5.2.2同角三角函数的基本关系 学案(含答案)
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1、1 5.2.2 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用(重点) 2会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明(难点) 1.通过同角三角函数的基本关系进行运算,培养数学运算素养 2借助数学式子的证明,培养逻辑推理素养. 1平方关系 (1)公式:sin2cos21. (2)语言叙述:同一个角 的正弦、余弦的平方和等于 1. 2商数关系 (1)公式:sin cos tan_(k2,kZ) (2)语言叙述:同一个角 的正弦、余弦的商等于角 的正切 思考:对任意的角 ,sin22cos221 是否成立?
2、 提示:成立平方关系中强调的同一个角且是任意的,与角的表达形式无关 1化简1sin235的结果是( ) Acos35 Bsin35 Ccos35 Dsin35 C 因为35是第二象限角, 所以 cos350, 所以1sin235cos235cos35cos35. 2如果 是第二象限的角,下列各式中成立的是( ) 2 Atan sin cos Bcos 1sin2 Csin 1cos2 Dtan cos sin B 由商数关系可知 A,D 均不正确当 为第二象限角时,cos 0,sin 0,故 B正确 3若 cos 35,且 为第四象限角,则 tan _. 43 因为 为第四象限角,且 cos
3、35, 所以 sin 1cos2135245, 所以 tan sin cos 43. 直接应用同角三角函数关系求值 【例 1】 (1)已知 ,32,tan 2,则 cos _. (2)已知 cos 817,求 sin ,tan 的值 思路点拨 (1)根据 tan 2 和 sin2cos21 列方程组求 cos . (2)先由已知条件判断角 是第几象限角,再分类讨论求 sin ,tan . (1)55 由已知得 sin cos 2,sin2cos21, 由得 sin 2cos 代入得 4cos2cos21, 所以 cos215,又 ,32,所以 cos 0, 所以 cos 55. 3 (2)解
4、cos 8170, 是第二或第三象限的角 如果 是第二象限角,那么 sin 1cos2181721517, tan sin cos 1517817158. 如果 是第三象限角,同理可得 sin 1cos21517,tan 158. 利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法: 1已知角 的某一种三角函数值,求角 的其余三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系. 2若角 所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角 所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果. 提醒: 应用平方关系求三角函数值时, 要注意有关角终边位置的判断, 确定所求值的符号
5、. 1已知 sin 3cos 0,求 sin ,cos 的值 解 sin 3cos 0, sin 3cos . 又 sin2cos21, (3cos )2cos21, 即 10cos21, cos 1010. 又由 sin 3cos , 可知 sin 与 cos 异号, 角 的终边在第二或第四象限 4 当角 的终边在第二象限时,cos 1010,sin 31010; 当角 的终边在第四象限时,cos 1010,sin 31010. 灵活应用同角三角函数关系式求值 【例 2】 (1)已知 sin cos 713,(0,),则 tan _. (2)已知sin cos sin cos 2,计算下列各
6、式的值 3sin cos 2sin 3cos ; sin22sin cos 1. 思路点拨 (1)法一: 求sin cos 求sin cos 求sin 和cos 求tan 法二: 求sin cos 弦化切构建关于tan 的方程 求tan (2) 求tan 换元或弦化切求值 (1)125 法一:(构建方程组) 因为 sin cos 713, 所以 sin2cos22sin cos 49169, 即 2sin cos 120169. 因为 (0,),所以 sin 0,cos 0. 所以 sin cos sin cos 2 12sin cos 1713. 由解得 sin 1213,cos 513,
7、所以 tan sin cos 125. 法二:(弦化切) 同法一求出 sin cos 60169,sin cos sin2cos260169,tan tan2160169, 5 整理得 60tan2169tan 600,解得 tan 512或 tan 125. 由 sin cos 7130 知|sin |cos |,故 tan 125. (2)解 由sin cos sin cos 2,化简, 得 sin 3cos , 所以 tan 3. 法一(换元)原式33cos cos 23cos 3cos 8cos 9cos 89. 法二(弦化切)原式3tan 12tan 333123389. 原式sin
8、22sin cos sin2cos21 tan22tan tan211322332111310. 1将本例(1)条件“(0,)”改为“(,0)”其他条件不变,结果又如何? 解 由例(1)求出 2sin cos 120169, 因为 (,0), 所以 sin 0,cos 0, 所以 sin cos sin cos 2 12sin cos 1713. 与 sin cos 713联立解得 sin 513,cos 1213, 所以 tan sin cos 512. 2将本例(1)的条件“sin cos 713”改为“sin cos 18”其他条件不变,求 cos sin . 6 解 因为 sin co
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