【详解】抛物线的准线方程为：，因为M到焦点距离为5，所以M到准线的距离，即p=8，则抛物线方程为.将(1,m)代入得：，因为所以.故选：C.3. 已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先由点的坐标满足圆的方程来确定点在圆上，然后求出过点的圆的切线方程，最后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解.【详解】由题知，圆的圆心，半径.因为，所以点在圆上，所以过点的圆的切线与直线垂直，设切线的斜率，则有，即，解得.因为直线与切线垂直，所以，解得.故选：B.4. 已知空间向量

8、，则向量在向量上的投影向量是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由向量在向量上的投影向量为，计算即可求出答案【详解】解：向量，则，所以向量在向量上投影向量为故选：5. 已知矩形，为平面外一点，且平面，分别为，上的点，且，则（ ）A. B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】由，得，然后利用向量的加减法法则把向量用向量表示出来，可求出的值，从而可得答案【详解】解：因为，所以所以,因为，所以，所以，故选：B6. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走3

9、78里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）A. 96里B. 48里C. 192里D. 24里【答案】A【解析】【分析】根据题意,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,再根据求和公式列式求解即可.【详解】由题意可知,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,设该数列为,其前项和为则有,解得,故,故选:A.【点睛】本题考查了等比数列的相关知识,能读懂题识别该模型为等比数列是解题关键.7. 已知椭圆与双曲线的焦点重合，、分别为、的离心率，则（ ）A. 且B. 且C. 且D. 且【答案】A【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的焦点重合得出，

10、可得出、的大小，再由离心率公式可得出与的大小关系，进而可得出结论.【详解】由于椭圆和双曲线的焦点重合，则，则，.，故选：A.【点睛】本题考查利用椭圆和双曲线的焦点求参数的大小关系，同时也考查了两曲线的离心率之积的问题，考查计算能力，属于中等题.8. 已知函数是定义在上的奇函数，是的导函数，且，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，根据题意可得的奇偶性与单调性，结合的图象即可求解【详解】解：由题意可知，函数是奇函数，令函数，则函数为偶函数，又当时，所以函数在上单调递减，根据对称性可知，函数在上单调递增，又，所以，所以，函数的大致图象如图所

11、示：数形结合可知，使得成立的的取值范围是，故选：B【点睛】本题考查函数的性质、导数的应用，考查构造函数法，转化思想和数形结合思想，属于中档题二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分.9. 已知是等比数列的前项和，下列结论一定成立的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】AC【解析】【分析】利用等比数列的通项公式及其前项和公式即可判断出正误即可【详解】解：A、若，则，所以，故本选项正确；、，则无法判定的正负，所以的正负也无法判定，故本选项错误；、，则，若时，；若，故本选项

12、正确；、若，若，时，；若，当时，则，所以，故本选项错误.故选：AC.10. 已知双曲线过点且渐近线为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，为双曲线的右焦点，则下列结论正确的是（ ）A. 双曲线的离心率为2B. 双曲线的方程是C. 的最小值为2D. 直线与有两个公共点【答案】AB【解析】【分析】设双曲线的方程为，由双曲线过点求出，判断B；再由离心率公式判断A；联立直线和双曲线方程判断D.【详解】设双曲线的方程为，由双曲线过点可得，即双曲线的方程是，故B正确；可化为，则，故A正确；由题意可得，当直线与渐近线垂直时，取最小值，且最小值，故C错误；由，解得，即直线与只有一个交点，故D错误；故选：AB

13、11. 已知是各条棱长均等于1的正三棱柱， 是侧棱的中点，下列结论正确的是（ ）A. 与平面所成的角的正弦值为B. 平面与平面所成的角是C. D. 平面平面【答案】ACD【解析】【分析】根据正三棱柱的性质，结合空间线面的关系，逐项分析判断即可得解.【详解】对A，设点到平面的距离为，易知到平面为底面的高为，由，可得，由，,所以，由，解得，与平面所成的角的正弦值为，故A正确；如图，延长交于点，连接，由知为中点，由为等边三角形，所以，所以为二面角的平面角，易知，故B错误；对C，由，根据正三棱柱的性质可得平面，所以，又，所以平面，所以，故C正确；对D，由C答案的分析可知，平面，平面，而平面，所以平面平

14、面，故D正确.故选：ACD12. 函数，其图象坐标原点处与相切，则（ ）A. B. 函数没有最小值C. 函数存在两个极值D. 函数存在两个零点【答案】AD【解析】【分析】求出函数的导数，通过图象在坐标原点处与相切，求解，然后求解函数的解析式以及函数的导数，求出极值点，判断函数的最值以及函数的零点即可判断选项【详解】由题意可得，且，所以， 所以，令，则，设，两个函数只有一个交点，设交点的横坐标为：，则，当时，函数是减函数，当时，函数是增函数，所以是函数极小值点，是函数最小值，因为函数过，所以函数存在两个零点，故选：AD第II卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

15、 13. 直线l1：(3m)x4y53m，l2：2x(5m)y8，若l1l2，则m_.【答案】【解析】【分析】根据两直线平行的条件求的值.【详解】把直线l1：(3m)x4y53m，l2：2x(5m)y8化为直线方程的一般式为：直线l1：，l2：，因为l1l2，所以 ，解得.故答案为：.14. 设 分别为直线 和圆 上的点，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】易知的最小值为圆心到直线的距离减去半径.【详解】圆心到直线的距离为，所以的最小值为.故答案为：.15. 数列满足，对任意的 都有，则_ 【答案】【解析】【分析】根据题意可得，利用累加法可得，解得，再裂项相消即可得解.【详解】由可得，所以

16、：，由解得，所以，所以.故答案为：.16. 已知过点的直线与曲线和都相切，则_；若直线与这两条曲线都相交，交点分别为，则的最小值为_【答案】 . . 【解析】【分析】首先分别设出直线与曲线相切的切点，分别利用导数的几何意义，求切点坐标和参数；将的最小值转化为求函数的最小值，利用导数求函数的最值.【详解】设直线与曲线和相切的切点分别为，则，因为，则直线的斜率，解得：，则，因为，所以，解得：，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，即的最小值为.故答案为：；四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程17. 在对任意，满足，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中问题：已

17、知数列的前项和为，_，若数列是等差数列，求数列的通项公式；若数列不一定是等差数列，说明理由【答案】选择条件，数列不一定是等差数列，理由见解析；选择条件，数列的通项公式为；选择条件，【解析】【分析】若选择条件，可得，即，由于无法确定的值，即可判断；若选择条件：可得，再根据等差数列通项公式计算得解；若选择条件：利用，可得，再根据等差数列的通项公式计算得解；【详解】解：选择条件： 因为对任意，满足，所以，所以因为无法确定的值，所以不一定等于2所以数列不一定是等差数列选择条件：由，得，即，又因为，所以所以数列是等差数列，其公差为2因此，数列的通项公式为选择条件：因为，所以，两式相减得，即又，即，所以，

18、又，所以，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以【点睛】本题考查等差数列的通项公式的计算，根据求通项公式，属于基础题.18. 已知函数（1）当时，求曲线在处的切线方程（2） 时，若，求的定义域，并分析其单调性【答案】（1）；（2）定义域为，单调性见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，可得切线斜率为，再由根据点斜式即可得解；（2）由可得，再通过导数研究函数单调性即可.【详解】（1） 当 时，所以 又，所以曲线 在 处的切线方程为 （2）当时， ，函数 的定义域为 ， 当时，当时， 在上单调递增，在上单调递减，在 上单调递减.19. 已知直线与圆相交于，两点（1）若，求；（2）

19、在轴上是否存在点，使得当变化时，总有直线、的斜率之和为0，若存在，求出点的坐标：若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）存在.【解析】【分析】（1）由题得到的距离为，即得，解方程即得解；（2）设，存在点满足题意，即，把韦达定理代入方程化简即得解.【详解】（1）因为圆，所以圆心坐标为，半径为2， 因为，所以到的距离为， 由点到直线距离公式可得：， 解得 （2）设，则得，因为，所以， 设存在点满足题意，即， 所以，因为，所以， 所以，解得所以存在点符合题意【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆的探究性问题的解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.20.

20、如图，已知三棱锥中，为的中点，点在边上，且（1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先在等腰三角形中证，然后在中根据勾股定理证，从而结论得证；（2）用向量法求两个面的法向量，根据向量的夹角公式来求二面角的余弦值.【详解】（1）连接，在中，因为，为的中点，所以，且；在中，因为，为的中点，所以，且； 在中，因为，所以，所以， 又，平面，所以平面 （2）因为， 两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，由，得，则，设平面的法向量为，则 ，令，得， 因为平面，所以为平面的一个法向量，设二面角为，则，因为，所以二面角正弦值2

21、1. 知椭圆的焦点在轴上，并且经过点，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）动直线与圆相切于点，与椭圆相交于，两点，线段的中点为，求面积的最大值，并求此时点的坐标【答案】（1）；（2）的面积最大值为，此时点的坐标为或或或【解析】【分析】（1）先设椭圆的标准方程，再根据题意建立方程，最后求椭圆的标准方程即可；（2）先得到方程和，再用表示出、，最后求最大时点的坐标即可.【详解】解：（1）设椭圆的标准方程为，由题意得，因为，所以，所以椭圆的标准方程为（2）设动直线的方程为由直线与圆相切得，即由，得，其中设，则，从而，所以因为，所以当时，上式等号成立，此时故的面积最大值为，此时点的坐标为或或或【点睛】

22、本题考查求椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系、椭圆内三角形的面积问题，是偏难题.22. 已知函数，（1）若，求的取值范围；（2）若时，方程（）在上恰有两个不等的实数根，求实数的取值范围【答案】（1）；（2） 【解析】【分析】(1)由给定成立的不等式分离参数，再构造新函数并探讨其最大值即可得解；(2)构造函数，探求其单调性并确定函数值的取值情况即可作答.【详解】（1）函数的定义域为，设函数，则，由得，由得，即函数在递增，在递减，从而得时，函数取最大值， 所以实数的取值范围是；（2）由题意：在上恰有2个不相等的实数根，设函数，则， 由得， 由得，则在上递减，在上递增，而()在上恰有2个不相等的实数根，则有，解得，所以实数的取值范围.