4.1指数（第2课时）指数幂及运算 学案（含答案）

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1、1 第第 2 课时课时 指数幂及运算指数幂及运算 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化(重点、难点) 2掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值(重点) 1.通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养 2 借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养. 1分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：amnnam(a0，m，nN*，且 n1) 负分数指数幂 规定：amn1amn1nam (a0，m，nN*，且 n1) 0 的分数指数幂 0 的正分数指数幂等于 0， 0 的负分数指数幂没有意义 思考：在分数指数幂与

2、根式的互化公式 amnnam中，为什么必须规定 a0? 提示：若 a0,0 的正分数指数幂恒等于 0，即namamn0，无研究价值 若 a0. 2有理数指数幂的运算性质 (1)arasars(a0，r，sQ) (2)(ar)sars(a0，r，sQ) (3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ) 3无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 a(a0， 是无理数)是一个确定的实数有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂 2 1下列运算结果中，正确的是( ) Aa2a3a5 B(a2)3(a3)2 C( a1)01 D(a2)3a6 A a2a3a23a5；(a2)3a6(a3)2a6；( a1)0

3、1，若成立，需要满足 a1，故选 A. 2425等于( ) A25 B.516 C. 415 D.54 B 425542516，故选 B. 3已知 a0，则 a23等于( ) A. a3 B.13a2 C.1a3 D3a2 B a231a2313a2. 4(m12)4(1)0_. m21 (m12)4(1)0m21. 根式与分数指数幂的互化 【例 1】 将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)a a(a0)；(2)13x5x22； (3)4b2323(b0) 3 解 (1)原式 a a12a32( )a3212a34. (2)原式13x x25213x x4513x951( )x95131x3

4、5x35. (3)原式b231423b2314( )23b19. 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子 (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题 1将下列根式与分数指数幂进行互化： (1)a33a2；(2)a4b23ab2(a0，b0) 解 (1)a33a2a3 a23a323a113. (2)a4b23ab2a4b2 ab213 a4b2a13b23a113b83 a116b43. 利用分数指数幂的运算性质化简求解 【例 2】 化简求值： 4 指数幂运算的常用技巧 1有括号先算括号里的，无

5、括号先进行指数运算. 2负指数幂化为正指数幂的倒数. 3底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数. 2(1)计算：23502221412(0.01)0.5； (2)化简：3a72a33a83a15 3a3 a1(a0) 指数幂运算中的条件求值 探究问题 5 1.a1a2和a1a2存在怎样的等量关系？ 提示：a1a2a1a24. 2已知 a1a的值，如何求 a1a的值？反之呢？ 提示： 设 a1am， 则两边平方得 a1am22； 反之若设 a1an， 则

6、 nm22， m n2.即 a1a n2. 【例 3】 已知 a12a124，求下列各式的值： (1)aa1；(2)a2a2. 思路点拨 a12a124 两边平方得aa1的值 两边平方得a2a2的值 解 (1)将 a12a124 两边平方，得 aa1216，故 aa114. (2)将 aa114 两边平方，得 a2a22196，故 a2a2194. 1在本例条件不变的条件下，求 aa1的值 解 令 aa1t，则两边平方得 a2a2t22， t22194，即 t2192，t 8 3，即 aa1 8 3. 2在本例条件不变的条件下，求 a2a2的值 解 由上题可知，a2a2(aa1)(aa1) 8

7、 314 112 3. 解决条件求值的思路 1在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值. 2在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用. 1对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律 2解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器” 6 1思考辨析 (1)0 的任何指数幂都等于 0.( ) (2)523 53.( ) (3)分数指数幂与根式可以相互转化，如4a2a12.( ) (4)amn可以理解为mn个 a.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2把根式 a a化成分数指数幂是( ) A(a)32 B(a)32 Ca32 Da32 D 由题意可知 a0，故排除 A、B、C 选项，选 D. 3已知 x12x125，则x21x的值为( ) A5 B23 C25 D27 B x12x125，xx123，即x21x23.