2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时)一元二次不等式及其解法 学案(含答案)
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1、1 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式二次函数与一元二次方程、不等式 第第 1 课时课时 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握一元二次不等式的解法(重点). 2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点). 通过一元二次不等式的学习,培养数学运算素养. 1一元二次不等式的概念 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元二次不等式 2一元二次不等式的一般形式 (1)ax2bxc0(a0) (2)ax2bxc0(a0) (3)ax2bxc0(a0) (4)ax2bxc0(a0) 思考 1:不等式 x2y20 是一元二
2、次不等式吗? 提示:此不等式含有两个变量,根据一元二次不等式的定义,可知不是一元二次不等式 3一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集 思考 2: 类比“方程 x21 的解集是1, 1, 解集中的每一个元素均可使等式成立” 不等式 x21 的解集及其含义是什么? 提示:不等式 x21 的解集为x|x1,该集合中每一个元素都是不等式的解,即不等式的每一个解均使不等式成立 4三个“二次”的关系 2 设 yax2bxc(a0),方程 ax2bxc0 的判别式 b24ac 判别式 0 0 0 解不等式 y0或 y0
3、的步骤 求方程 y0 的解 有两个不相等的实数根 x1,x2(x1x2) 有两个相等的实数根 x1x2b2a 没有 实数根 画函数 yax2bxc(a0)的图象 得等的集不式解 y0 x|xx1_或 xx2 xxb2a R y0 x|x1xx2 思考 3:若一元二次不等式 ax2x10 的解集为 R,则实数 a 应满足什么条件? 提示:结合二次函数图象可知,若一元二次不等式 ax2x10 的解集为 R,则 a0,14a0 的解集为 R. 1不等式 35x2x20 的解集为( ) A.x x3或x12 B.x 12x3 C.x x3或x12 DR C 35x2x202x25x30(x3)(2x1
4、)0 x3 或 x12. 2不等式 3x22x10 的解集为( ) A.x 1x13 B.x 13x1 C DR D 因为 (2)24 3 141280,所以不等式 3x22x10 的解集为 R. 3不等式 x22x52x 的解集是_ x|x5 或 x2x, 得 x24x50, 因为 x24x50 的两根为1,5, 3 故 x24x50 的解集为x|x5 4不等式3x25x40 的解集为_ 原不等式变形为 3x25x40.因为 (5)2434230,所以 3x25x40 无解 由函数 y3x25x4 的图象可知,3x25x40; (2)4x218x8140; (3)2x23x20, 所以方程
5、2x27x30有两个不等实根 x13,x212.又二次函数 y2x27x3 的图象开口向上,所以原不等式的解集为x x12或x0, 因为 942270; (2)x24x40; (3)x22x30. 解 (1)0,方程 2x23x20 的根是 x112,x22, 不等式 2x23x20 的解集为 x x2. (2)0,方程 x24x40 的根是 x1x22, 不等式 x24x40 的解集为x|x2 . (3)原不等式可化为 x22x30, 由于 0,方程 x22x30 无解, 不等式x22x30 的解集为 R. (4)原不等式可化为 3x25x20,方程 3x25x20 的两根为 x123,x2
6、1, 不等式3x25x20 的解集为x 23x1. 含参数的一元二次不等式的解法 【例 2】 解关于 x 的不等式 ax2(a1)x10. 思路点拨 对于二次项的系数 a 是否分 a0, a0 三类进行讨论?当 a0 时,是否还要比较两根的大小? 解 当 a0 时,原不等式可化为 x1. 当 a0 时,原不等式可化为(ax1)(x1)0. 当 a0, 1a1,x1. 5 当 a0 时,原不等式可化为x1a(x1)0. 若1a1,则1ax1,即 0a1,则 1x1a. 综上所述,当 a0 时,原不等式的解集为x x1 ;当 a0 时,原不等式的解集为x|x1;当 0a1 时,原不等式的解集为x
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