上海市长宁区2022届高考一模数学试卷（含答案）

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1、2021 学年第一学期高三数学教学质量学年第一学期高三数学教学质量抽抽测试卷测试卷 一、一、填空题（本大题共有填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分）考生应在答题纸分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果的相应位置直接填写结果 1. 已知集合2Ax x，1,3,5,7B ，则AB I . 2. 42x的二项展开式中2x的系数为 3. 32lim31nnnn . 4. 若线性方程组的增广矩阵为12011 1cc，解为11xy，则12cc . 5. 在直角坐标系xOy中，角的始边为x正半轴，顶点为坐标原点若

2、角的终边经过点3,4，则sin . 6. 3 位同学被推荐担任进博会 3 个指定展馆服务志愿者，每人负责 1 个展馆，每个展馆只需 1 位同学，则共有 种不同的安排方法. 7. 已知双曲线22:16yM x 的左、右焦点分别为1F、2F，过1F的直线l与双曲线M的左、右两支分别交于点A、B. 若2ABF为等边三角形，则2ABF的边长为 . 8. 在复平面xOy内，复数12,z z所对应的点分别为12,Z Z，对于下列四个式子： 2211zz，1212z zzz，2211OZOZuuu u ruuu u r，1212OZ OZOZOZuuu u r uuuu ruuu u ruuuu r 其中恒

3、成立的是 .（写出所有恒成立式子的序号） 9. 设,Rx y，0a,0b，若3xyab,22 6ab，则11xy的最大值为 . 10. 已知公差不为 0 的等差数列 na的前n项和为nS， 若457, ,1 0 ,0a S S ， 则nS的最小值为 . 11. 已知点A、B在抛物线24yx：上，点M在的准线上，线段MA、MB的中点均在抛物线上. 设直线AB与y轴交于点0,Nn，则n的最小值为 . 12. 设曲线C与函数 23012fxxxm的图像关于直线3yx对称， 若曲线C仍为某函数的图像，则实数m的取值范围为 . C1A1B1ABC二、二、选择题（本大题共有选择题（本大题共有 4 题，满分

4、题，满分 20 分，每题分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13. “11x”是“1x ”的（ ）. A.充分不必要条件； B.必要不充分条件； C.充要条件； D.既不充分也不必要条件 14. 给定一组数据 15，17，14，10，12，17，17，16，14，12. 设这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则（ ）. A. abc； B. cba ； C. cab； D. bca. 15. 已知平面经过圆柱12OO的旋转轴，点A、B在圆柱12OO

5、的侧面上，但不在平面上，则下列 4 个命题中真命题的个数是（ ）. 总存在直线l，l且l与AB异面； 总存在直线l，l且lAB； 总存在平面，AB且； 总存在平面，AB且/ /. A.1； B.2； C.3； D.4. 16. 若函数 3sin4cos0,03f xxxx的值域为4,5， 则cos3的取值范围为 （ ） . A.74,25 5； B.7325 5，； C.74,25 5 ； D.73,25 5. 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 17

6、 （本题满分 （本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分）. 在直三棱柱111ABCABC中，ACBC，12ACBCCC. （1）求四棱锥11ABCC B的体积V； （2）求直线1AB与平面11ACC A所成角的正切值. 18 （本题满分 （本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分）. 已知ABC三个内角ABC、 、所对的边分别为abc、 、，4a ，1cos4B . （1）若sin2sinAC，求ABC的面积； （2）设线段AB的中点为D，若19CD ，求ABC外接圆半

7、径R的值. 19 （本题满分 （本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分）. 随着人们生活水平的提高， 很多家庭都购买了家用汽车. 使用汽车共需支出三笔费用： 购置费、 燃油费、养护保险费. 某种型号汽车，购置费共 20 万元；购买后第 1 年燃油费共 2 万元，以后每一年都比前一年增加 0.2 万元. （1） 若每年养护保险费均为 1 万元. 设购买该种型号汽车nnN年后共支出费用为nS万元， 求nS的表达式； （2）若购买汽车后的前 6 年，每年养护保险费均为 1 万元，由于部件老化和事故多发，第 7 年起，每一年的养护保险费都

8、比前一年增加 10%. 设使用n nN年后年平均费用为nc， 当0nn时，nc最小. 请你列出6n时nc的表达式，并利用计算器确定0n的值(只需写出0n的值). 20 （本题满分 （本题满分 16 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 6 分）分）. 已知函数 1R21xf xx. （1）求证：函数 f x是R上的减函数； （2）已知函数 f x的图像存在对称中心, a b的充要条件是 g xf xab的图像关于原点中心对称. 判断函数 f x的图像是否存在对称中心， 若存在， 求出该对称中心的坐标； 若不存在,说明

9、理由； （3）若对任意11,xn，都存在231,2x及实数m，使得11 211fmxf x x，求实数n的最大值 21 （本题满分 （本题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 8 分）分）. 城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离，而是沿着网格走的直角距离. 在直角坐标系xOy中，定义点11,A x y，22,B x y的“直角距离”,d A B为：1212,d A Bxxyy. 设1,1M，1, 1N . （1）写出一个满足,d C Md C N的点C的坐标； （2）

10、过点M、N作斜率为 2 的直线1l、2l，点Q、R分别是直线1l、2l上的动点，求,d Q R的最小值； （3）设,P x y，记方程,8d P Md P N的曲线为，类比椭圆研究曲线的性质（结论不要求证明） ，并在所给坐标系中画出该曲线. 参考答案与评分标准参考答案与评分标准 一填空题（本大题共有一填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 7-12 题每题题每题 5 分）考生应在答题纸分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果的相应位置直接填写结果 1. 1； 2.24； 3.1； 4.1； 5.45； 6.6 7.4; 8. ; 9

11、.1; 10.12; 11.2 2； 12.0,2. 二选择题二选择题(本大题共有本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分分)每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑位置，将代表正确选项的小方格涂黑 yx1234123412341234OC1A1B1ABC13. B； 14. B； 15. C； 16 . A 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤 1

12、7 （本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分） 解： （1）因为111ABCABC是直棱柱，所以1CC 面ABC, 得1CCAC， 2 分 又因为ACBC，所以AC 面11CC B. .4 分 所以三棱锥11ABCC B的体积1 113BCC BVACSW， 得18=2 2 233V . 6 分 （2）因为ACBC，所以1111BCAC ， 2 分 因为111ABCABC是直棱柱，所以1CC 面111ABC， 进而111CCBC，所以11BC 面11ACC A 4 分 所以11B AC即为直线1AB与面11ACC A所成

13、的角. .6 分 在11Rt B ACV中，12 2AC ，112BC ， 所以112tan2B AC . .8 分 18 （本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分） 解： （1）因为sin2sinAC， 所以2ac 因为4a ，所以2c ， .2 分 因为1cos4B ，0B，所以15sin4B ， .4 分 所以ABC的面积1sin152SacB. 6 分 （2） 在B C D中，2222cosCDBDBCBD BCB， 所以2230BDBD，得1BD ， .3 分 所以2cBA， DACB2222cos1636 1

14、224bacacB， 得2 6b ， .5 分 所以三角形ABC外接圆半径2 64 102sin5RB. .8 分 19 （本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分） 解： （1）设第n年的燃油费为na万元，则 20.21nan， 2 分 所以1220nnSaaan 4 分 212020.20.12.9202n nnnnn .6 分 （2）设第n年养护和保险费为nb，则 61, 161 . 1,7nnnbn， .2 分 设7n n年后的总费用为nT，则121220nnnTaaabbb 621.1 1.11200.11.96

15、1.1 1nnn .4 分 61511 1.10.1+1.9nncnnn 6 分 012n . 8 分 20 （本题满分（本题满分 16 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 6 分）分） 解： （1）设12xx，则211212222121xxxxf xf x .2 分 因为21220 xx，1210 x ，2210 x ，得 120f xf x， 所以 f x是R上的减函数. .4 分 （2）若 g x的图像关于原点对称，则 0g xgx恒成立， 2 分 即对任意Rx，都有11202121x ax ab ， yx1

16、2121212O整理得21 22222220 x ax aabbb 恒成立， .4 分 解得0a，12b ， 所以函数 f x的图像存在对称中心10,2 6 分 （3）因为11 211fmxf x x， 所以11 211112121mxx x， 整理得11 2121mxx x，所以11210mxx x， .2 分 因为11,xn，所以21111,xmmmxn 由题意得131,1,2mmn .4 分 所以1322mn，得2n 所以n的最大值为 2. 6 分 21 （本题满分（本题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分

17、小题满分 8 分）分） 解： （1）当1x 时，0 xy， 当1x时，1y ；当1x时，1y . 写出一个点即可. .4 分 （2）直线1l、2l的方程分别为 21yx和21yx， 2 分 设11,Q x y，22,R x y，则 1121yx，2221yx， 1212,d Q Rxxyy 121222xxxx .4 分 12121212121232 ,12 ,0132,0 xxxxxxxxxxxx 所以当121xx时，,d Q R取得最小值1. 6 分 （3）方程,8d P Md P N即 11118xxyy .1 分 关于x轴对称，关于y轴对称，关于原点对称，4 分 3x ，3y 6 分 图8 分 yx1234123412341234O