2022年（全国甲乙卷）高三数学精准限时训练（5）含答案解析

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1、2022年高三数学精准限时训练（5）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（2022全国高三专题练习）为全体实数集，集合，则（）ABCD2（2022全国高三专题练习）设复数满足，在复平面内对应的点为，则ABCD3（2022全国高三专题练习（文）设，则，的大小关系是（ ）ABCD4（2021全国高三专题练习（文）几何学有两个伟大的瑰宝，一个是毕达哥拉斯定理，另一个是黄金分割.毕达哥拉斯几何学中有一个关于五角星结构的问题.如图，一个边长为4的正五边形有5条对角线，这些对角线相交于五点，它们组成了另一个正五边形，则的值为（ ）(参考数值

2、：)ABCD5（2022浙江高三专题练习）函数的部分图象为（ ）ABCD6（2022全国高三专题练习）数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数字通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ）A种B种C种D种7（2022全国高三专题练习）已知向量，向量，求函数在区间上的最大值是（ ）A1BCD8（2022全国高三专题练习）若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD9（2

3、022全国高三专题练习）设，分别为等比数列，的前项和若（，为常数），则（ ）ABCD10（2022全国高三专题练习）已知，是椭圆：的两个焦点，左顶点为，过点的直线交椭圆于，两点，若则（ ）ABCD11（2022全国高三专题练习）设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是（ ）ABCD12（2022全国高三专题练习）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为A30pB41pC30pD64p二填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13（2022全国高三专题

4、练习）已知函数的图象在点处的切线与直线平行则_14（2022全国高三专题练习）已知等差数列中，若且，则等于_15（2022全国高三专题练习）在一组样本数据，的散点图中，若所有样本点都在曲线附近波动经计算，则实数的值为_16（2022上海高三专题练习）焦点为的抛物线与圆交于、两点，其中点横坐标为，方程的曲线记为，是圆与轴的交点，是坐标原点.有下面的四个命题，请选出所有正确的命题：_.对于给定的角，存在，使得圆弧所对的圆心角；对于给定的角，存在，使得圆弧所对的圆心角；对于任意，该曲线有且仅有一个内接正；当时，存在面积大于2021的内接正.三、解答题：共70分解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，

5、第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（2022全国高三专题练习）在中，已知角，所对边分别为，.（1）求角；（2）若，求的取值范围.18（2022全国高三专题练习）如图，在等腰直角三角形中，分别是，上的点，且，分别为，的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连结.（1）证明：平面；（2）在翻折的过程中，当时，求平面与平面夹角的余弦值.19（2022全国高三专题练习）已知椭圆经过点，椭圆的一个焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线过点且与椭圆交于两点.求的最大值.20（2021全国高三专题练习）我国为全面建设社会主义现代化国家，制

6、定了从2021年到2025年的“十四五”规划某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金.现该企业为了了解年研发资金投入额(单位：亿元)对年盈利额(单位：亿元)的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额和年盈利额的数据通过对比分析，建立了两个函数模型：，其中均为常数，e为自然对数的底数.令，经计算得如下数据：262156526805.36112501302.612（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程；(系数精确到0.01)（ii）若希望2021年盈利额为200亿元，请

7、预测2021年的研发资金投入额为多少亿元？(结果精确到0.01)附：相关系数，回归直线中：，；参考数据：.21（2022全国高三专题练习）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，（1）已知，求；（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，当时，；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一

8、题计分选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（2022全国高三专题练习）在平面直角坐标系中，曲线：(，为参数)，直线：，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）写出曲线，直线的极坐标方程；（2）直线：()，设曲线与直线交于点，曲线与直线交于点，的面积为，求实数的值选修4-5：不等式选讲（10分）23（2022全国高三专题练习）设函数.（1）解不等式；（2）若存在使不等式成立，求实数的取值范围2022年高三数学精准限时训练（5）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（2022全国高三专题练习）为全体实数集，集合，则

9、（）ABCD【答案】C【详解】解：R为全体实数集，集合Ax|1x4，x|x1或x4，By|yx2+1，xRy|y1，x|x4故选：C2（2022全国高三专题练习）设复数满足，在复平面内对应的点为，则ABCD【答案】C【详解】则故选C3（2022全国高三专题练习（文）设，则，的大小关系是（ ）ABCD【答案】C【详解】，所以，故选：C.4（2021全国高三专题练习（文）几何学有两个伟大的瑰宝，一个是毕达哥拉斯定理，另一个是黄金分割.毕达哥拉斯几何学中有一个关于五角星结构的问题.如图，一个边长为4的正五边形有5条对角线，这些对角线相交于五点，它们组成了另一个正五边形，则的值为（ ）(参考数值：)A

10、BCD【答案】C【详解】由正五边形的性质知，在中，在中，故.故选:C.5（2022浙江高三专题练习）函数的部分图象为（ ）ABCD【答案】D【详解】和均为偶函数，所以也为偶函数，由奇偶性可以排除A选项，下面考虑这一侧的图象；当时，；当时，；当时，因此在第一个零点附近都为负，故选：D6（2022全国高三专题练习）数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数字通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学

11、的不同选修方式有（ ）A种B种C种D种【答案】B【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为或或若是，则先将门学科分成三组共种不同方式.再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种所以每位同学的不同选修方式有种，故选：B.7（2022全国高三专题练习）已知向量，向量，求函数在区间上的最大值是（ ）A1BCD【答案】C【详解】因向量，向量，则函数，因，则有，当，即时，函数取

12、最大值，所以所求最大值是.故选：C8（2022全国高三专题练习）若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【详解】由题意，对任意，则有，当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值为，又由对任意时，恒成立，所以，即的取值范围为.故选：A.9（2022全国高三专题练习）设，分别为等比数列，的前项和若（，为常数），则（ ）ABCD【答案】C【详解】由题意，设则故选：C10（2022全国高三专题练习）已知，是椭圆：的两个焦点，左顶点为，过点的直线交椭圆于，两点，若则（ ）ABCD【答案】A【详解】由题可知，根据题意可知直线的斜率不为0，可设直线方程为，不妨设，如图， 由得，由可得，解得，

13、即，.故选：A.11（2022全国高三专题练习）设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【详解】函数在上单调递减，函数在上单调递增,若区间为函数的“稳定区间”，则函数与函数在区间上同增或者同减，若两函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，即，所以;若两函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立，即，不等式组无解.综上所述；.故选；C.12（2022全国高三专题练习）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为A30pB41pC30pD64p【

14、答案】B【详解】根据三视图得出，该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥，正方体的棱长为，为棱的中点，根据几何体判断：球心应该在过的平行于底面的中截面上，设球心到截面的距离为，则到的距离为，解得出：，该多面体外接球的表面积为：.故选：B.二填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13（2022全国高三专题练习）已知函数的图象在点处的切线与直线平行则_【答案】0【详解】在图象上，的斜率为，所以.所以.故答案为：14（2022全国高三专题练习）已知等差数列中，若且，则等于_【答案】10【详解】解：，又，即，解得：.故答案为：10.15（2022全国高三专题练习）在一组样本数据，的散点图中，若所有样

15、本点都在曲线附近波动经计算，则实数的值为_【答案】【详解】令则即，因为样本中心点在回归直线上，所以，可得：，故答案为：.16（2022上海高三专题练习）焦点为的抛物线与圆交于、两点，其中点横坐标为，方程的曲线记为，是圆与轴的交点，是坐标原点.有下面的四个命题，请选出所有正确的命题：_.对于给定的角，存在，使得圆弧所对的圆心角；对于给定的角，存在，使得圆弧所对的圆心角；对于任意，该曲线有且仅有一个内接正；当时，存在面积大于2021的内接正.【答案】【详解】联立抛物线与圆的方程，消去y得，即，而且，即A、B横坐标与半径R的关系，抛物线与圆有两个交点，即，当时，正确；由题意知：关于x轴对称，则对于给

16、定的角，存在使得圆弧所对的圆心角，即只需存在R使即可.令，则，解得或，1、当，在如下图阴影部分变化，有，2、当，若时，故在如下图阴影部分变化，有，或时，有即，所以对于给定的角，存在，使得圆弧所对的圆心角，故正确；由，于是轴，直线：，同理，与分别都只有一个交点，即对于任意，该曲线有且仅有一个内接正，正确；当时，如下图示，抛物线与圆只有一个交点且交点为原点，不符合题意，但此时，当时，与的交点在圆上，会一直增大，如下图示，直到，即与、重合分别为、，此时， .当时，与的交点在抛物线上，的变化对没有影响，如下图示，错误.三、解答题：共70分解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每

17、个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（2022全国高三专题练习）在中，已知角，所对边分别为，.（1）求角；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）因为，所以；即，所以，故或，解得或（舍又因为在中，所以.（2）（法一）由余弦定理知，所以，所以，当且仅当时等号成立.又因为，是的三条边，所以，所以.（2）（法二）因为，由正弦定理，所以.所以，因为，是的三个内角，且.所以，所以，所以，所以.18（2022全国高三专题练习）如图，在等腰直角三角形中，分别是，上的点，且，分别为，的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连结.（1）证明：平面；

18、（2）在翻折的过程中，当时，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）（1）在四棱锥中，取的中点，连接，因为，分别为，的中点，则，因为平面，平面，则平面，同理可得，平面，又，平面，故平面平面，因为平面，故平面；（2）因为在等腰直角三角形中，所以，则在四棱锥中，因为，则，又，平面，故平面，又平面，故，因为，则，所以，故，所以以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，0，0，8，5，故，设平面的法向量为，则，令，则，故；设平面的法向量为，则，令，则，故，所以，故平面与平面夹角的余弦值为.19（2022全国高三专题练习）已知椭圆经过点，椭圆的一个焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）

19、若直线过点且与椭圆交于两点.求的最大值.【答案】（1）（2）（1）依题意，设椭圆的左，右焦点分别为，则，椭圆的方程为（2）当直线的斜率存在时，设，由得由得由，得设，则，当直线的斜率不存在时，的最大值为20（2021全国高三专题练习）我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金.现该企业为了了解年研发资金投入额(单位：亿元)对年盈利额(单位：亿元)的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额和年盈利额的数据通过对比分析，建立了两个函数模型：，其中均为常数，e为自然对数

20、的底数.令，经计算得如下数据：262156526805.36112501302.612（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程；(系数精确到0.01)（ii）若希望2021年盈利额为200亿元，请预测2021年的研发资金投入额为多少亿元？(结果精确到0.01)附：相关系数，回归直线中：，；参考数据：.【答案】（1）模型的拟合程度更好；（2）（i）；（ii）2021年的研发资金投入量约为26.32亿元.【详解】（1）设和的相关系数为和的相关系数为，由题意，则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好.（2）（i）先建立关于x

21、的线性回归方程，由，得，即，所以v关于x的线性回归方程为，所以，则.（ii）2021年盈利额(亿元)，所以2021年的研发资金投入量约为26.32亿元.21（2022全国高三专题练习）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，（1）已知，求；（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，当时，；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义【答案】（1）1；（2）见解析；（3

22、）见解析.【详解】（1）.（2）设，因为，故，若，则，故.，因为，故有两个不同零点，且，且时，；时，；故在，上为增函数，在上为减函数，若，因为在为增函数且，而当时，因为在上为减函数，故，故为的一个最小正实根，若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，综上，若，则.若，则，故.此时，故有两个不同零点，且，且时，；时，；故在，上为增函数，在上为减函数，而，故，又，故在存在一个零点，且.所以为的一个最小正实根，此时，故当时，.（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.（二）选考题：共10分请考生在第22、23

23、题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（2022全国高三专题练习）在平面直角坐标系中，曲线：(，为参数)，直线：，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）写出曲线，直线的极坐标方程；（2）直线：()，设曲线与直线交于点，曲线与直线交于点，的面积为，求实数的值【答案】（1）2mcos，（2）（1）由题意消去曲线C1的参数，得曲线C1的普通方程为(xm)2y2m2.，曲线C1的极坐标方程为2mcos，直线C2的极坐标方程为；（2）由得 A.由得 B.即，解得.又，.选修4-5：不等式选讲（10分）23（2022全国高三专题练习）设函数.（1）解不等式；（2）若存在使不等式成立，求实数的取值范围【答案】（1）（2）（1）解：由已知，得，所以由f(x)4，得：或或，即x2或01.综上，不等式f(x)4的解集为（2）解：若存在，使不等式a1f(x)成立，则a1f(x)min，.由（1）得时，f(x)x4，则，所以，即，所以实数a的取值范围为.